Exercices sur l'intégration sur un intervalle quelconque

(1)

Intégration sur un intervalle quelconque

Intégrabilité

Exercice 1 [ 00657 ][correction]

Etudier l’existence des intégrales suivantes : a)

Z 1 0

dt (1−t)√

t b)

Z +∞

0

ln(t) e^−tdt c) Z +∞

0

lnt t²+ 1 dt d)

Z +∞

0

ln(1 +t) t^3/2 dt e)

Z +∞

−∞

ln(1 +t²) 1 +t² dt f)

Z +∞

0

sin 1

t²

dt

Etudier l’existence des intégrales suivantes : a)

Z +∞

0

te⁻

√t

1 +t²dt b) Z 1

0

lnt

p(1−t)³dt c) Z +∞

0

dt e^t−1 d)

Z +∞

0

e^−(ln^t)²dt e) Z +∞

0

e^−tarctan^tdt f) Z +∞

0

t+ 2−p

t²+ 4t+ 1 dt

a) Etudier l’intégrabilité sur ]1,+∞[ de f(x) =

√lnx (x−1)√

x b) Montrer

Z 3 2

f(x) dx6 ln 3 2

Etudier l’existence de

Z +∞

0

ln(tht) dt

Montrer que les fonctionst7→sint ett7→ ^sin_t^t ne sont pas intégrables sur [0,+∞[.

Etudier l’intégrabilité en 0 de

f :x7→

Z x 1

e^t t dt

Soitf : [1,+∞[→Rcontinue vérifiant

∀x, a>1, 06f(x)6 a x² + 1

a² La fonctionf est-elle intégrable sur [1,+∞[ ?

Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue, positive et décroissante.

On poseg: [0,+∞[→Rdonnée par

g(x) =f(x) sinx

Montrer que les intégrabilités def et deg sont équivalentes.

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue et positive. On suppose f(x+ 1)

f(x) −−−−−→

x→+∞ `∈[0,1[

Déterminer la nature deR+∞

0 f(t) dt.

Soitf : [0,1]→Rdonnée par

f(x) =x²cos 1/x²

six∈]0,1] etf(0) = 0

Montrer quef est dérivable sur [0,1] mais que sa dérivéef⁰ n’est pas intégrable sur ]0,1].

(2)

Soitgdéfinie sur R^+? par

g(x) = 1 x

Z x 0

f(t) dt oùf est continue, de carré intégrable surR⁺. a) Etudier le prolongement par continuité deg en 0.

b) Exprimerg⁰(x) en fonction def(x) et deg(x) pour x >0.

c) Pour 0< a < b, montrer que Z b

a

g²(t) dt= 2 Z b

a

f(t)g(t) dt+ag²(a)−bg²(b) puis montrer que

s Z b

a

g²(t) dt6 s

Z +∞

0

f²(t) dt+ s

ag²(a) + Z +∞

0

f²(t) dt d) Etudier la nature de

Z +∞

0

g²(t) dt

[Inégalité de Hardy]

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue et de carré intégrable. Pour x >0, on pose g(x) = 1

x Z x

0

f(t) dt a) Montrer queg² est intégrable sur ]0,+∞[ et que

Z +∞

0

g²(t) dt64 Z +∞

0

f²(t) dt b) Montrer quef g est intégrable et

Z +∞

0

g²(t) dt= 2 Z +∞

0

f(t)g(t) dt

Soitf ∈ C²(R,R) telle quef et f⁰⁰sont de carrés intégrables.

a) Montrer quef⁰ est de carré intégrable.

b) Montrer :

Z

R

f⁰² ²

6 Z

R

f² Z

R

f⁰⁰²

Intégrabilité dépendant de paramètres

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réelsaet b pour que les intégrales suivantes existent :

a) Z +∞

1

dt

t^a(t−1)^b b) Z +∞

0

t^a

1 +t^b dt c) Z +∞

0

t^ae^−t 1 +t^bdt

[Intégrales de Bertrand]

Pourα, β∈Ron étudie la nature de l’intégrale Z +∞

e

dt t^α(lnt)^β

a) On supposeα >1. Montrer que l’intégrale étudiée converge.

b) On supposeα= 1. Calculer

Z x e

dt t(lnt)^β

et déterminer pour quelsβ ∈Rl’intégrale étudiée converge.

c) On supposeα <1, en exploitant t

t^α(lnt)^β −−−−→

t→+∞ +∞

établir que l’intégrale étudiée diverge.

Enoncer une condition nécessaire et suffisante surα∈Rpour l’existence de Z +∞

0

t−sint t^α dt

a)adésigne un réel strictement supérieur à−1. En posant x= tant, montrer Z π/2

0

dt

1 +asin²(t) = π 2√

1 +a

(3)

b) Donner en fonction deα >0, la nature de la série XZ π

0

dt 1 + (nπ)^αsin²(t) c) Même question pour

XZ (n+1)π nπ

dt 1 +t^αsin²(t) d) Donner la nature de l’intégrale

Z +∞

0

dt 1 +t^αsin²(t)

Intégrabilité et comportement asymptotique

Soitf : [0,+∞[→Rde classeC¹telles quef et f⁰ sont intégrables sur [0,+∞[.

