Séries entières

Stanislas

Exercices

Séries entières

Chapitre X

2020-2021PSI

I. Rayons de convergence

Exercice 1. (-)Soitα∈R. Déterminer le rayon de convergence des séries entières de coecient :

1.n³. 2. ²_nⁿ2. 3. ²_n!ⁿ. 4. ⁿ₃n³. 5. _n¹α.

6.ln(n). 7.n

√n. 8.

n

Q

k=2

(2−√^k 2). 9.nⁿ.

10. ^(2n)!_n!nn. 11. ₂^(2n)!nnn!(3n)!²ⁿ. 12.

Z 1 0

tⁿe^−tdt.

Exercice 2. _[Mines]Déterminer le rayon de convergence de la série entière

+∞

P

n=0

sin ₂₀₁₅^nπ xⁿ. Exercice 3.Soit P

anzⁿ une série entière à coecients entiers dont une innité d'entre eux sont non nuls. Montrer que le rayon de convergence de cette série est inférieur ou égal à1.

Exercice 4. [Mines]SoitP

a_nxⁿune série entière de rayon de convergence R. Trouver les rayons de convergence des séries P

anx²ⁿ, P

a²_nxⁿ et Panxⁿ².

Exercice 5. (!)SoientP

anzⁿetP

bnzⁿ deux séries entières de rayons de convergence respectifsR etR⁰.

1. Montrer que le rayon de convergence de P

a_nb_nzⁿ est supérieur ou égal àRR⁰.

2.Si lim

n→+∞

an

bn =` >0, quelle relation a-t-on entreR etR⁰?

3. Si R 6 R⁰, déterminer le rayon de convergence de la série entière Pc_nzⁿ où c_2p =a_p etc_2p+1 =b_p.

Exercice 6. (Séries lacunaires,-)

1.Soit(a_n) une suite à valeurs dans{0,1}qui ne soit pas presque nulle.

Montrer que son rayon de convergence vaut1.

2.Déterminer le rayon de convergence des séries entières a)P _n

2ⁿz³ⁿ. b)P

cosh(n)z²ⁿ. c)P p!z^p2.

Exercice 7. [CCP]On souhaite déterminerS =

+∞

P

n=0 1 3ⁿ(3n+2). 1.Déterminer les réels a, betctels que

∀ x >1, x

x³−1 = a

x−1 + bx+c x²+x+ 1.

2.En déduire une primitive de x7→ _x3^x₋₁. 3.CalculerS.

II. Développements en séries entières

Exercice 8. [Mines]Développer ^√√1+x_1−x en série entière au voisinage de0. Exercice 9. (-)Soit α >0. Déterminer les développements en série en- tière des fonctions suivantes :

1.cosh(x) cos(x). 2.

Z 2π 0

ln(1 +xsin²(t))dt.

3.arctan_1−x^xsin(α)_cos(α). 4. _{1−2xcosh(α)+x}¹ 2. On rappelle queZ π/2

0

sin²ⁿ(t)dt= (2n)!π 2²ⁿ⁺¹(n!)².

Exercice 10.Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières suivantes :

1.P _x⁴ⁿ

4n+1. 2.P(−1)ⁿ⁻¹x²ⁿ⁺¹

4n²−1 .

3.P_xⁿ

n cos ^π₄ +n^π₂ . 4.P

_n P

k=0 1 k!

xⁿ.

Exercice 11.Montrer queZ 1 0

ln(1−x) x² +1

x

dx=−

+∞

X

p=1

1 p(p+ 1).

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Exercice 12.Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles satisfaisant les rela- tions de récurrence :

u_n+1 = u_n + 4v_n et v_n+1 = u_n +v_n. On pose s(x) =

+∞

P

n=0 un

n!xⁿ et t(x) =

+∞

P

n=0 vn

n!xⁿ.

1. En posant M = max{|u₀|,|v₀|}, montrer que, pour tout n entier naturel,|u_n|6M5ⁿ et|v_n|6M5ⁿ.

2.En déduire le rayon de convergence de sett.

3.Montrer que (s+ 2t)⁰ = 3(s+ 2t)et(s−2t)⁰ =−(s−2t). 4.En déduire les valeurs de set det.

III. Équations diérentielles

Exercice 13. (-)Déterminer les solutions développables en séries entières des équations suivantes :

1.x(x+2)y⁰−(x+1)y−1 = 0. 2.(x²−1)y⁰⁰−12y= 0.

3.x²(1−x)y⁰⁰−x(1+x)y⁰+y= 0.

4.y⁰⁰+x²y= 0. Exercice 14. [Mines]Soitf :x7→e^−2x2

Z x

0

e^2t2 dt.

1.Montrer que f est développable en série entière autour de0. 2.Déterminer l'expression de f en série entière.

3.Déterminer un équivalent def en+∞.

Exercice 15. (!)Soit (a_n) la suite dénie par a₀ = a₁ = 1 et2na_n = 2nan−1−an−2.

1.Montrer que, pour tout entier naturel n>2, _a^a_n−1ⁿ ∈₃

4,1 . 2.Déterminer le rayon de convergence de la série entièref(z) =

+∞

P

n=0

anzⁿ. 3. Montrer que f est solution de l'équation diérentielle (1−x)y⁰ − p(x)y= 0, où p est un polynôme.

