Intégration sur un intervalle quelconque

Intégration sur un intervalle quelconque

1. Fonctions intégrables à valeurs positives.

2. Fonctions intégrables à valeurs vectorielles.

3. Intégration des relations de comparaison.

4. Intégrales semi-convergentes.

5. Espaces fonctionnels.

6. Théorèmes de convergences monotone et dominée.

7. Intégrales dépendant d’un paramètre.

8. Gaussiennes et serpents-boas.

9. Intégrales eulériennes.

10. Transformation et méthode de Laplace.

Pierre-Jean Hormière

_____________

« Je n'ai peut-être pas réussi à rendre facile les choses difficiles, mais du moins n'ai-je jamais rendu difficile un sujet facile. »

Francesco Tricomi Ah, j’aimerais pouvoir dire cela de ce chapitre sur les intégrales généralisées ! Si le lecteur juge que j’y suis parvenu, alors, qu’il attribue cela à mon grand talent pédagogique. S’il juge que je n’y suis pas parvenu, qu’il mette cela au compte des actuels programmes de taupe : ils sont ici suivis avec d’autant plus de docilité que j’en désapprouve la dérive techniciste¹.

Au risque d’allonger l’exposé, j’ai multiplié les exemples pour bien l’illustrer et le rendre digeste.

Ces exemples sont très-académiques, et tous inspirés des propriétés des fonctions usuelles de l’analyse classique, telles qu’on les rencontre en analyse réelle, physique mathématique, probabilités, automatique, etc. J’ai respecté les notations communément admises, afin de faciliter le recours aux livres, tables, formulaires et logiciels. Laissons le dernier mort au grand Albert :

« Si vous avez tout compris, c’est que je n’ai pas été clair. »

1 Cette dérive a commencé lors des changements de programme de taupe en 1996. Avant cette date, on cherchait à faire le plus de mathématiques possibles avec le moins de théorèmes possibles. Ainsi, le chapitre sur les intégrales impropres se réduisait à quelques définitions, quelques exemples et quelques méthodes. Après 1996, on a cherché, dans un premier temps, à faire le plus de mathématiques possibles avec le plus de théorèmes possibles, et, dans un second temps, à faire le moins de mathématiques possibles avec le plus de théorèmes possibles. Et cela, sans coordination avec les programmes de lycée, ni réflexion sur les horaires et les moyens. Un exemple typique de ces dérives : avant 1996, la fonction Γ n’était pas au programme, elle inspirait de nombreux problèmes. Après 1996, on l’a mise au programme, autrement dit on a décrété administrativement l’augmen- tation du niveau des élèves. Et après, on s’est plaint que les élèves ne suivaient pas ! Car, si les élèves ne suivent pas, ce n’est jamais de la faute des programmes, c’est de leur faute à eux : les élèves sont paresseux et cons, c’est bien connu. Pastichant Brecht affirmant que le peuple de RDA n’était pas digne de son gouvernement, on pourrait dire que les élèves ne sont pas dignes des programmes.

Pour compléter le tout, on a obligé les bacheliers à choisir leur filière (à dominante maths ou physique) sans avoir les moyens de le faire, et on a créé des options au sein de chaque filière pour créer de la zizanie entre enseignants, de l’angoisse chez les étudiants, et des délits d’inités en faveur des grands lycées. Des inspecteurs généraux sont venus promettre de faire, région par région, le bilan de la réforme. Ils ne sont jamais venus. Il n’y avait plus de pilote dans l’avion. Proviseurs, inspecteurs, recteurs, ministres, tout ce que sait faire l’administra- tion de l’Education nationale, c’est de distribuer les palmes académiques aux ingénieurs des Ponts-et-Chaussées.

Bilan de cette politique menée par les pédagogistes de gauche à la mord-moi-le-noeud et par leurs meilleurs alliés, les techniciens-spécialistes de droite : « Les élèves français toujours aussi mauvais en maths » (Le Monde, 9 décembre 2020).

0. Introduction.

On se propose d’étendre l’intégration des fonctions à des intervalles de nature quelconque, donc non compacts. De tels intervalles sont notés I = (a, b) , a < b. On note J un sous-segment de I.

Proposition : Soit I = (a, b) un intervalle de R, de nature quelconque.

i) Il existe une suite croissante (J_n) de segments de réunion I ;

ii) Tout segment J ⊂ I est inclus dans un Jn0. Enfin l’intérieur de I est réunion des intérieurs des J_n. (J_n) est appelée suite exhaustive de segments (ou s. e. s.) de I.

Preuve : Il faut distinguer plusieurs cas.

• Si I = ]0, 1[, Jn = [

n 1

_{, 1−}

n

1

] est une ses ; les ses sont de la forme J_n = [a_n, b_n], où a_n↓0 et bn↑0.

• Si I = ]0, +∞[, Jn = [

n

1

, n] est une ses ; les ses sont de la forme J_n = [a_n, b_n], où a_n↓0 et bn↑+∞.

• Si I = R, Jn = [−n , n] est une ses ; les ses sont de la forme Jn = [a_n, b_n], où a_n↓−∞ et bn↑+∞.

• Si I = ]0, 1], J_n = [

n

1

, 1] est une ses ; les ses sont de la forme J_n = [a_n, b_n], où a_n↓0 et b_n↑1 et b_n = 1 àpcr (car 1 doit appartenir à l’un des J_n).