Montrer quef tend vers 0 en +∞.

Soitf : [0,+∞[→Rde classeC¹.

On suppose quef² etf⁰² sont intégrables. Déterminer la limite def en +∞.

Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue par morceaux.

On suppose quef est intégrable. Montrer Z x+1

x

f(t) dt−−−−−→

x→+∞ 0

Soitf :R⁺→Rune fonction continue, décroissante et intégrable surR⁺. a) Montrer quef tend vers zéro en +∞.

b) Montrer quexf(x) tend vers zéro quandx→+∞

c) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonctionf continue et intégrable surR⁺ telle quef ne tend pas vers zéro en +∞.

Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue par morceaux et décroissante.

On suppose quef est intégrable. Montrer xf(x)−−−−−→

x→+∞ 0

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue par morceaux et intégrable.

Montrer qu’il existe une suite (xn) de réels positifs vérifiant xn→+∞etxnf(xn)→0

Donner un exemple def ∈ C⁰(R⁺,R⁺) intégrable et non bornée.

Soitf ∈ C²([0,+∞[,R). On suppose quef etf⁰⁰ sont intégrables.

a) Montrer quef⁰(x)→0 quandx→+∞.

b) Montrer quef.f⁰ est intégrable.

Soitf : [0,+∞[ une fonction continue de carré intégrable. Montrer Z x

0

f(t) dt =

x→+∞o √ x

Calcul d’intégrales

Calculer les intégrales suivantes : a)

Z +∞

0

dt

(t+ 1)(t+ 2) b) Z +∞

0

dt

(e^t+ 1)(e^−t+ 1) c) Z +∞

0

ln

1 + 1 t²

dt d)

Z +∞

0

e⁻

√tdt e) Z +∞

0

lnt (1 +t)²dt

(4)

Z +∞

0

√ dt

e^t+ 1 b) Z +∞

1

dt sht c)

Z +∞

0

tlnt (t²+ 1)²dt d)

Z +∞

1

dt t²√

1 +t² e) Z 1

0

lnt

√t dt

Z +∞

0

e⁻

√t

√t dt b) Z π/2

0

sinxln(sinx)dx c) Z 1

0

lnt

√1−tdt d)

Z +∞

0

dx (x+ 1)√³

x e) Z +∞

0

√1 +x−1

x(1 +x) dx f) Z +∞

0

(1 +x)^1/3−1 x(1 +x)^2/3 dx g)

Z 2π 0

dx

2 + cosx h) Z 2π

0

sin²(x)

3 cos²(x) + 1dx i) Z 1

0

√xdx x−x²

a) Calculer

J = Z +∞

0

tdt 1 +t⁴ b) Etablir

I= Z +∞

0

dt 1 +t⁴ =

Z +∞

0

t²dt 1 +t⁴ c) En factorisant 1 +t⁴ déterminer la valeur deI.

Justifier et calculer

Z +∞

−∞

dt (1 +t²)(1 +it)

a) Justifier l’existence de

I= Z 1

0

t−1 lnt dt

b) Etablir

I= Z +∞

0

e^−x−e^−2x

x dx

c) En séparant cette dernière intégrale en deux, observer I= lim

ε→0

Z 2ε ε

e^−x x dx puis donner la valeur deI.

a) Justifier l’existence de

I= Z +∞

0

sin³t t² dt Pourx >0, on pose

I(x) = Z +∞

x

sin³t t² dt b) On rappelle sin 3a= 3 sina−4 sin³a. Etablir que

I(x) =3 4

Z 3x x

sint t² dt c) En déduire la valeur deI.

[Intégrales d’Euler]

On pose

I= Z π/2

0

ln(sint) dt etJ = Z π/2

0

ln(cost) dt Montrer que les intégralesIet J sont bien définies et égales.

CalculerI+J et en déduire les valeurs deI etJ. Exercice 35 [ 00675 ][correction]

Soitf :R→Rune fonction continue telle que

x→+∞lim f(x) =`∈R, lim

x→−∞f(x) =`⁰∈R Justifier l’existence et donner la valeur de

Z +∞

−∞

f(t+ 1)−f(t) dt

(5)

Soient (a, b)∈R² aveca < b etf ∈ C⁰(R,R) admettant une limite finie`en−∞

et telle queR+∞

0 f existe.

