Intervalles de fluctuation et de confiance
I- Intervalle de fluctuation
1) Quelques rappels a) Seconde
L’intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95 % a été défini en Seconde de la façon suivante :
Dans une population, la proportion d’un caractère estp.
On produit un échantillon de taille nde cette population et on détermine la fréquencef du caractère dans cet échantillon.
Sipest compris entre 0,2 et 0,8 et sinest supérieur ou égal à 25, alors, dans environ 95 % des cas,f appartient à l’intervalle
p−√1
n;p+√1n
, que l’on appelleintervalle de fluctuation au seuil de 95 %(ouau risque de 5 %) Propriété
b) Première
En Première, nous avons vu que la loi binomiale nous permettait de calculer très exactement les probabilités des différentes fréquences observables dans un échantillon de taillen, à savoir les valeurs nk, avec 06k6n, même pourn625 etp<]0,2 ; 0,8[. La règle énoncée alors est la suivante :
L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % associé à une variable aléatoire X suivant la loi binomialeB(n;p), est l’intervalleh
a n; bni
, oùaetbsont les deux entiers naturels définis par :
• aest le plus petit des entierskvérifiantp(X6k)>0,025 ;
• best le plus petit des entierskvérifiantp(X6k)>0,975.
Propriété
Remarque
• Lorsquen >25 et 0,2< p <0,8, il est proche de l’intervalle vu en Seconde.
• Lorsquenest assez grand, il est quasiment centré surp.
• Cet intervalle s’obtient grâce aux possibilités des calculatrices (ou des logiciels) par la lecture des probabi- lités cumulées croissantes.
2) Intervalle de fluctuation asymptotique a) Variable aléatoire fréquence
On sait que la variable X qui, à chaque échantillon de taillen, associe le nombre d’éléments présentant le carac- tère donné suit la loi binomiale de paramètresn(taille de l’échantillon) etp(proportion effective).
La variable aléatoire F qui, à tout échantillon de taillenassocie la fréquencef du caractère donné dans cet échantillon, est appelée variable aléatoire fréquence et elle est définie par :
F =X n . Définition
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Cette variable aléatoire prend les valeurs 0,1n, 2n, . . ., nn.
C’est une variable aléatoire discrète mais elle ne suit pas une loi binomiale.
Dans toute la suite, sauf mention contraire, on suppose que :n>>>30,n×p>>>5 etn×(1−p)>>>5.
b) Intervalle de fluctuation asymptotique
Pour toutαdans ]0; 1[, un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 1−α est un intervalle déterminé à partir depet denet qui contient F avec une probabilité d’autant plus proche de 1−αquenest grand.
Définition
Remarque
• Il n’existe pas un unique intervalle de fluctuation asymptotique à un seuil donné. Par conséquent, pour un seuil donné on utilise l’expression « l’intervalle de fluctuation asymptotique » pour désigner l’intervalle considéré comme celui de référence en terminale.
• La probabilité que F appartiennent à l’intervalle de fluctuation asymptotique n’est pas nécessairement égale à 1−α, elle s’en rapproche quandnest de plus en plus grand, d’où le terme de « asymptotique ».
Pour tout nombre réelαdans ]0; 1[, il existe un unique réel positif uαtel que la probabilité que la variable aléatoire fréquence Fnprenne ses valeurs dans l’intervalle Indéfini par :
In=
p−uα
pp(1−p)
√
n ;p+uα
pp(1−p)
√ n
se rapproche de 1−αquand la taille de l’échantillon devient très grande.
On note : lim
n→+∞P(Fn∈In) = 1−α. Propriété
L’intervalle suivant, appelé intervalle de fluctuation asymptotiqueau seuil de 95 %, tend vers l’intervalle de fluctuation quandndevient grand :
p−1,96
pp(1−p)
√
n ;p+ 1,96
pp(1−p)
√ n
c’est-à-dire que la variable aléatoire Fnqui, à tout échantillon de taille nassocie sa fréquence, prend ses va- leurs dans cet intervalle de fluctuation avec une probabilité qui s’approche de 0,95 quandndevient grand.
On convient que cet intervalle peut être considéré comme une bonne approximation de l’intervalle de fluc- tuation dès lors quen>30,np>5 etn(1−p)>5.