Les autres cas se ramènent à ceux-ci ; la seconde assertion se vérifie dans chaque cas.

Définition : Soit I = (a, b) un intervalle de R, E un espace de Banach. Une fonction f : I → E est dite continue par morceaux si sa restriction à chaque segment J ⊂ I l’est,

réglée (sur tout segment) si sa restriction à chaque sous-segment J ⊂ I l’est.

Exemples :

a) Les fonctions partie entière (ou plancher), et plafond, sont continues par morceaux dans R.

b) La fonction x →

[

² 1

1

−

x ]

est continue par morceaux sur ]−1, +1[.

c) La fonction x → q 1 _{si x =}

q

p (rationnel sous forme irréductible) et 0 si x ∉ Q est réglée dans R.

Elle est en effet 1-périodique et réglée dans [0, 1].

Les fonctions continues par morceaux forment un sev de FFFF(I, E), une sous-algèbre si E = K, et un espace de Riesz si E = R. Idem pour les fonctions réglées.

Une fonction continue par morceaux sur I a un ensemble dénombrable de discontinuités, car elle en a un nombre fini dans chaque J_n. Si I est ouvert I = ]a, b[, ces discontinuités sont numérotables vers la droite et vers la gauche à partir de l’une d’entre elles. Si I est semi-ouvert I = [a, b[, elles sont numérotables vers la droite à partir de la plus petite.

Une fonction f : I → E est réglée ssi elle admet une limite à droite et à gauche en tout point de ]a, b[, une limite à gauche en b si b ∈ I, et à droite en a si a ∈ I. Si une suite (f_n) de fonctions réglées dans I converge simplement vers f dans I et uniformément sur tout segment de I, f est réglée. (Autrement dit, les fonctions réglées forment un espace fermé pour la topologie de la convergence compacte).

1. Fonctions intégrables à valeurs positives.

1.1. Définition, exemples.

Définition : Une fonction f : I → R₊ , réglée sur tout segment, est dite intégrable (ou sommable) dans I s’il existe un réel M ≥ 0 tel que, pour tout segment J ⊂ I ,

∫

_{J f ≤ M.}

On appelle intégrale de f sur I :

∫

_I f = sup_{J ⊂ I}

∫

_{J f .}

Géométriquement,

∫

_I f désigne l’aire du domaine { (x, y) ; x ∈ I , 0 ≤ y ≤ f(x) }, définie comme borne supérieure des aires situées au dessus des segments J.

Si f est non intégrable, c’est que sup_{J ⊂ I}

∫

_J f = +∞ . On note alors

∫

_I f = +∞ .

Cette notation est réservée aux fonctions à valeurs positives. On notera l’étroite analogie de ces notions avec la théorie des familles sommables à termes positifs.

Exemple 1 :

∫

_R

² 1 t

dt

+ ^{= π .} Si J = [a, b],

∫

_J

² 1 t

dt

+ = Arctan b − Arctan a. Passant au sup en a et b, on obtient bien π. Exemple 2 :

∫

_[0,+∞[ e^−t.dt = 1 .

Si J = [a, b],

∫

_J e^−t.dt = e^−a− e^−b. Passant au sup en a et b, on obtient bien 1.

Exemple 3 :

∫

_]−1,+1[

² 1 t

dt

− ^{= π .} Si J = [a, b] ⊂ ]−1, 1[ , on a

∫

_J

² 1 t

dt

− = Arcsin b − Arcsin a. Passant au sup en a et b, on obtient π.

Exemple 4 : L’intégrale de Gauss

∫

_R e^−t².dt . On a (∀t) 1 + t²≤ e^t² , donc 0 < e^−t² ≤

² 1

1

+

t

^.

Pour tout segment J = [a, b], on a :

∫

_a^b

^{e .}

^−t²

^dt

^≤

∫

_a^b₁₊^dt_t² ^≤

^∫

^R

_{1 t} ^dt

₊

_²

^{= π .}

Il en résulte que e^−t² est intégrable sur R et que :

∫

_{R e}^−t².dt ≤ π . Remarque : On montrera au § 6 que

∫

_{R e}^−t²_{.dt =}

_π

_.

Exemple 5 : Soit

∑

^+∞

=0 n

an une série convergente à termes ≥ 0. La fonction f : R⁺→ R⁺ définie par : f(x) = a_n pour n < x < n+1 (peu importent les valeurs prises sur N), est intégrable sur R⁺ et vérifie :

∫

₀^+∞

^{f ( x ). dx}

⁼

^∑

^+∞

=0 n

an.

Exemple 6 : Considérons les fonctions continues affines par morceaux f et g : R⁺→ R⁺ définies par f(n) = n , f(n ± _n

2 1

) = 0 , g(n) = n , g(n ± _n n.2

1 ) = 0 ( n ≥ 1 )

f et g étant affines entre ces points. Alors

∫

₀^n+1/2

^f

⁼

∫

₀^n+1/2

^g

⁼

¹ ₂

⁺

₂ ¹ _²

^{+ ... +} ₂^{1n = 1 −} ₂^{1n ↑ 1.}

Comme tout segment [a, b] est inclus dans un [0, n+

2

1

_], f et g sont intégrables sur R⁺, d’intégrale 1.

Cet exemple sera réexaminé dans le § 1.3.

