Chapitre 11 : séries entières

MP 2020-21

Kholles de Mathématiques — programme n ^◦ 12

Semaine du lundi 14 au vendredi 18 décembre 2020

Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.

Les résultats admis seront explicitement indiqués.

Chapitre 11 : séries entières

1. Définition et convergence.

1.1 Série entière

Définition d’une série entièrePa_nzⁿ.

Remarque : il y a toujours convergence enz= 0! 1.2 Lemme d’Abel

Théorème : lemme d’Abel.

1.3 Rayon de convergence Définition du rayon de convergence.

Étude du casR= 0, du casR= +∞, du casR∈]0,+∞[.

Définition : disque de convergence, intervalle de convergence.

Proposition : à l’intérieur du disque de convergence, la série converge absolument ; à l’extérieur du disque de convergence, la série diverge grossièrement.

Remarque : si la série converge absolument en un point du cercle, elle converge absolument sur tout le cercle ; si la série diverge grossièrement en un point du cercle, elle diverge grossièrement sur tout le cercle.

Remarque : diverses caractérisations du rayon de convergence.

1.4 Règle de d’Alembert

Théorème : règle de d’Alembert pour les séries entières à coefficients réels strictement positifs.

Remarque : lorsque certains coefficients sont nuls, il est conseillé de revenir à la série de nombres réels (en incluant la puissance dez).

2. Opérations sur les séries entières.

2.1 Somme de deux séries entières

Théorème : le rayon de convergence de la somme de deux série 2.2 Produit de Cauchy de deux séries entières

Définition : produit de Cauchy de séries entières.

Propriété : le rayon de convergence du produit de Cauchy est supérieur ou égal au minimum des rayons des deux séries entières dont on fait le produit de Cauchy.

2.3 Exemple de la fonction exponentielle

La série exponentielle a un rayon de convergence infini.

Exponentielle de la somme.

Séries chz,shz,cosz,sinz.

3. Étude sur le disque ouvert de convergence.

3.1 Convergence normale sur tout disque fermé du disque de convergence Théorème : convergence normale sur tout disque fermé du disque de convergence.

Remarque : attention, ceci n’implique pas la convergence normale sur le disque ouvert de convergence.

3.2 Continuité de la somme

La somme d’une série entière est continue sur le disque ouvert de convergence.

Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 18 novembre 2020

MP 2020-21

4. Série entière d’une variable réelle.

4.1 Dérivation terme à terme

Théorème : dérivation terme à terme d’une série entière (avec conservation du rayon de convergence).

Remarque : extension aux dérivéesp-ièmes.

Remarque : pour prouver qu’une fonction est de classeC^∞sur]−R, R[, il suffit de prouver que c’est la somme d’une série entière de rayon supérieur àR.

Remarque : si deux fonctions sommes de séries entières coïncident au voisinage de0, alors leurs coefficients sont égaux.

4.2 Intégration terme à terme

Théorème : intégration terme à terme d’une série entière (avec conservation du rayon de convergence).

Exemples de 1

1−x,ln(1−x).

5. Développement en série entière.

5.1 Fonction développable en série entière

Définition : fonction développable en série entière (DSE).

Remarque : une fonction DSE est toujours de classeC^∞, mais la réciproque n’est pas vraie.

Méthode dite « de l’équation différentielle » pour déterminer le DSE d’une fonction.

Remarque : si |an| ≤ |bn| pour toutnalorsR(Panzⁿ)≥R(Pbnzⁿ). Démo à savoir ! 5.2 Développements en séries entières usuels

e^x,chx,shx,cosx,sinx(avec rayon de convergence infini).

1 1−x, 1

1 +x,ln(1−x), ln(1 +x), 1

1 +x²,arctanx(avec rayon de convergence égal à 1).

Théorème : formule du binôme généralisée.

Application : DSE de√

1 +x, avec rayon de convergence égal à1.

Semaine suivante : intégration sur un intervalle quelconque.

Joyeux Noël et bonnes fêtes de fin d’année !

Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 18 novembre 2020