Propriété
Remarque
• L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est inclus dans l’intervalle de fluctuation étudié en classe de seconde.
• L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 et l’intervalle de fluctuation de seconde sont centrés surpalors que ce n’est pas nécessairement le cas pour celui de première avec la loi binomiale.
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3) Utilisation de l’intervalle de fluctuation
On utilise l’intervalle de fluctuation, comme en Seconde ou en Première, lorsque la proportionpdans la popu- lation est connue ou bien si on fait une hypothèse sur sa valeur :
Représentativité : si la proportionp d’un caractère dans une population est connue, il permet de décider si un échantillon de taillenissu de cette population est représentatif de la population : si la fréquencef du caractère dans l’échantillon appartient à cet intervalle, on considère, au seuil de 95 %, que l’échantillon est représentatif.
Hypothèse surp: si on émet une hypothèse sur la proportionpd’un caractère dans une population, il permet de savoir si on doit rejetter cette hypothèse :
• Si la fréquence f observée dans un échantillon de taille n appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95, on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion estpdans la population n’est pas remise en question et icile risque d’erreur n’est pas quantifié.
En effet le risque de 5% signifie que la probabilité qu’on rejette à tort l’hypothèse alors qu’elle est vraie, est approximativement égale à 0,05.
• sinon on rejette l’hypothèse faite sur la proportionpavec un risque de 5% de se tromper.
Exemple
A la réception d’un nombre important de sacs de fèves de cacao (de 25 kg et de 40 kg), un chocolatier demande de peser 50 sacs choisis au hasard : 35 ont un poids de 40 kg. La commande spécifie qu’il doit y avoir 60% de sacs de 40 kg.
Le chocolatier accepte-t-il ce lot ?
II- Estimation
On cherche à estimer la proportion p d’un caractère dans une population, par exemple la proportion d’indi- vidus atteint d’une maladie bénigne. Il est souvent difficile pour des raisons à la fois financières et logistiques de pouvoir recueillir des données sur la population toute entière. Le plus souvent on se contente de travailler sur un échantillon de la population, dont on peut parfois vérifier au préalable s’il est représentatif de la po- pulation entière (sur d’autres critères, comme la fréquence d’hommes et de femmes par exemple). On sait que d’un échantillon à l’autre la fréquence d’apparition du caractère fluctue autour de la proportionpdu caractère dans la population entière. Des simulations permettent d’obtenir qu’environ 95 % des intervalles de la forme
f −√1
n;f +√1n
contiennent la proportion p. Aussi à partir de la fréquence f d’apparition du caractère dans notre échantillon on défini l’intervalle suivant :
L’intervalle
f −√1
n;f +√1
n
, oùf est la fréquence obtenue sur un échantillon de taillen, est unintervalle de confiancede la proportion inconnuepau niveau de confiance 0,95.
Définition intervalle de confiance
Remarque
• Le niveau de confiance 0,95 nous indique simplement que dans environ 95 cas sur 100 on énonce à juste titre que la proportion inconnuep appartient à l’intervalle de confiance considéré.
• La proportion p étant inconnue on ne peut pas vérifier si les paramètres n et p satisfont les conditions exigées.
On approche donc p par la fréquence observée f sur l’échantillon considéré et on vérifie les conditions suivantes :n>30,n×f >5 etn×(1−f)>5
Exemple
1) On souhaite estimer la proportion de personnes en surpoids, selon les critères de l’OMS, dans une ville quelconque.
Pour cela 460 personnes ont été sélectionnées de manière aléatoire et un enquêteur est allé recueillir des informations
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auprès de ces personnes. La proportion de personnes en surpoids dans cet échantillon étudié est de 29,5 %.
Déterminer l’intervalle confiance de la proportion de personnes en surpoids dans cette ville.
2) Une banque désire savoir si son site est bien adapté aux besoins de plus de 5 millions de clients. Elle commande alors à un institut de sondage une enquête afin d’estimer la proportion de ses clients satisfaits par les fonctions proposées par ce site. Elle impose un niveau de confiance de 0,95 avec une amplitude d’au plus quatre centièmes. Combien de personnes au minimum doit interroger l’institut de sondage ?
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