1.2. Propriétés et premiers critères.

Dans tout ce §, les fonctions sont supposées réglées sur tout segment.

Proposition 1 : i) Si f : I → R₊ est intégrable, pour toute suite exhaustive (J_n) de segments de I, on a

∫

_I f = sup_n

∫

_{Jn f = limn→+∞}

∫

_{Jn f (1)}

ii) Réciproquement, s’il existe une suite exhaustive (J_n) de segments de I telle que (

∫

_{Jn f ) soit}

majorée, alors f est intégrable sur I, et l’on a (1).

Remarque : Dans le cas où I = [a, b] est déjà un segment, toute fonction réglée f : I → R₊ est intégrable sur I = [a, b] , [a, b[ , ]a, b] et ]a, b[, et les quatre intégrales coïncident.

Proposition 2 : Si f et g sont intégrables I → R₊ et si α≥ 0, f + g et α.f sont intégrables sur I, et :

∫

_I f + g =

∫

_{I f +}

∫

_I g et

∫

_{I α.f = α.}

∫

_{I f .}

Autrement dit, les fonctions réglées positives, et intégrables sur I forment un cône convexe, et f →

∫

_I

f une fonction additive positivement homogène.

Proposition 3 : Critère de troncature. Soit c un point quelconque de l’intérieur de I, et f : I → R₊ . f est intégrable ssi elle l’est sur chacun des intervalles I⁻ = I ∩ ]−∞, c] et I⁺ = I ∩ [c, +∞[.

Et alors,

∫

_I f =

∫

_I− f +

∫

_I+ g . Remarque : Ce critère a de grandes conséquences :

1) Lorsque I est un intervalle ouvert ]a, b[, on étudiera séparément l’intégrabilité de f sur chacun des intervalles ]a, c] et [c, b[ ; f est intégrable ssi elle est sur chacun des intervalles.

2) Si I = [a, b[, l’intégrabilité de f est une propriété locale de f au V(b−). C’est pourquoi elle dépend du comportement local de en ce point.

Proposition 4 : Critère de la majoration-minoration.

Soient f et g deux fonctions réglées I → R₊ telles que 0 ≤ f ≤ g .

g intégrable ⇒ f intégrable, et :

∫

_I f ≤

∫

_I g ; f non intégrable ⇒ g non intégrable .

Remarques : 1) Si la majoration 0 ≤ f ≤ g est valable au V(b−), les implications restent valables.

2) Si f : I → R₊ est continue, intégrable, et d’intégrale nulle, alors f ≡ 0.

Corollaire 1 critère de domination.

Si f et g : I = [a, b[ → R₊ deux fonctions réglées telle que f = O(g) au V(b−).

Alors : g intégrable ⇒ f intégrable . Corollaire 2 : critère de similitude, de l’équivalent.

Si f et g : I = [a, b[ → R₊ deux fonctions réglées semblables au V(b−), ou a fortiori, équivalentes.

Alors : f intégrable ⇔ g intégrable .

Proposition 5 : Soit f une fonction réglée I = [a, b[ → R₊ . f est intégrable ssi la fonction : F(x) =

∫

_a^x

^{f ). ( t dt}

a une limite en b−, et alors :

∫

_{I f = supx<b} F(x) = lim_x→b− F(x) .

Proposition 6 : Critère de Cauchy. Soit f une fonction réglée I → R₊ . f est intégrable ssi : (∀ε > 0) (∃J segment ⊂ I) (∀K segment ⊂ I) J ∩ K = ∅ ⇒

∫

_K f ≤ ε .

Exemples :

1) Intégrales sur un intervalle non borné.

i) ∫

_{[0,+∞[ e}^−t.dt = 1 . Plus généralement

∫

_{[0,+∞[ e}^−at_{.dt =}

a

1

pour tout a > 0.

ii)

∫

_R

² 1 t

dt

+ ^{= π ,}

∫

_{R e}^−t².dt converge.

iii)

∫

₁^{+∞ dt}_t^a converge ssi a > 1 (« Riemann »).

En effet t → _a t

1 est continue positive sur [1, +∞[.

∫

₁^{A dt}_t^a = ln A si a = 1, a A ^a

−⁻ − 1

1

1

sinon.

Pour a > 1 ,

∫

₁^{A dt}_t^a tend vers 1 1−

a quand A → +∞ ; sinon, elle tend vers +∞.

iv)

∫

₂^+∞_t^a_.^dt_ln^b_t converge ssi a > 1 ou a = 1 et b > 1 (intégrale dite « de Bertrand »).

2) Intégrales sur un intervalle borné.

i)

∫

₀^{1 dt}_t^a converge ssi a < 1.

En effet t → _a t

1 est continue positive sur ]0, 1].

∫

_ε^{1 dt}_t^a = − ln ε si a = 1, a

a

−

− ⁻ 1 1

ε

¹

sinon.

Pour a < 1 ,

∫

_ε¹_t^dta tend vers

−

a 1

1

_{quand ε→} 0+ ; sinon, elle tend vers +∞.

