Chapitre 21 Séries entières

Chap 21 : Séries entières

Préliminaires : séries formelles

corps commutatif

0 0 0 0

0 0 0

0

[[ ]] | ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, muni des lois :

et où

La série est appelée série géné

n

n n n n

m m n p

n n n

n

n n n n

n n n n n n

n n n

n n n n p

n n

X a a a b a b

a b

X X X

c c a

a

X

X X X b

X

   

   

   

  

  





 

     

 

    

  

  

   

  



ratrice de ⁽a_n⁾_n

I. Généralités sur les séries entières, rayon

 ou

( ) ( )

On appelle série entière à coeff dans toute série de fonctions de la forme où On note , et est la suite des coeffs de

n

n n n

n

n n n

a z a

f a z a f





 

/!\ f 



zⁿ2 a_p 0 si n'est pas un carré, si est un carrép 1 p

0

{ / } ( )

Le domaine de convergence de _n ⁿ est _n ⁿ CV Si est dans le domaine, _n

n

f a z z a z z f z a zn

















0 ( 0) | | | 0|,

Lemme d'Abel : z  tq a z_n ⁿ _n est bornée  z , z  z



a z_n ⁿ est ACV

( ) sup{ / ( ) }.

Le rayon de convergence de f 



a_nzⁿ est  f  r ^ a_nrⁿ _n est bornée

, (| | ) (| | ( ) )

série entière de rayon de CV CVA sur

fini est ACV est non borné

n

n n

n n n

n n

a z R R a z

R z z R a z z R a z

   

       

 



1

| | | | 1 || : 1 1 || | | 1

On ne sait rien pour : CV , sur le cercle sauf en ⁿ

n n

n z

z R z ssi z CV nz CV ssi z

n 

















II. Détermination du rayon

(a_n),( )b_n  Si a_n O b( )_n , alors (



a z_n ⁿ)(



b z_n ⁿ) (si a_n 0 et b_n 0,a_n ~_b_n _a _b)

2

0 0 0

( , ) , ( ( ) ) min( , ) , ( ( ) ) min( , )

( ) ( ) ( ) min( , )

(Si )

, de somme

n

n n a b a b n n a b

m m

n

n p

c n p

m n

n

n a b m

p

CL a b z R R R R a b z R R

Convolution c a b R R R c z a z c z

     

  

  

      

 

 

    

  

 

  

1

, 0

( ) . 1

Règle de d'Alembert : Si lim _n la série entière est de rayon de CV

n

n

n

n n

n

n a

a a a z

L L

a





  



   





2

( ) ( ) \ {0} 1 0 : 1, 0 : , 0 : 0

( !)

! 1 | |

où :

Ne marche pas avec les séries lacunaires : ( en écrivant )

n n

n

F n z F X R z R R R

n

n z R z e





  



         

 

 



// // 1/ 1

| | .

Cauchy : série entière. Supposons que ⁿ Alors

P n n

n H

a z an L R

L

  



|a z_n ⁿ|1/ⁿ| |z L, si 1, tq | |z L  1,|a z_n ⁿ|ⁿ apcr

( 1) 1

La série dérivée de



a z_n ⁿ est



n a_nzⁿ

( ) ' ( ( 1) 1 ) 1

Les rayons de convergence R



a z_n ⁿ et R 



n a_n zⁿ sont égaux. (double inég, R)

*, ( ( )...( 1) )

Par récurence, pour tout p 



np n a_{n p} zⁿ R

2 2 1

( ) min( ( ), ( )) || ( ) ]0, [ ( )

Utiliser la dérivation pour se ramener à une série dont on peut calculer le rayon

n n n n ,

n

n n

n n

n X

a z a z a z a R r R a O r





 







_ 



     ^

III. Propriétés de la somme d’une série entière

série entière de somme sur un domaine de rayon

n

anz f R



(0, ) || (0, )

CVU sur tout compact de est continue sur

n

a zn D R f D R



( )

(0, ) (0, )

Sauf si est presque nulle, il n'y a pas CVU globale pour

En général, il n'y a pas de CVU sur (pour fini) Si oui, il y a CVU sur

an R

D R R D R

 

|a_n| CV a z_n ⁿ CVN sur D(0,1)

 

0

 

// //

0 ( ) 0. 0, (0, ) \{0}

Supposons : et _n Alors : , ne s'annule pas sur

HP a  a   r R f D R

min{ / _k 0}, ( ) ^p ( ), ( ) 0 en + continuité0 p k a  f z z g z g z 

0 0

0. min( ) 0

( ,

, 0, )

Unicité : et séries entières de rayon et S'il existe tq :

, , alors :

n

n n

n n a b a b

n n

n n

n n n

a z b z R R R r

z D r a z b z n

R

a b

 

 

  

     

 

 

( , ) 0

Rappel : fC^ , peut être nulle au vois de sans être identiquement nullef

2 0

, ]0, [ 1 ( )

2 (Série de fonct

, _{n n} ^{i in} ions CVN)

n r R a f re e d

r

   

 ^

   



2

0 | | | |

1 ( )