Justifier l’existence, puis calculer : Z +∞

−∞

(f(a+x)−f(b+x)) dx

Existence et valeur de

Z +∞

0

arctan(2x)−arctanx

x dx

Calculer

Z +∞

−∞

dx 1 +x⁴+x⁸

a) Montrer que

∀x∈R,e^x>1 +x En déduire

∀t∈R,1−t²6e^−t² 6 1 1 +t² b) Soitn∈N^?. Etablir l’existence des intégrales suivantes

I= Z +∞

0

e^−t²dt,In = Z 1

0

(1−t²)ⁿdtet Jn= Z +∞

0

dt (1 +t²)ⁿ puis établir

In6 I

√n 6Jn

c) On pose

Wn= Z π/2

0

cosⁿxdx Etablir

In=W2n+1 etJn+1=W2n

d) Trouver une relation de récurrence entreWn et Wn+2. En déduire la constance de la suite de terme général

u_n= (n+ 1)W_nW_n+1

e) Donner un équivalent deW_n et en déduire la valeur deI.

Justifier l’existence et calculer I=

Z +∞

0

t[1/t] dt

Soitf : ]0,1]→Rcontinue, décroissante et positive. On pose pourn∈N^? Sn= 1

n

X

k=1

f k

n

Montrer quef est intégrable sur ]0,1] si, et seulement si, la suite (Sn) est convergente et que si tel est le cas

Z

]0,1]

f(t) dt= lim

n→+∞S_n

Calcul d’intégrales comportant un paramètre

Existence et valeur poura >0 de I(a) =

Z +∞

0

sin(t)e^−atdt

Soita >0. En procédant au changement de variableu=a/t, calculer I(a) =

Z +∞

0

lnt a²+t²dt

(6)

Calculer

Z +∞

0

lnt t²+a²dt oùa >0.

Pour quelles valeurs dea∈R, l’intégrale I(a) =

Z +∞

0

dt (1 +t²)(1 +t^a) est-elle définie ?

En procédant au changement de variableu= 1/t, montrer queI(a) =π/4.

Pour quelles valeurs deaet bl’intégrale suivante est-elle définie ? Z +∞

0

√ t+a√

t+ 1 +b√ t+ 2

dt La calculer lorsque c’est le cas.

Poura >0, calculer

I(a) = Z +∞

0

(t− btc)e^−atdt

Soitf une fonction continue et croissante surRtelle que lim

x→+∞f(x) =`.

a) Poura >0, montrer que l’intégrale Z +∞

0

f(x+a)−f(x) dx est définie et la calculer.

b) Calculer

Z +∞

−∞

arctan(x+a)−arctan(x) dx

Trouver une expression simple de Z π

0

sin²t

(1−2xcost+x²)(1−2ycost+y²)dt oùx, y∈]−1,1[.

Existence et calcul éventuel de Z +∞

−∞

1

1 + (t+ib)²dt

Pourα∈R, étudier l’existence et déterminer l’éventuelle valeur de Z +∞

0

dx x²+αx+ 1

Soientp, q∈Rtel quep²−4q <0. Justifier et calculer Z +∞

−∞

dt t²+pt+q

Poura, b >0, calculer

I(a, b) = Z +∞

−∞

dt (t²+a²)(t²+b²)

SoientP etQdansR[X], oùQne s’annule pas surRet degP6degQ−2.

ExprimerR

RP/Qà l’aide des coefficients intervenant dans la décomposition en éléments simple deP/Q.

(7)

a) Soitz un nombre complexe non réel.

Déterminer la limite quandA→+∞de Z A

−A

dt t−z

b) SoientP, Q∈R[X] tels que F=P/Qsoit définie et intégrable sur R.

Pourapôle deF, on noteRa le coefficient de 1/(X−a) dans la décomposition en éléments simples deF.

Calculer la somme desR_a pouradécrivant l’ensemble des pôles deF. c) En déduire

Z +∞

−∞

F = 2iπ X

a∈P⁺

Ra

oùP⁺ désigne l’ensemble des pôles deF de partie imaginaire strictement positive.

d) Soientm, n∈Navecn > m. Calculer Z +∞

−∞

x^2m 1 +x²ⁿdx

a) Montrer que

I(a) = Z +∞

0

exp

−

x²+a² x²

dx existe pour touta∈R.

b) Justifier que poura >0, I(a) =

Z

√a

0

exp

−

x²+a² x²

1 + a x²

dx c) En déduire la valeur deI(a) poura∈R.

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue telle que l’intégrale suivante converge : Z +∞

1

f(t) t dt On se donne deux réels 0< a < b

a) Etablir que pour toutx >0 Z +∞

x

f(at)−f(bt)

t dt=

Z bx ax

f(t) t dt b) En déduire convergence et valeur de

Z +∞

0

f(at)−f(bt)

t dt

Changement de variable

Calculer

I= Z 1

0

1 +t² 1 +t⁴dt en procédant au changement de variablet= e^−x.

a) Calculer

Z +∞

0

1 +x² 1 +x⁴dx

en effectuant notamment le changement de variablex= e^t. b) En déduire la valeur de

Z +∞

0

dx 1 +x⁴

Existence et valeur de

I= Z +∞

0

dt (1 +t²)² On pourra exploiter le changement de variableu= 1/t.

a) Etablir

I= Z +∞

0

dx x³+ 1 =

Z +∞

0

x x³+ 1dx b) En déduire la valeur deI.

