Intégration
I) Intégrale d’une fonction positive
1. Définition
Si est une fonction continue et positive sur [ ; ] (avec ≤ ) on appelle intégrale de sur [ ; ] l’aire du domaine limité par la courbe de , l’axe des abscisses, les droites = , = . On la note ∫ ( )
2. Remarques
est une variable muette : elle n’apparaît pas dans le résultat, on peut mettre n’importe quelle variable à la place.
L’aire est donnée en unités d’aires, les unités du graphique.
Cette définition se généralise à une fonction continue par intervalles.
3. Exemples
L’intégrale d’une constante ∫ vaut
∫ vaut
∫ vaut
∫ √1 − vaut
II) Le théorème fondamental du calcul intégral
1. Le théorème
Si est continue et positive sur [ ; ], alors la fonction définie sur [ ; ] par ( ) =
∫ ( ) admet pour dérivée
2. Sa démonstration dans le cas croissante et positive
On doit démontrer que = . Ici, on ne peut pas appliquer de formule, on doit appliquer la définition : lim
→
( ) ( )
. Si tout se passe bien, on va trouver ( ).
Pour simplifier, supposons ℎ > 0 :
( ) est l’aire sous la courbe entre les abscisses et , ( + ℎ) entre les abscisses et + ℎ. Ainsi ( + ℎ) − ( ) est l’aire sous la courbe entre les abscisses et + ℎ.
Cette aire est comprise entre deux rectangles, de même largeur ℎ, et de hauteurs respectives ( ) et ( + ℎ). On peut donc écrire :
ℎ × ( ) ≤ ( + ℎ) − ( ) ≤ ℎ × ( + ℎ), donc ( ) ≤ ( ) ( )≤ ( + ℎ) Quand ℎ tend vers 0, ( + ℎ) tend vers ( ) car est continue. D’après le théorème des gendarmes, ( ) ( ) tend donc vers ( ), ce qu’il fallait démontrer.
3. Existence de primitive :
Toute fonction continue admet des primitives :
Si est continue sur [ ; ], alors elle admet un minimum . La fonction définie par ( ) = ( ) − est positive, donc la fonction ( ) = ∫ ( ) est une primitive de . La fonction définie sur [ ; ] par ( ) = ( ) + est une primitive de . 4. Calcul d’intégrales par les primitives
Si est continue sur [ ; ], on a : ∫ ( ) = ( ) − ( ) où est une primitive quelconque de sur [ ; ].
Présentation du calcul
Si on ne voit pas la primitive du premier coup d’œil, on la recherche.
Ensuite, on écrit ∫ ( ) = [ ( )] = ( ) − ( )
III) Intégrale d’une fonction quelconque
1. Intégrale d’une fonction négative
Si est négative, − est positive, donc ∫ − ( ) est l’aire sous la courbe de − . L’intégrale de sera l’opposée de cette aire
2. Intégrale d’une fonction de signe quelconque
On compte positivement les aires au-dessus de l’axe des abscisses, négativement les aires en dessous.
Que vaut ∫ sin ? 3. Remarque
La méthode de calcul par les primitives vaut pour les intégrales de signe quelconque.
IV) Propriétés de l’intégrale
1. Relation de Chasles
Si ≤ ≤ , ∫ ( ) + ∫ ( ) = ∫ ( )
2. Intégrale quand a>b
Pour maintenir exacte la relation de Chasles, on convient de compter négativement une intégrale où la borne du bas est supérieure à la borne du haut.
3. Positivité, comparaison
Si ≤ , l’intégrale d’une fonction positive est positive Si ≤ et si pour tout de [ ; ] : ( ) ≤ ( ), alors 4. Linéarité
Si est une constante, alors ∫ × ( ) =
Si , sont deux fonctions, alors ∫ ( ( ) + ( )) = 5. Valeur moyenne, théorème de la moyenne
a) Valeur moyenne
On appelle valeur moyenne de sur [ ; ] le nombre ∫ ( )
Interprétation : pour une fonction positive, c’est la hauteur du rectangle qui a la même aire que la courbe de
b) Théorème de la moyenne
Si ≤ et que, pour tout ∈ [ ; ] ∶ ≤ ( ) ≤ , alors : ( − ) ≤ ( ) ≤ ( − )