Il résulte de tout ceci que l’intégrale

∫

₀^{+∞ dt}_t^a est toujours divergente.

ii)

∫

₀¹⁻

^{ln dt t .}

converge, et vaut 1. En effet t →−ln t est continue positive sur ]0, 1], et

∫

_ε¹⁻

^{ln t . dt}

⁼

^[

^−t.lnt+t

^]

^{1ε = 1 + ε.ln ε−ε→ 1 quand ε→ 0+ .}

On conclut que t → −ln t est intégrable sur ]0, 1], d’intégrale 1 (prop. 5).

iii)

∫

₀^π/2

^{tan t . dt}

diverge. En effet t → tan t est continue positive sur [0, π/2[ , et :

∫

₀^x

^{tan t . dt}

^{= −} ln( cos x ) → +∞ quand x →

π 2

. On conclut que t → tan t est non intégrable.

Exercices

Exercice 1 : Convergence et calcul des intégrales :

∫

₀^+∞

_{( x}

₊

_a ^dx _{)( x}

₊

_{b )}

( a & b > 0 ) ,

∫

₀^+∞

_{( x}

₊

_{1 )( x} ^dx

₊

_{2 )( x}

₊

_{3 )}

^,

∫

₀^+∞

_{( x}

₊

_{1 )²( x}

₊

^dx _{2 )²( x}

₊

_{3 )²}

∫

₀^+∞

_{( x}

₊

_{1 ).( x}

₊

^dx _{2 )...( x}

₊

_{n )}

^,

∫

₀^+∞

_{( x}

₊

_{1 )².( x}

₊

^dx _{2 )²...( x}

₊

_{n )²}

^,

∫

₀^+∞_x^dx4₊₁ ^,

∫

₀^+∞_x^x4₊²₁^.dx.

Exercice 2 : Existence et calcul de

∫

₋⁺₁¹ _{1 t}^dt_−² ^et

∫

_a^b _{− −}

a t t b

dt ) )(

( ( a < b ).

Exercice 3 : Existence et calcul des intégrales :

∫

₀^π/2

^{tan t . dt}

^et

∫

₀^π/2

^{cos x . ln(tan x ). dx}

^.

∫

₀^+∞_x^ln_²+^x₁^{.dx ,}

∫

₀^1ln(1_t²^{−t²).dt ,}

∫

₀¹ _1−x^dx_{+ 1+x} ^,

∫

₀¹ _{− + +}

² 1

²

1 t t

dt _,

∫

₀¹ _{+ −}

) 1 ( ) 2

(x x x

dx _,

∫

₀^+∞_(x²+^x_1)²^{.dx ,}

∫

₀^+∞_(x+1)^dx_x²+x+1 ^,

∫

₀^+∞_1+x^dx_x²+1 ^,

∫

₀^+∞_(x+1^dx_).x^{2/3 ,}

∫

+ −

−

1

0

.

1 ) 1 (

1 dx

x x x

x x

,

∫

₀^a _(x²+^x₁^.₎₍^dx_a²−x²) ( a > 0 ) ,

∫

₋^+∞_∞(x²+a²)^dx_x²+b² ( a, b > 0 ) ,

∫

₀^+∞_cosa^dx_+chx^.

Exercice 4 : Existence et calcul des intégrales ( n ∈ N ) :

I_n =

∫

₀^+∞

^t

ⁿ

^{. e}

^−t

^{. dt}

^{, Jn =}

∫

₀¹

⁽

⁻

^{ln u )}

ⁿ

^{. du}

^{, Kn =}

∫

₋^+∞_∞ch^dtn_t ^{, Ln =}

∫

₋^+∞_∞(x²^dx₊₁₎^n.

Exercice 5 : Discuter l’existence des intégrales :

∫

₂^+∞_t^a_.(ln^dt_t)^{b ,}

∫

₀^1/2

ln . ^b

a t

t

dt _et

∫

₃^+∞_t^a_.(lnt)^bdt_.(lnlnt)^{c .}

Exercice 6 : Discuter la nature des intégrales ( a et b sont réels ) :

∫

₁^+∞_x^a_.(^dx_1+x^b₎ ^,

∫

₀^+∞_x^a_.(^dx_1+x^b₎ ^,

∫

₀^+∞ln(1_t^{+bta).dt ,}

∫

₀^+∞

^t

^a−1

^e

^−t

^.dt

^,

∫

₀¹

^t

^a−1

^{( 1}

⁻

^{t )}

^b−1

^{. dt}

^,

∫

₀^+∞₍₁^u₊^a_u⁻¹₎^b.dt.

Exercice 7 : Trouver lim_n→+∞

∑

⁻

= −

1

1 ² ²

n 1

k n k ^.

Exercice 8 : 1) Soit f ∈ C(R₊, R₊) une fonction intégrable. Construire une suite croissante (x_n) telle que (∀n)

∫

_x^+∞_n ^{f ).(t dt ≤} ₂¹ⁿ . En déduire qu’existe une fonction g ∈ C(R₊, R₊) croissante, tendant vers +∞ en +∞, telle que f.g soit intégrable sur R+.

2) Soit f ∈ C(R₊, R₊) une fonction non intégrable. Montrer qu’il existe une fonction g ∈ C(R₊, R₊) décroissante, tendant vers 0 en +∞, telle que f.g ne soit pas intégrable sur R₊.

1.3. Intégrabilité de fonctions oscillantes.

Les critères précédents ressemblent fort à ceux rencontrés dans l’étude des séries à termes positifs.

