T.D. 07 — Intégration sur un intervalle quelconque

PSI* 2019/2020

T.D. 07 — Intégration sur un intervalle quelconque

1. Montrer l’existence des intégrales suivantes et établir les résultats fournis :

1 0

(−lnt)ⁿdt=n! (n∈N)

+∞

0

dx

(1 +x²) (1 +x^λ) = π

4 (λ∈R) (poser t= 1 x)

+∞

−∞

dx

(1 +x²)^3/2 = 2

b a

dx

(x−a) (b−x) =π (a < b) 2. a)En minorant f :x → sin²x

x sur des intervalles bien choisis, montrer que f n’est pas intégrable sur [1,+∞[.

b)À l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’intégrale impropre

+∞

1

sinx

x^α dxconverge pour tout α >0, alors queg_α :x→ sinx

x^α est intégrable sur[1,+∞[si et seulement siα >1.

c)Étudier la nature des intégrales impropres

+∞

1

sinx

√x+ sinxdx et

+∞

1

sinx

√x+ cosxdx.

3. Soient A∈R^+∗,α∈Retf ∈ C⁰(R⁺,R) tels que : ∀x≥A |f(x)| ≤e^αx ; montrer que

nlim→∞

+∞

0

e^−nxf(x) dx= 0 et, sif est bornée, lim

n→∞n

+∞

0

e^−nxf(x) dx=f(0).

4. Soit f ∈ C⁰(R⁺,R) telle quelim

+∞f =ℓ∈R; montrer que lim

n→∞

+∞

0

nf(x)

n²+x²dx= πℓ 2 .

5. Montrer que :

+∞

2

(ζ(x)−1) dx=

∞ n=2

1

n²lnn (oùζ(x) =

∞ n=1

1

n^x, pourx >1).

6. Montrer que :

+∞

0

sint e^t−1dt=

∞ n=1

1 n²+ 1.

7. À l’aide du développement en série deln (1−t), calculer

1 0

lntln (1−t)

t dt.

8. a)Soit f une fonction continue par morceaux sur R^+∗, telle quex→f(x)e^−x soit intégrable surR^+∗. Déterminer

nlim→∞

n 0

1−x n

n

f(x) dx.

b)Application : on pose

∀n∈N^∗ I_n=

n 0

1−x n

nlnxdx.

À l’aide d’une intégration par parties, en remarquant que 1−x

n

n= d dx

n

n+ 1 1− 1−x n

n+1

établir

I_n= n

n+ 1 lnn−

n+1

k=1

1 k . En déduire

γ=−

+∞

0

e^−xlnxdx.

9. Définition et calcul def(x) =

1 0

t^x−1

lnt dt(on pourra déterminer f^′).

10. Montrer que la fonction G:x→

R

e^−t2e^2iπtxdtest solution sur Rd’une équation différentielle linéaire du premier ordre que l’on précisera. En déduire la valeur deG(x).

11. Calculer, pour x >1,F(x) =

π 0

ln (x+ cost) dt.

12. On pose φ(x) =

1 0

lnt

t+xdt, pour x >0.

a)Montrer que φest de classe C¹ surR^+∗, calculer φ^′(x), pourx >0.

b)En déduire, toujours pour x >0, la valeur deψ(x) =φ(x) +φ 1 x . 13. c Intégrale de Poisson : on pose, pourx réel,

I(x) =

π 0

ln 1−2xcost+x² dt.

a)Justifier la définition de I(x) et établir, pour xnon nul, I 1

x =I(x)−2πln|x|. b)Montrer que la fonction I est paire et continue surR.

c)Montrer que la fonction I est de classeC¹ sur ]1,+∞[et préciser I^′ sur cet intervalle.

d)En déduire la valeur de I(x), pour tout réel x.

14. c Intégrale de Dirichlet : on pose, pourx∈R⁺, f(x) =

+∞

0

e^−xtsint t dt.

a)Justifier la définition et la continuité def surR⁺(pour la continuité en 0, on pourra faire apparaître f(x) comme somme d’une série alternée).

b)Montrer que f est de classe C¹ surR^+∗ et préciserf^′ sur cet intervalle.

c)En déduire la valeur de f(x), pour tout x≥0.

d)En déduire enfin :

+∞

0

sint t dt= π

2.