(8)

Existence et calcul de

Z π/2 0

√ tanθdθ

Calculer

Z 1 0

dx px(1−x) et

Z 1 0

px(1−x) dx

Soitf :C(R,R) intégrable. On pose

g:x∈R^?7→f(x−1/x) Montrer queg est intégrable surR^−?et R^+? et que

Z 0

−∞

g(x) dx+ Z +∞

0

g(x) dx= Z +∞

−∞

f(x) dx

Intégration par parties

Calculer, pourn∈N,

In = Z +∞

0

tⁿe^−tdt

Calculer pourn∈N,

In = Z 1

0

(xlnx)ⁿdx

Existence et calcul pourn∈Nde In=

Z +∞

0

dx (1 +x²)ⁿ⁺¹

On considère

f :t7→ lnt (1 +t)² a) Etudier l’intégrabilité def sur ]0,1] et [1,+∞[.

b) Calculer

Z 1 0

lnt (1 +t)²dt et

Z +∞

1

lnt (1 +t)²dt

Calculer

Z 1 0

ln(1−x²) x² dx

Convergence et calcul de

Z +∞

0

ln

1 + 1 t²

dt

Soitf : [1,+∞]→Rcontinue et intégrable. Montrer que les fonctionsuetv suivantes sont intégrables sur [1,+∞[ et que leurs intégrales y sont égales :

u(x) = 1 x²

Z x 1

f(t) dtetv(x) = f(x) x

Soitf : [0,+∞[→Rde classeC¹ et vérifiantf(0) = 0. Etablir

∀x >0, Z x

0

f(t) t

2

dt62 Z x

0

f(t)f⁰(t)

t dt

en justifiant l’existence des intégrales écrites.

(9)

Soitu:R→Rune fonction de classeC¹telle que Z +∞

−∞

(1 +x²)u(x)²+u⁰(x)²

dx <+∞

a) Déterminer les limites dex7→xu(x)² en±∞.

b) Etablir

Z +∞

−∞

u⁰(x)²dx Z +∞

−∞

x²u(x)²dx> 1 4

Z +∞

−∞

u(x)²dx ²

Existence et calcul de

I= Z +∞

0

ln

1 +t² t²

dt

Suites d’intégrales

On pose

I_n= Z +∞

0

dx

1 +xⁿ pourn∈N,n>2 a) Déterminer une suite de fonctions (fn) telle que

In= Z 1

0

fn(t) dt b) Déterminer deux réelsaetb tels que

In=a+ b n+o

1 n

quandn→+∞

On pose

Jn= Z +∞

0

dx (1 +x³)ⁿ⁺¹ a) CalculerJ₀.

b) Former une relation de récurrence engageantJn etJn+1.

c) Etablir qu’il existeA >0 tel que

Jn∼ A

√3

n

Pourn∈N^?, on pose

u_n= Z +∞

0

t−[t]

t(t+n)dt où [t] représente la partie entière det.

a) Justifier la bonne définition de la suite (un)n>1. b) Montrer que pour toutA >0

Z A 0

t−[t]

t(t+n)dt= 1 n

Z n 0

t−[t]

t dt− Z A+n

A

t−[t]

t dt

!

En déduire une nouvelle expression intégrale deun. c) On pose

vn=nun

Montrer la convergence de la série de terme général v_n−v_n−1− 1

2n d) En déduire un équivalent deun.

a) Soitf ∈ C¹([a, b],R). Déterminer les limites des suites (

Z b a

f(t) sin(nt) dt) et ( Z b

a

f(t) cos(nt) dt)

b) Calculer, pourn∈N^?,

Z π/2 0

sin(2nt) cost sint dt (on procédera par récurrence)

c) En déduire

Z +∞

0

sint t dt d) Etudier la limite puis un équivalent de

Z π/2 0

ln(2 sin(t/2)) cos(nt) dt

!

(10)

Intégrales seulement convergentes

[Intégrale de Dirichlet]

Justifier la convergence de l’intégrale suivante Z +∞

0

sint t dt

On peut montrer que celle-ci est égale àπ/2 mais c’est une autre histoire. . .

[Intégrale de Dirichlet]

Etablir

Z +∞

0

sint t dt=

Z +∞

0

1−cost t² dt puis

Z +∞

0

sint t dt=

Z +∞

0

sint t

² dt

On peut démontrer que cette valeur commune estπ/2 mais c’est une autre histoire. . .

Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue par morceaux, décroissante et de limite nulle.