Il y a cependant une différence notable entre les deux théories : le terme général d’une série convergente tend vers 0, alors qu’une fonction intégrable, même à valeurs positives, ne tend pas toujours vers 0. Elle peut même avoir +∞ comme valeur d’adhérence, comme le montre les fonctions oscillantes considérées dans l’exemple final du § 1.1.

Les méthodes précédentes (majoration, minoration, équivalent) achoppent dans le cas des fonc- tions oscillantes à valeurs positives, fonctions aisées à reconnaître au vu de leur graphe. Ces fonctions n’ont pas d’équivalent simple, et les encadrements élémentaires échouent. La technique consiste alors à introduire à étudier l’intégrale sur chaque arche, et à transformer le problème de l’intégrabilité en un problème de série, au moyen du critère suivant :

Proposition : Soit f : [a, b[ → R⁺ une fonction réglée sur tout segment, a = a₀ < a₁ < a₂ < ... une suite croissante tendant vers b. Notons I_n =

∫

_a^a_nⁿ⁺¹

^{f ( t ). dt}

. Pour que f soit intégrable sur [a, b[, il faut et il suffit que la série

∑

^+∞

=0 n

In converge, et, si tel est le cas, on a :

∫

_[a,b[ f(t).dt =

∑

^+∞

=0 n

In . Preuve : f étant positive, F(x) =

∫

_a^x

^{f ). ( t dt}

^est

croissante. L’intégrabilité de f équivaut au fait que F(x) est majorée, ou encore au fait que la suite (F(a_n)) le soit. Or c’est la suite des sommes partielles de la série

∑

^+∞

=0 n

In.

Exercice 9 : Soient a et b > 0. Montrer que l’intégrale

∫

₀^+∞_1+x^xba_.^._sin^dx_²x converge ssi b > 2a + 2.

> with(plots):

> f:=(b,x)->x/(1+x^b*sin(x)^2);d:=plot(x,x=0..14,color=black):

p:=b->plot(f(b,x),x=0..14,thickness=2,color=COLOR(RGB, rand()/10^12, rand()/10^12, rand()/10^12),numpoints=6000):

> display({d,seq(p(k),k=1..6)});

Exercice 10 : Soient a, b > 0. Mr que l’intégrale

∫

₀^+∞

^x

^a

^{. exp(}

⁻

^x

^b

^{. sin ² x ). dx}

converge ssi b > 2a + 2.

Exercice 11 : Natures des intégrales :

∫

^0+∞ − + ³

2

sin . .

x e e

dx e

x x

x

,

∫

₀^+∞

^{sin x}

^x

^{. dx}

^,

∫

_π^+∞sin_x.ln^²x._x^{dx ,}

∫

₀^+∞

^{t . e}

^−at.E(et).dt (E est la partie entière) . Exercice 12 : Natures des intégrales :

∫

₀^{+∞ −}

cos .

t dt e

^t

,

∫

₀^+∞(1₊x²).sin2/3x

dx _,

∫

_π^+∞ _a ^b

x x

dx sin .

, (a, b) ∈ R².

2. Fonctions intégrables à valeurs vectorielles.

Définition 1 : La fonction f : I → E (Banach), réglée sur tout segment, est dite intégrable sur I si la fonction || f || : t → ||

f (t )

|| est intégrable sur I. On dit aussi que l’intégrale

∫

_I f est absolument convergente.

Par définition, l’intégrabilité de f équivaut à celle de || f || ; elle s’établit à l’aide des méthodes du §1.

Cela dit, la définition précédente a un défaut : elle ne dit pas comment définir l’intégrale de f (situation très analogue à la présentation donnée des familles sommable). Cela va découler du : Théorème et définition : Si f est intégrable sur I, pour toute suite exhaustive (J_n) de segments de I, la suite (

∫

_Jn f ) est convergente, et sa limite est indépendante de la suite (J_n) choisie.

On l’appelle intégrale de f sur I :

∫

_I f = lim_n→+∞

∫

_Jn f . Proposition : critère de majoration.

Soient f : I → E une fonction réglée à valeurs vectorielles, et ϕ : I → R une fonction réglée à valeurs positives. Si (∀t ∈ I) ||

f (t )

|| ≤ ϕ(t), et si g est intégrable sur I, alors f est intégrable sur I, et :

|| ∫

_I f

||

≤

∫

_I

||

f

||

≤

∫

_Iϕ . Corollaire 1 : critère de domination.

Soient I = [a, b[, f : I → E une fonction réglée à valeurs vectorielles, et ϕ : I → R une fonction réglée à valeurs positives. Si f = O(ϕ) au V(b−) et si ϕ est intégrable, alors f est intégrable.

Corollaire 2 : règle de l’équivalent.

Soient I = [a, b[, f et g : I → E deux fonctions réglées à valeurs vectorielles, t. q. f ∼ g au V(b−).

Alors f est intégrable si et seulement si g l’est.

Corollaire 3 : cas d’un intervalle borné.

Soient I = [a, b[ un intervalle borné, f : I → E une fonction réglée sur tout segment.

i) Si f a une limite en b−, f est intégrable sur I; on dit que l’intégrale

∫

_{[ ba,[}^f est faussement impropre ; ii) Si f est bornée sur I, f est encore intégrable.