( ) || sup | ( ) | sup | ( ) |

2

Liouville : série entière de rayon de CV , de somme bornée est constante Formule de Cauchy : (dvt en série géom...)

i i

i z r

n

r n

z

a f f

f re re

f z d f z f z

re z z

 



 

  

  

 







IV. Séries entières d’une variable réelle

(a_n) ,



a_nxⁿ SE de rayon de CV R0, sa somme sur f ]R R, [

( )

0

] , [ , ] , [, ( ) ( )...( 1)

est de classe sur , avec : ^p _{n p} ⁿ

n

f ^ R R p x R R f x n p n a _ x



      



 

C

1 1

( ) 2

0

, 1 (0) || ( , ) ] , [

! , 1

n p

p

n

n

n

p a f R R f a

p n





 

  ^{  }



  

     







  

0 1 ln

0 1

( 1)

( 1) (dvt , intégration, relation de récurrence)

n x

n n

x x

e x dx n



 

 







V. Développement en série entière

0

:

( ) 0 ( , ) ( ) ( )

ouvert de ou , , est développable en série entière (DSE) au voisinage de

s'il existe _n , et tq : , _n ⁿ, CV de somme

n

f a f a

r z D a r z a f z

 ^



  

   





La continuité est nécessaire, non suffisante || Si le DSE existe, il est unique

( )

( )

( )

!

( ) 0 0

! ] , [ ( , , )

Si est DSE au vois. de , est sur un vois. de et

Pour que soit DSE en , il faut que et il suffit qu'il existe , tq :

, (rest

n k

n

k

n

k

k

f a

a f a f a a X

k f a

f a X r

k h r r R f a h

X



  

 

 

 

 

  

 



C

e de Taylor) tend vers pour n0  

2 ( )

1/ ( )

0

( ) 0, 0, (0) 0 ( ) 0, ( ) (0)

, si et : taylor mais, !

n

x k

n

f n

f x e x f k f x f x x

 ^ n

 



  ^C        



1

0 0 1

,

1 1

1 1

| | 1 : ln(1 )

1 (1 )

( ) ( )

( )

| | | | 1 (

Série géométrique : Sur

Fractions rationnelles : Décomposition en éléments simples :

k

p

n n n

r

k l

k l

n

n n

l k

k

n p x

z z x x

p

z z n

F X E X

z a z a

z

 

  

   

 

  

        

 

    

 

  

 

0

1 1

0

( 1) 1

( ) ( ) min(| | ... | |)

) 1 ,

l

n n

n n r

l l l

k k

n

n k n

n l z

F X a X a a a

a a ^ l a^{ }  X

 

   

       





 

 

2

1 0 ,1

1 1

2 1

0

| | ... | | | | ... | | ( ) 2

arctan ( 1)

2 1

(DSE p/r des pôles simples...)

s r

s i

i n

i

n

i s

n

a a r a a F re ire d i

x x

n

      a











      

 



 



2

( 1)...( 1)

\ 1 (1 ) 1

Série du binôme (Abel) : La SE ! a pour rayon de CV

n

n n

x x x

n

   

  ^



  

  



 

(1 ) '

D'Alembert. Equa diff + unicité de la sol de l'ED d'ordre 1 linéaire

R  x y y

0

exp . (exp' exp)

, ! , Cette fonction coïncide avec l'exponentielle réelle usuelle

n

xn

z z R

n





  



  

2 2 1 2 2 1

0 0 0 0

ch || sh || cos ( 1) || sin ( 1)

2 (2 )! (2 1)! (2 )! 2 (2 1)!

z z n n n iz iz

n n n

n n

n

n

e e z z z e e z

z z z z

n n n n

       

   

        





   



( , ') 2,exp( ') exp( ) exp( ')

cos,sin,sh,ch vérifient les équations fonctionnelles usuelles || on retrouve cos par Tay (Produit de Cauchy, regroupement

lor s)

z z z z z z

    

1 *

exp || exp exp , | | 1

On montre que est un difféo de sur z z x e^ix e^ix e^ix

 

      

C C

cos' sin,sin' cos || cos 0 1 cos 2 0 0 0

2

: ker 2

On vérifie , (Leibniz) un plus petit

morphisme de groupes continue, ss-groupe fermé non trivial de On étudie les variations respec

ix

a

x e Z



   

       

 

ker 2

tives sur les cadrans, et on trouve  

VI. Méthodes pratiques de DSE

( )

Opérations : combinaisons linéaires, dérivation, intégration, convolution (/!\ ACV) Passage réel-complexe : coïncidence de séries entières sur intervalle non trivial Pour fonctions trigonométriques :

I

linéariser avec l'exponentielle

( ). ( )

'( )

...

Rappel : résidu en un pôle simple de : Pôle multiple DL de en Si demandé, prendre le temps de décomposer correctement

P P a P

Q Q X Q

   

 ^{ }

On recherche une équa diff à coeffs polynômiaux dont la fonction est solution, puis une SE solution Recherche de l'ED. Analyse (supp. DSE, coeffs ?), Synthèse (introd. de la SE, rayon, unicité (Cauchy))f Etude de la sommabilitéVALEURS ABSOLUES

// //

, FSE de rayons et ' 0. | (0) | DSE sur un disque de rayon 0

H n n

n n

P g



b x f 



a x R R  f  R g f r

Passer par la séries avec valeurs absolues, et la convolution des ces séries làACV

( ) 0

0 0

0

0 ( ) ( 0 )

0, | | , | | | |, ( )

!