Montrer la convergence de l’intégrale Z +∞

0

f(t) sin(t) dt

La fonctionx7→Rx

0 sin(e^t) dt admet-elle une limite en +∞? Exercice 83 [ 00694 ][correction]

[Intégrales de Fresnel]

Montrer la convergence des deux intégrales suivantes Z +∞

0

cos(t²) dtet Z +∞

0

sin(t²) dt

Convergence de

Z +∞

−∞

e^it²dt

Trouver un équivalent en +∞de f(λ) =

Z 1 0

e^iλx²dx

Pourx >0, on pose f(x) =

Z x 0

e^it²dt= Z x

0

cos(t²) dt+i Z x

0

sin(t²) dt a) Montrer

f(x) = e^ix²−1 2ix + 1

2i Z x

0

e^it²−1 t² dt En déduire quef admet une limite notéeλen +∞.

b) On poseg(x) =λ−f(x). Montrer que pourx >0 g(x) = 1

2i Z +∞

x

e^it²

t² dt−e^ix² 2ix c) Montrer qu’au voisinage de +∞

g(x) =−e^ix² 2ix +O

1 x³

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue. On suppose que l’intégrale suivante converge : Z +∞

0

f(t) dt Calculer

x→+∞lim 1 x

Z x 0

tf(t) dt

(11)

Soitf : [1,+∞[→Rcontinue. Montrer Z +∞

1

f(t) dtconverge ⇒ Z +∞

1

f(t)

t dtconverge

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue etα >0. Montrer Z +∞

0

f(t) dtconverge ⇒ Z +∞

0

f(t)

1 +t^αdtconverge

Soitf : [0,+∞[→Rcontinue.

On suppose que pours0∈R, l’intégraleR+∞

0 f(t)e^−s⁰^tdt converge.

Montrer que l’intégraleR+∞

0 f(t)e^−stdt converge pour touts > s0. Exercice 91 [ 03900 ][correction]

Soitf : [a,+∞[→Ravecf de classeC¹, décroissante et de limite nulle en +∞.

Soitg: [a,+∞[→Rcontinue telle qu’il existeM ∈R⁺ vérifiant

∀x∈[a,+∞[,

Z x a

g(t) dt 6M Montrer la convergence de l’intégrale suivante

Z +∞

a

f(t)g(t) dt

Etude d’intégrales dépendant d’un paramètre

On pose pour

f(a) = Z +∞

1

dt t^a+ 1

a) Pour quelles valeurs dea, l’intégrale définissant f(a) existe-t-elle ? b) Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en +∞.

[Fonction Γ d’Euler]

Pourx >0 on note

Γ(x) = Z +∞

0

t^x−1e^−tdt

a) Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour toutx >0.

b) Justifier

∀x >1,Γ(x) = (x−1)Γ(x−1) et calculer Γ(n) pourn∈N^?.

a) Pour quelles valeurs dex, l’intégrale f(x) =

Z 1 0

t^x−1 1 +tdt est-elle définie ?

b) Etudier la monotonie def. c) Calculer

f(x) +f(x+ 1) pourx >0 d) Déterminer la limite def en +∞ainsi qu’un équivalent.

e) Déterminer la limite def en 0⁺ ainsi qu’un équivalent.

Soitϕ:R⁺→Rune fonction de classeC¹ intégrable.

a) SoitA >0. Montrer

Z A 0

ϕ(t) cos(xt) dt−−−−−→

x→+∞ 0 b) Montrer

Z +∞

0

ϕ(t) cos(xt) dt−−−−−→

x→+∞ 0

(12)

Intégrales fonctions des bornes

Pourx >0, on pose

F(x) = Z +∞

x

e^−t t dt a) Montrer queF(x) est bien définie pour toutx >0.

b) Etablir queF est de classeC¹ surR^+? et calculerF⁰(x).

c) Montrer

x→+∞lim xF(x) = 0 et lim

x→0+xF(x) = 0 d) Sans exprimerF(x), justifier l’existence et calculer

Z +∞

0

F(x) dx

a) Donner la nature de l’intégrale Z +∞

0

sint t dt On pose pour tout réelx

f(x) = Z +∞

x

sint t dt

b) Montrer quef est de classeC¹surRet exprimer sa dérivée.

c) Calculer

Z +∞

0

f(t) dt

Pour toutx∈[1,+∞[, on pose F(x) =

Z x 1

√ t

t³−1dt

a) Montrer queF est bien définie, continue sur [1,+∞[ et de classeC^∞sur ]1,+∞[. ExprimerF⁰(x).

b) Etudier la dérivabilité deF en 1. Préciser la tangente au graphe deF en 1.

c) Etudier la limite deF en +∞.

d) Justifier queF réalise une bijection de [1,+∞[ sur un intervalle à préciser et queF⁻¹est dérivable sur ]0,+∞[ et solution de l’équation différentielle

yy⁰=p y³−1 e) Etudier la dérivabilité deF⁻¹en 0.

a) Justifier que

G(x, y) = Z y

0

t−[t]

t(t+x)dt où [t] représente la partie entière det, est définie sur (R^+?)².

b) Montrer queG(x, y) tend vers une limiteG(x) quandy tend vers +∞.

c) Montrer que

∀n∈N^?, G(n, y) = 1 n

Z n 0

t−[t]

t dt− Z y+n

y

t−[t]

t dt

d) On noteH(n) =nG(n) ; montrer que la série de terme général H(n)−H(n−1)− 1

2n converge et en déduire un équivalent deG(n).