Preuve : i) f peut être prolongée en une fonction réglée sur [a, b], en posant f(b) = f(b−). On est ramenés à l’intégration sur un segment.

ii) Si f est bornée sur I (∃B > 0) (∀t ∈ I) ||

f (t )

|| ≤ B.

Or la fonction constante t → B est intégrable sur I car I est borné. Donc f est intégrable.

Exemples : Voici deux exemples simples illustrant chacune de ces situations : i) L’intégrale

∫

₀^{πsin dx}_x^x. est faussement impropre en 0, car la fonction f(x) =

x x

sin

tend vers 1 quand x → 0.

ii) La fonction f : x → sin

x

1

est définie sur ]0, 1], et continue. Elle n’a pas de limite à gauche en 0+, de sorte qu’elle n’est pas réglée sur [0, 1], de quelque façon qu’on la prolonge. Elle est cependant intégrable sur ]0, 1], car bornée.

Remarque : En fait, son intégrale sur ]0, 1] coïncide avec son intégrale de Riemann (car f est Riemann-intégrable sur [0, 1].) Plus généralement, si I est borné, les fonctions réglées sur tout segment J ⊂ I , et bornées dans I, sont intégrables Riemann, et leur intégrale généralisée coïncide avec leur intégrale de Riemann.

Proposition : a) L’ensemble des fonctions réglées I → E et intégrables est un espace vectoriel, et l’application f →

∫

_I f est linéaire.

b) Si E = R, c’est de plus un espace de Riesz ; f est intégrable ⇔ f ⁺ et f ⁻ le sont , et :

∫

_I f =

∫

_I f⁺ +

∫

_I f⁻ .

c) Si E = C, f est intégrable ⇔ f est intégrable ⇔ Re f et Im f sont intégrables , et :

∫

_I f =

∫

_I Re f + i

∫

_I Im f .

d) Si E est un evn de dim finie rapporté à une base BBBB _{= (e1, …, en}) et si f(t) =

∑

= n

i

i i t e f

1

).

( , alors : f est intégrable ⇔ chaque f_i l’est, et :

∫

_I f =

∑

= n

i 1

(

∫

_I f_i ).e_i .

Proposition : Si f : I = ]a, b[ → E est intégrable, alors F(x, y) =

∫

_x^y

^{f ). ( t dt}

tend vers

∫

_I f lorsque x tend vers a+ et y tend vers b− indépendamment.

Remarque : Dans le cas des fonctions à valeurs positives, cette proposition est une cns ; dans le cas général, c’est seulement une condition nécessaire. Nous reviendrons sur ce point dans le § 4.

Exercice 1 : Démontrer que

∫

₀^+∞₁^ln_+x^x_²^.dx converge et vaut 0.

Exercice 2 : Nature de l’intégrale :

∫

₀^{+∞ x}_ln(^.sin(₁₊¹_x^/₎^{x²).dx .}

Exercice 3 : Lemme de Riemann-Lebesgue.

Soient f : I → K ou E une fonction intégrable, p : R → K une fonction réglée T-périodique.

Montrer que : limn→+∞

∫

_I f(t).p(nt).dt =

T

1 ∫

₀^T

^{p ( t ). dt}

^.

^∫

^I f(t).dt .

Application : Montrer que la fonction de Bessel J0(x) =

π ² ∫

₀^π/2

^{cos( x . sin θ ). d θ}

tend vers 0 en ±∞.

[ Poser sin θ = t ].

Exercice 4 : Soit f : R → R continue et bornée. Montrer que

∫

₋^+∞_∞ ^f(t²₂⁻_t¹⁾₁₊¹_t²^{dt =}

∫

₋^+∞_∞1^f₊^(t_t⁾_²^dt.

Exercice 5 : Formule de Schlömilch . Soient f : I = ]0, +∞[ → C réglée sur tout segment, a et c > 0.

On suppose que l’intégrale

∫

_I f((cx −

x

a

₎2).dx converge.

Montrer que l’intégrale

∫

_I f(t²).dt converge, et que :

∫

_I f((cx −

x

a

₎2).dx =

c

1 ∫

_I f(t²).dt . Exercice 6 : Soient p₁, p₂, …, p_n des réels > 0, a₁ < a₂ < … < a_n.

1) Etudier les variations de ϕ(x) = x −

∑

= −

n

j j

j

a x

p

1

.

2) Soit y ∈ R. Combien l’équation ϕ(x) = y a-t-elle de solutions en x ? Quelle est leur somme ? 3) Soit f ∈ C(R, R) intégrable. Montrer que

∫

₋^+∞_∞

^{f ( ϕ ( t )). dt}

⁼

∫

₋^+∞_∞

^{f ( t ). dt}

^.

4) Applications : Calculer

∫

₋^+∞_∞^exp(−t₂^²−₂^p_t^²_²^).dt (p > 0), puis

∫

₀^{+∞t−3/2exp(−st−}_t^p).dt (s et p > 0).

Problème 7 : intégrale de fractions rationnelles.

1) Soit F(x) = ) (

) (

x Q

x

P ∈ C(X) une fraction rationnelle sous forme réduite.

F est intégrable sur R si et seulement si F n’a pas de pôle réel, et deg Q ≥ deg P + 2.

Et alors : dx x Q

x P .

) (

)

∫

₋^+∞_∞ ( ^{= 2iπ.}

∑

+ Π

∈ a

a

F s ( )

Re

= −2iπ.