4.Donner une expression de an en fonction den.

IV. Dénombrement & Probabilités Exercice 16. [Centrale]On pose σ(n) =

(p, q)∈N², n= 2p+ 3q . 1. Montrer que σ(n) est bien déni pour tout n∈ N. Déterminer σ(0), σ(1),σ(2) et montrer queσ(n)>1 pourn>3.

2.Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP

σ(n)xⁿ. Sur un intervalle I que l'on déterminera, montrer que ^+∞P

n=0

σ(n)xⁿ = _1−x¹ 2 ·

1 1−x³.

Exercice 17. [Centrale]Soit X un ensemble ni. On dit que f :X → X est une involution deX sif◦f = Id. On note pourn∈N,I_nle nombre d'involutions deJ1, nKet l'on convient que I₀ = 1.

1.CalculerI1, I2 etI3.

2.Montrer que pour toutn∈N,I_n+2=I_n+1+ (n+ 1)I_n. SoitS:z7→

+∞

P

n=0 In

n!zⁿ.

3.Montrer que S a un rayon de convergence R >0.

4. Soit x∈]−R, R[. Calculer (1 +x)S(x) et en déduire une expression simple deS(x). En déduire enn une expression deI_n.

Exercice 18. (Un dîner presque parfait) [Centrale]Pour n∈N^∗, on note D_nle nombre de permutations deJ1, nKsans point xe. On poseD₀ = 1. 1.Montrer que, pour tout n∈N,n! =

n

P

k=0 n k

D_k.

2.Montrer que le rayon de convergence de la série entièrePDkx^k k! est au moins égal à1.

3.À l'aide de la sommeS(x) de cette série et deT(x) = e^xS(x), déter- minerD_n.

4.Trouver un équivalent de Dn quandn→+∞.

5. Lors d'un dîner, les n convives ont laissé leur chapeau au vestiaire.

Au moment du départ, leurs chapeaux leur sont rendus aléatoirement.

Quelle est la probabilité qu'aucun des convives ne reparte avec le chapeau avec lequel il est arrivé ?

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Exercice 19. [ENSAM]Au casino, un jeu consiste en une urne contenant 1 boule verte et des boules rouges. On commence avec 1 boule verte et 0boule rouge. À chaque tirage,

∗ si la boule verte est tirée, le croupier remet la boule verte et rajoute une boule rouge ;

∗ si une boule rouge est tirée, le joueur a perdu.

Le joueur paye 2e sa partie et gagne ne si le jeu se termine lors du (n+ 1)-ème tirage.

On noteX la variable aléatoire correspondant au numéro du tirage de la dernière boule verte.

1.Montrer que P(X=n) = _(n+1)!ⁿ . 2.Montrer que GX(t) = ^tet−_t^et+1. 3.En déduire E[X]etV(X).

4.Quel est le gain espéré pour le casino avec 1000joueurs ?

Exercice 20. [Centrale]Soit α∈N. Dans une urne sont placées 3 boules blanches numérotées1,2 et 3 etα boules noires. On tire aléatoirement et avec remise des boules dans l'urne.

1. a)Soit X1 la variable aléatoire égale au numéro de la première boule blanche tirée. Déterminer la loi deX₁ ainsi que sa fonction génératrice G1.

Pour toutn∈N^∗, on noteS_nla somme desnpremières boules blanches tirées.

b)Déterminer l'espérance, la variance et la fonction génératriceG_nde S_n.

Soit T ∈ N^∗. On eectue T tirages et on note N le nombre de boules blanches tirées. On dénit ensuite, pour toutω∈Ω,S(ω) = 0siN(ω) = 0etS(ω) =Sn(ω) siN(ω) =n>1.

2.Déterminer la fonction génératrice puis l'espérance de N. 3.Déterminer la fonction génératrice puis l'espérance de S.

Exercice 21. (!) Un dé équilibré à 6 faces est lancé 10 fois. Quelle est la probabilité que la somme des lancers fasse27?

V. Avec Python

Exercice 22. [Centrale] Soient k un entier naturel non nul et (p1, . . . , p_k) ∈ N^k tel que 0 < p1 < · · · < p_k. On pose An =

(n1, . . . , n_k)∈N^k ;

k

P

i=1

nipi =n

,an=|A_n|etf(z) =

+∞

P

n=1

anzⁿ. 1. En 2003, l'Australie a battu la Namibie 142 à 0 lors de la coupe du monde de rugby (au rugby, on peut marquer soit3, soit5, soit7 points d'un coup). Déterminer le nombre de façons d'obtenir ce score.

2. On suppose que k = 3 et, pour tout i ∈ J1,3K, p_i = i. Montrer que a_n =

bⁿ₃c P

k=0

1 +_n−3k

2

. Déterminer un équivalent de la suite (a_n) et vérier l'équivalent avec Python.

3. Dans le cas général, montrer que an = O(n^k) et en déduire le rayon de convergence def(z).

4.Montrer que f(z) =

k

Q

i=1 1 1−zpi.

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