Intégration des relations de comparaison

Déterminer un équivalent quandx→+∞du terme Z +∞

x

e^−t²dt

Déterminer un équivalent quandx→+∞du terme Z +∞

x

e^−t t dt

(13)

Déterminer un développement asymptotique à trois termes quandx→+∞de l’expression

Z x 1

e^t t dt

Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue. Pour 0< a < b, déterminer

x→0lim⁺ Z bx

ax

f(t) t dt

Déterminer un équivalent quandx→+∞de Z x

e

dt lnt

a) Justifier

Z x 1

ln(t+ 1)

t dt ∼

x→+∞

1 2(lnx)² b) Etablir qu’il existeC∈Rtelle que

Z x 1

ln(t+ 1) t dt=1

2(lnx)²+C+ε(x) avecε(x)−−−−−→

x→+∞ 0 c) Déterminer un équivalent de la fonctionεen +∞

Soitf : [0,+∞[→R^+? de classeC¹et non intégrable. On suppose f⁰(x) =

x→+∞o(f(x)).

Montrer

f(x) =

x→+∞o Z x

0

f(t) dt

(14)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

On noteraf la fonction intégrée etI l’intervalle d’étude, à chaque foisf s’avère continue par morceaux surI.

a)I= ]0,1[,f(t) ∼

t→1⁻ 1

1−t doncf n’est pas intégrable au voisinage de 1 et puisque de signe constant, l’intégrale étudiée diverge.

b)I= ]0,+∞[,√

tf(t)−−−−→

t→0⁺ 0 ett²f(t)−−−−→

t→+∞ 0 doncf est intégrable et R+∞

0 lnte^−tdt converge.

c)I= ]0,+∞[,√

tf(t)−−−−→

t→0⁺ 0 ett^3/2f(t)−−−−→

0 lnt

t²+1dt converge.

d)I= ]0,+∞[,f(t) ∼

t→0⁺

√1

t ett^4/3f(t)−−−−→

t→+∞ 0 donc f est intégrable et R+∞

0

ln(1+t)

t^3/2 dtconverge.

e)I= ]−∞,+∞[,t^3/2f(t)−−−−→

t→+∞ 0 et|t|^3/2f(t)−−−−→

t→−∞ 0 doncf est intégrable etR+∞

−∞

ln(1+t²) dt

1+t² converge.

f)I= ]0,+∞[, sin_t¹2 ∼

t→+∞

1

t² et sin_t¹2 est bornée au voisinage de 0 doncf est intégrable etR+∞

0 sin_t¹2dtconverge.

On noteraf la fonction intégrée etI l’intervalle d’étude, à chaque foisf s’avère continue par morceaux surI.

a)I= [0,+∞[,t²f(t)−−−−→

t→+∞ 0 doncf est intégrable etR+∞

0 te⁻

√ t

1+t² dtconverge.

b)I= ]0,1[,√

tf(t)−−−−→

t→0+ 0 et √^ln^t

(1−t)³ =

t=1−u ln(1−u)

u^3/2 ∼ ^√¹_u doncf est intégrable etR1

0 lnt

√(1−t)³dt converge c)I= ]0,+∞[, _e_t¹₋₁ ∼

t→0⁺ 1

t doncf n’est pas intégrable au voisinage de 0. Puisque de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l’intégrale diverge.

d)I= ]0,+∞[,f(t)−−−−→

t→0⁺ 0 ett²f(t) = e^{2 ln}^t−(ln^t)² = e^ln^t(2−ln^t)−−−−→

t→+∞ 0 doncf est intégrable etR+∞

0 e^−(ln^t)²dt converge.

e)I= [0,+∞[,t²f(t) = e^{2 ln}^t−tarctan^t−−−−→

0 e^−t^arctan^tdtconverge.

f)I= [0,+∞[.

Quandt→+∞, f(t) =t+ 2−t

r 1 + 4

t + 1

t² =t+ 2−t(1 +2 t + 1

2t² − 2

t² +O(1/t³))∼ 3 2t f n’est pas intégrable en +∞. Puisque de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l’intégrale diverge.

a) La fonctionf est définie et continue par morceaux sur ]1,+∞[.

Quandx→1⁺,

f(x)∼

p(x−1)

(x−1) = 1

√x−1 et quandx→+∞

f(x)∼

√ lnx x^3/2 =o

1 x^1,0001

doncf est intégrable sur ]1,+∞[.

b) Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz Z 3

2

√ lnx (x−1)√

xdx6 Z 3

2

dx (x−1)²

^1/2Z 3 2

lnx x dx

^1/2

En calculant les intégrales introduites Z 3

2

√lnx (x−1)√

xdx6

1−1 2

^1/21 2 h

(ln 3)²−(ln 2)²i^1/2 6 ln 3

2

La fonctionf :t7→ln(tht) est définie et continue par morceaux sur ]0,+∞[.