∑

− Π

∈ a

a

F s ( )

Re

.

où Π (resp. Π+, Π₋) est l’ensemble des pôles de F (resp. dans Im z > 0, dans Im z < 0) et Res_a(F) est le résidu de F en a (c’est-à-dire le coef. de

z− 1 a

dans la décomposition en éléments simples de F).

2) Applications :

i) Calculer

∫

₋^+∞_∞x^dx4₊₁ ^et

∫

₋^+∞_{∞ x}⁴₊^dx_x²+1^.

ii) Montrer que

∫

₋^+∞_{∞ x}^2ndx₊₁ ⁼ _n.sin(^π_π/n) ^et

∫

₋⁺_∞^∞

_x ^x

²ⁿ²₊^p

₁ ^{. dx}

⁼

2 ) 1 sin(2

.

π

π

n

n p+ ( p < n ).

iii) Calculer

∫

₋^+∞_∞ x ₊ n

dx ) 1

( ² et F(a) =

∫

₋^+∞_∞(x2_+1)².(x_²−2x_cosa₊₁₎

dx _.

3. Intégration des relations de comparaison.

Le puissant théorème d’intégration des relations de comparaison est analogue au théorème de sommation des relations de comparaison relatif aux séries.

Soit f : [a, b[ → E une fonction réglée à valeurs vectorielles. On se propose d’étudier : • la fonction F(x) =

∫

_[a,x]

f (t )

.dt au voisinage de b−0 si f est non intégrable,

• le reste R(x) =

∫

_[x,b[

f (t )

.dt au voisinage de b−0 si f est intégrable.

Pour cela, introduisons une fonction g : [a, b[ → R réglée à valeurs positives.

Théorème d’intégration de relations de comparaison : (I) Supposons g intégrable.

a) Si f = O(g) au V(b−) , alors f est intégrable et

∫

_[x,b[

f (t )

.dt = O(

∫

_[x,b[ g(t).dt ) quand x → b−.

b) Si f = o(g) au V(b−) , alors f est intégrable et

∫

_[x,b[

_{f (t )}

_{.dt = o(}

∫

_[x,b[ g(t).dt ) quand x → b−.

c) Si f ∼

c

.g au V(b−) , où

c

_≠ 0 , alors f est intégrable et :

∫

_[x,b[

f (t )

.dt ∼

c ∫

_[x,b[ g(t).dt quand x → b− . (II) Supposons g non intégrable.

a) Si f = O(g) au V(b−) , alors

∫

_[a,x]

f (t )

.dt = O(

∫

_[a,x] g(t).dt ) quand x → b− . b) Si f = o(g) au V(b−) , alors

∫

_[a,x]

f (t )

.dt = o(

∫

_[a,x] g(t).dt ) quand x → b− . c) Si f ∼

c

.g au V(b−) , où

c

≠ 0 , alors f est non intégrable et :

∫

_[a,x]

_{f (t )}

_{.dt ∼∼∼∼}

_c ∫

_[a,x] g(t).dt quand x → b− . Démonstration :

(I) Dans les trois cas, on a f = O(g) au V(b−) ; comme g est intégrable, f l’est aussi.

a) Si f = O(g) au V(b−) , alors (∃B > 0) (∃c ∈ [a, b[) (∀t ∈ [c, b[) ||

f (t )

|| ≤ B.|g(t)| = B.g(t) . Alors (∀x ∈ [a, b[) ||

R (x )

|| = ||

∫

_[x,b[

f (t )

.dt ||_≤

∫

_[x,b[ ||

f (t )

||.dt ≤ B.

∫

_[x,b[ g(t).dt .

b) Si f = o(g) au V(b−) , alors (∀ε > 0) (∃c ∈ [a, b[) (∀t ∈ [c, b[) ||

f (t )

|| ≤ε.|g(t)| = ε.g(t) . Alors (∀x ∈ [a, b[) ||

R (x )

|| = ||

∫

_[x,b[ f(t).dt ||_≤

∫

_[x,b[ ||

f (t )

||.dt ≤ε.

∫

_[x,b[ g(t).dt .

c) Il suffit d’écrire :

∫

_[x,b[

f (t )

.dt =

c

.

∫

_[x,b[ g(t).dt +

∫

_[x,b[ [

f (t )

₋

c

.g(t)].dt , et d’appliquer b) à

h (t )

=

f (t )

₋

c

.g(t) .

(II) Dans les deux premiers cas, on ne peut rien conclure quant à l’intégrabilité de f : Ainsi, sur [1,+∞[, g(t) =

t

1

est non intégrable. f(t) =

² 1

t

est intégrable, tandis que f(t) =

t t ln .

1

_{ne l’est} pas. On ne peut conclure que dans le dernier cas.

Commençons par noter que G(x) =

∫

_[a,x] g(t).dt tend vers +∞ quand x → b− .

a) Si f = O(g) au V(b−) , alors (∃B > 0) (∃c ∈ [a, b[) (∀t ∈ [c, b[) ||

f (t )

|| ≤ B.|g(t)| = B.g(t) . Alors (∀x ∈ [c, b[) ||

F (x )

|| =

|| ∫

_[a,x]

f (t )

.dt

||

≤

|| ∫

_[a,c]

f (t )

.dt

||

+

∫

_[c,x] ||

f (t )

||.dt

≤

|| ∫

_[a,c]

f (t )

.dt

||

+ B.