0 ]0, [ { (0, ) / ( ) 0} ( )

+ Fu

SE de rayon bini

( inj CV

, est fini , DSE en : nul ?)

n p n p

p p

p

p n p

n

r n

f z

f R z R h R z f z h h

p

f r R Z z D r f

a z h w

z Z w w

  



 

 



        

        





A partir d'une équation fonctionnelle, on construit une SE, on vérifie sa CV (Analyse-synthèse) ( , )

intervalle de . est analytique sur si elle est DSE au voisinage de tout point de

I f C^ I I I

// // ( )

( , ). [ , ] , 0, 0 ( , ) [ , ] , | ( )

)

! (

| Egalité Taylor-Lagran

intervalle de , Supp : ,

Alors est analytique sur ge, majoration du reste

HP n

I f I a b I C R x n a b f x Cn

f I

C          

// //

( )

( , )

, ( ) 0

Fonctions absolument monotones : intervalle ouvert de , tq :

, Alors est analytique sur

HP

n

I f I

n x I f x f I

 

    

C

0, ( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )

TRI en majoration du reste par f r , croissance des dérivées : R x_n  x r R rⁿ _n  x r ⁿ f r

VII. Etude au bord

( ) *

Supposons R



a x_n ⁿ  _

| | (0, )

Si



a_n Rⁿ CV,



a_nzⁿ CVN sur D R , et y définit une fonction continue

// //

1 0 0

( ) 1 lim

Abel : Supp. la série de termes complexes CV. Alors et

HP

x n n

x

n n

n n n n

a  a x _ ^a x ^a

  



 

   

[0,1]

Transformation d'Abel avec les restes (pas les sommes partielles)CCU sur

1 0

1 1

( 1) ( 1)

1 2

Pas de réciproque : ⁿ , mais DV

n

n n

x x

 



   







0 0 0

, séries CV, ( ) ( ) ( ) Si CV, (ici, pas de CVA)

n

n n n n n n n

n n

n n

b

a b c a c c a b

  

  

  

    

  

     

0

* 0

0 ( ) 1 [0,1[

,

( ) ( ) ( )

Si et bornée sur CV

bornée sur CV

n n

n n n n

pm

st

a a a a

f F

X

s e dt

X

f t f



 



  

  

  

  

 

C

(a_n),( )b_n  ,



a x_n ⁿ de somme et f



b x_n ⁿ de somme , de rayons g 1. b_n 0

/ / / / 1 1

1

( ), ( )

~ , ~

alors

DV Si de plus

alors

n n

n

n HP

n

a o b f o g

b g

a b f g

 



 

  





Inégalités, croissance. Découpage de somme (comme Cesaro),  Comparaison série intégrale pour certains équivalents

1 0

En , écrire ^ xe^, faire tendre vers  ^

VIII. Application des séries entières

Variable complexeMajoration (Liouville, principe du max (atteint sur le bord)). Zéros isolés ( 2 " ( ) ' ( ) 0)

0 Equation différentielles : Traversée des singularités

Recherche d'une solution DSE au vois de

x y P x yQ x y



Séries génératricesDénombrement

En général, on se retrouve avec des séries de fractions rationnelles.

Pour un équivalent, on se contente du pôle de plus haute multiplicité

1 1

( 1)

| 1| 1, ( ) ( 1)

Logarithme complexe : pour

n n

n

z Log z z

n

 



  



 

1 1 '

([0,1], (1,1)) ( ( )) est et( )' u (CVU des dérivées DTAT)

u D t Log u t Log u

C  C  u 

// //

( ( ) (1 ) [exp( ( ( )) / ( ))]' 0...)

(1,1), exp( ( )) ,

HP  z D Log z z u t   t tz Log u t u t 

( ( ))

( , (1,1)) ( , )

( (0,1), *) ( (0,1), ) tq

tq

h f

h L

g A D h A g e

f f

o g

D e

g

f D

    

  







C C

C C

0 1

1 1

...

1

: ( / ). , ( / ) (1,1) 1min | ( ) | 0; | |

tq car, avec 2 UC donne tq

On prend tel que ^{k n}

k n k n k n k n k n

g g g

k n m n

f z f kz n n k u f f D f z n f f

g f e f f e

 



 

 



 

         

  

IX. Sommations de séries entières

0 0

( ) [ ] : ( ) ( 1)...( 1)

! ⁿ avec de deg. _k : ^k

d d

x k

k k

S P n x P X d P x X X X k S x e

n  

 

 





 



    





Se ramener si besoin à la série du logarithme. Penser aux valeurs connues de SE

1 1 ... 0 (1 1 ... 0 ) ( )

Suites récurrentes : u_{n p} a_pu_{n p }  a u_n  a_p x a x^p



u x_n ⁿ P x