Quandt→0⁺, tht∼t→06= 1 donc ln(tht)∼lnt puis√

tln(tht)∼√

tlnt→0.

Quandt→+∞, tht= 1−_e2t²+1 donc ln(tht)∼ −2e^−2tpuist²ln(tht)→0.

On en déduit quef est intégrable sur ]0,+∞[.

On a

Z nπ 0

|sint|dt=

n

X

k=1

Z kπ (k−1)π

|sint|dt=n Z π

0

sin(t) dt= 2n→+∞

(15)

et donct7→sintn’est pas intégrable sur [0,+∞[.

La fonctiont7→ ^sin_t^t est prolongeable par continuité en 0 et c’est ce prolongement qu’on considère pour étudier son intégrabilité sur [0,+∞[.

Z nπ 0

|sint|

t dt=

n

X

k=1

Z kπ (k−1)π

|sint|

t dt Or pourk >1,

Z kπ (k−1)π

|sint|

t dt>

Z kπ (k−1)π

|sint|

kπ dt> 2 kπ donc

Z nπ 0

|sint|

t dt>

n

X

k=1

2 kπ = 2

π

n

X

k=1

1

k →+∞

La fonctionf est définie et continue sur ]0,1].

Pourx∈]0,1], on peut écrire f(x) =

Z x 1

e^t−1 t dt+

Z x 1

dt t =

Z x 1

e^t−1

t dt+ lnx

D’une part, la fonctiont7→ ^e^t⁻¹_t se prolonge par continuité en 0, elle est donc intégrable sur ]0,1] et par suite la fonction

x7→

Z x 1

e^t−1 t dt est intégrable sur ]0,1] car converge quandx→0⁺.

D’autre part, il est bien connu que la fonctionx7→lnxest intégrable sur ]0,1].

On en déduit quef est intégrable sur ]0,1].

Poura=x^αavecα >0 on obtient

06f(x)6 1 x^2−α + 1

x^2α En prenantα= 2/3,

06f(x)6 2 x^4/3

et donc, par comparaison de fonctions positives,f est intégrable sur [1,+∞[.

Puisque|g|6|f|, l’intégrabilité def entraîne celle deg.

Inversement, supposonsgintégrable.

On a

Z nπ 0

|f(t)|dt=

n−1

X

k=0

Z (k+1)π kπ

f(t) dt avec par décroissance def

Z (k+1)π kπ

f(t) dt6πf(kπ) Parallèlement

Z kπ (k−1)π

|f(t)| |sin(t)|dt>f(kπ) Z π

0

sin(t) dt= 2f(kπ) donc

Z (k+1)π kπ

f(t) dt6 π 2

Z kπ (k−1)π

f(t)|sin(t)| dt Ainsi

Z nπ 0

|f(t)|dt6 Z π

0

f(t) dt+

Z (n−1)π 0

f(t)|sin(t)|dt et donc

Z nπ 0

|f(t)|dt6 Z π

0

f(t) dt+ Z +∞

0

|g(t)|dt

On peut alors affirmer que les intégrales de|f|sur les segments inclus dans [0,+∞[ sont majorées ce qui signifie que la fonctionf est intégrable sur [0,+∞[.

Soitq∈]`,1[. Il existeA∈R⁺ tel que

∀x>A,f(x+ 1) f(x) 6q et donc

∀x>A, f(x+ 1)6qf(x) On a alors

Z A+n A

f(t) dt=

n−1

X

k=0

Z A+1 A

f(t+k) dt6

n−1

X

k=0

Z A+1 A

q^kf(t) dt= Z A+1

A

f(t)

n−1

X

k=0

q^kdt

(16)

et donc

Z A+n A

f(t) dt6 1 1−q

Z A+1 A

f(t) dt=M

On en déduit que les intégrales sur [A, A+n] de la fonction positivef sont majorées et doncf est intégrable sur [A, A+∞[ puis sur [0,+∞[.

L’intégrale étudiée est donc convergente.

f est évidement dérivable sur ]0,1] avec f⁰(x) = 2xcos

1 x²

+2

xsin 1

x²

et puisque

f(x)−f(0)

x =xcos

1 x²

−−−−→

x→0⁺ 0 f est aussi dérivable en 0 avecf⁰(0) = 0.

La fonctionx7→xcos 1/x²

est intégrable sur ]0,1] car bornée.

En revanche, la fonctiong:x7→sin(1/x²)/xn’est pas intégrable sur ]0,1]. En effet, par le changement de variableC¹ bijectift= 1/x², l’ intégrabilité deg sur ]0,1] équivaut à l’intégrabilité sur [1,+∞[ de

t7→sin(t)/tet cette dernière est connue comme étant fausse.

On en déduit quef⁰ n’est pas intégrable sur ]0,1].

a) SoitF une primitive de la fonction continuef. On a g(x) = 1

x(F(x)−F(0))−−−−→

x→0⁺ F⁰(0) =f(0) Ainsi on peut prolongerg par continuité en 0 en posantg(0) =f(0).

b) SoitF une primitive de f (il en existe carf est continue).