∫

_[c,x] g(t).dt = Cte + B.(G(x) − G(c)).

Comme G(x) tend vers +∞ , (∃c' ∈ [a, b[) (∀x ∈ [c, b[) Cte − B.G(c) ≤ B.G(x).

Alors, pour x ≥ max(c, c') , ||

F (x )

|| ≤ 2.B.G(x) .

b) Si f = o(g) au V(b−) , alors (∀ε > 0) (∃c ∈ [a, b[) (∀t ∈ [c, b[) ||

f (t )

|| ≤ ε.|g(t)| = ε.g(t) . Alors (∀x ∈ [c, b[) ||

F (x )

|| =

|| ∫

_[a,x]

f (t )

.dt

||

≤||

∫

_[a,c]

f (t )

.dt || +

∫

_[c,x] ||

f (t )

||.dt

≤

|| ∫

_[a,c]

f (t )

.dt

||

+ _ε.

∫

_[c,x] g(t).dt = Cte + ε.(G(x) − G(c)).

Comme G(x) tend vers +∞ , (∃c' ∈ [a, b[) (∀x ∈ [c, b[) Cte −ε.G(c) ≤ε.G(x).

Alors, pour x ≥ max(c, c') , ||

F (x )

|| ≤ 2.ε.G(x) .

c) Il suffit d’écrire :

∫

_[a,x]

f (t )

.dt =

c

.

∫

_[a,x] g(t).dt +

∫

_[a,x] [

f (t )

₋

c

.g(t)].dt , et d’appliquer b) à

h (t )

=

f (t )

₋

c

.g(t) . CQFD Remarques :

1) Le cas (II) est moins facile que le cas (I), car une découpe à la Chasles est nécesssaire.

2) Le théorème précédent reste vrai si g est positive au V(b−), ou de signe constant en ce voisinage. Cependant, une condition de signe ne peut être omise.

3) En pratique, pour obtenir des équivalents de fonctions définies comme « sommes partielles »

)

(x

F

=

∫

_[a,x]

f (t )

.dt ou comme « restes »

R (x )

=

∫

_[x,b[

f (t )

.dt , on pourra : − s’assurer si ces intégrales ne se calculent pas élémentairement ;

− sinon, recourir au théorème précédent ;

− parfois des encadrements élémentaires fournissent le même résultat : les gendarmes sont bien utiles (et ce n’est pas mon beau-père qui me contredira!) ; il arrive aussi qu’un éclatement élémen- taire inspiré du TIRC, mais évitant de recourir au TIRC, donne des résultats plus précis.

Ainsi, si : f ∼

c

.g au V(b−) , où

c

_≠ 0 , on pourra écrire :

∫

_[a,x]

f (t )

.dt =

c

.

∫

_[a,x] g(t).dt +

∫

_[a,x] [

f (t )

₋

c

.g(t)].dt ;

− enfin, il faut parfois combiner le théorème précédent avec de judicieuses intégrations par parties, de façon que la partie intégrée donne la partie principale.

Exemples :

1) Théorème de Cesàro intégral . Soit f : [0, +∞[ → E une fonction réglée tendant vers

c

en +∞.

Montrer que

x

1 ∫

₀^x

^{f ( t ) . dt}

tend vers

c

en +∞ .

On peut démontrer ce résultat directement, mais on peut aussi le déduire du TIRC : • Si

c

= 0 , on a f(x) = o(1) au V(+∞). Or g(t) = 1 est positive et non intégrable. Donc :

F(x) =

∫

₀^x

^{f ( t ) . dt}

^{= o(}

∫

₀^x

^{1 . dt}

) = o(x) (TIRC, II b) • Si

c

≠ 0 , on a f ∼

c

.1 au V(+∞). Donc ici :

F(x) =

∫

₀^x

^{f ( t ) . dt}

^∼

^c ∫

₀^x

^{1 . dt}

⁼

^c

^.x (TIRC, II c) 2) Équivalents de

∫

_x^+∞

^{th ( t ). exp(}

⁻

^{t ). dt}

^{et de}

∫

₀^x

^{th ( t ). exp( t ). dt}

quand x → +∞ .

Observons d’abord que ces deux intégrales peuvent se calculer élémentairement (ce sont des fractions rationnelles en exp(t)...), mais nous allons éviter ce long calcul .

• La fonction f(t) = th(t).exp(−t) est continue, positive sur R, et équivalente en +∞ à g(t) = exp(−t).

Elles sont donc toutes deux intégrables, et leurs restes sont équivalents :

R(x) =

∫

_x^+∞

^{th ( t ). exp(}

⁻

^{t ). dt}

^∼

∫

_x^+∞

^exp(

⁻

^{t). dt}

^{= exp(−x)} (TIRC, I c)

• La fonction f(t) = th(t).exp(t) est continue, positive sur R, et équivalente en +∞ à g(t) = exp(t).

Elles sont donc toutes deux non intégrables, et leurs sommes partielles sont équivalentes : F(x) =

∫

₀^x

^{th ( t ). exp( t ). dt}

^∼

∫

₀^x

^{exp( t ). dt}

^{= exp(x) − 1 ∼} exp(x) (TIRC, II c)

3) Étude de F(x) =

∫

_x^1e_t^−t.dt au V(0+).