On a

g(x) = 1

x(F(x)−F(0)) On en déduit queg est dérivable surR^+? et

g⁰(x) =− 1

x²(F(x)−F(0)) +f(x)

x = f(x)−g(x) x

c) Par intégration par parties Z b

a

g²(t) dt= tg²(t)^b

a−2 Z b

a

tg⁰(t)g(t) dt donc

Z b a

g²(t) dt= tg²(t)^b

a−2 Z b

a

(f(t)−g(t))g(t) dt puis la relation proposée.

On en déduit par l’inégalité de Cauchy-Schwarz Z b

a

g²(t) dt62 s

Z b a

f²(t) dt s

Z b a

g²(t) dt+ag²(a) puis

Z b a

g²(t) dt−2 s

Z b a

f²(t) dt s

Z b a

g²(t) dt6ag²(a) en ajoutant un même terme de part et d’autre



 s

Z b a

g²(t) dt− s

Z b a

f²(t) dt





2

6ag²(a) + Z b

a

f²(t) dt

puis par la croissance de la fonction racine carrée s

Z b a

g²(t) dt−

s Z b

a

f²(t) dt6

s Z b

a

g²(t) dt− s

Z b a

f²(t) dt

6 s

ag²(a) + Z b

a

f²(t) dt

et enfin s

Z b a

g²(t) dt6 s

Z b 0

f²(t) dt+

s

ag²(a) + Z b

0

f²(t) dt6 s

Z +∞

0

f²(t) dt+

s

ag²(a) + Z +∞

0

f²(t) dt d) En faisant tendreavers 0, on obtient

s Z b

0

g²(t) dt62 s

Z +∞

0

f²(t) dt

et on en déduit que la fonctiong² est intégrable surR⁺car les intégrales deg² sur les segments inclus dansR⁺ sont majorées.

(17)

a) IntroduisonsF la primitive def s’annulant en 0. Quandx→0⁺ g(x) = F(x)

x = F(x)−F(0)

x →F⁰(0) =f(0) La fonctiong est donc prolongeable par continuité en 0.

Par intégration par parties Z A

ε

g²(x) dx=

−1 xF²(x)

A ε

+ 2 Z A

ε

g(x)f(x) dx Quandε→0,

F²(ε)

ε =F(ε)

ε ×F(ε)→0 et donc

Z A 0

g²(x) dx=−F²(A) A + 2

Z A 0

g(x)f(x) dx Par suite

Z A 0

g²(x) dx62 Z A

0

g(x)f(x) dx Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

Z A 0

g²(x) dx

!2

64 Z A

0

g²(x) dx

! Z A

0

f²(x) dx

!

et que le premier membre soit nul ou non Z A

0

g²(x) dx

! 64

Z A 0

f²(x) dx

! 64

Z +∞

0

f²(x) dx

On en déduit queg²est intégrable et l’inégalité proposée.

b) Puisque

|f g|6(f²+g²)/2

la fonctionf g est intégrable et en vertu de l’intégration par parties précédente, F²(x)

x = 2 Z x

0

g(t)f(t) dt− Z x

0

g²(t) dt Il suffit alors d’établir

F²(x)

x −−−−−→

x→+∞ 0

pour conclure.

On peut déjà affirmer queF²(x)/xadmet une limite finie`en +∞car les deux intégrales partielles de l’expression précédente convergent. Si cette limite n’est pas nulle alors

g²(x) = F²(x) x × 1

x∼ ` x et doncg²n’est pas intégrable.

On peut donc conclure que la limite`est nulle.

a) Par intégration par parties Z x

0

f⁰(t)²dt=f⁰(x)f(x)−f⁰(0)f(0)− Z x

0

f(t)f⁰⁰(t) dt Puisquef et f⁰⁰ sont de carrés intégrables, la fonctionf f⁰⁰ est intégrable.

Puisquef⁰²est positive, l’intégrale partielle Z x

0

f⁰(t)²dt converge ou tend vers +∞quandx→+∞.

Dans les deux cas

f⁰(x)f(x) =f⁰(0)f(0) + Z x

0

f⁰(t)²dt+ Z x

0

f(t)f⁰⁰(t) dt admet une limite quandx→+∞.

Or Z x

0

f⁰(t)f(t) dt=1

2 f(x)²−f(0)²

donc sif⁰(x)f(x) ne tend par vers 0 quandx→+∞, l’intégrale précédente diverge et donc

1

2f(x)²→+∞

ce qui est incompatible avec l’intégrabilité def² surR. Ainsi

f⁰(x)f(x)−−−−−→

x→+∞ 0 et on en déduit quef⁰ est de carré intégrable surR⁺ et

Z +∞

0

f⁰(t)²dt=f⁰(0)f(0)− Z +∞

0

f(t)f⁰⁰(t) dt