Séries entières

(1)

Séries entières

Introduction

Citer des fonctions dites usuelles ; points communs à ces fonctions ? En particulier, que dire de leurs zéros ?

Soitf la restriction deexpà R⁻.

Comment la prolonger en une fonction de classeCⁿ surR? Comment la prolonger en une fonction de classeC^∞surR? Y a-t-il unicité du prolongement ?

Réponse

f(x) =e^x+C.xⁿ⁺¹

f(x) =e^x+C.e⁻^x¹

1 Généralités

1.1 Séries entières (power series)

Une série entière est une série de fonctionsPa_nzⁿ, oùa= (a_n)∈C^N.

1.2 Lemme d'Abel

Si la suite(anz₀ⁿ)est bornée alors, pour tout nombre complexez tel que

|z|<|z0|

la sériePa_nzⁿ est absolument convergente.

Démonstration

∀n≥0,|an.zⁿ|=|an.z₀ⁿ|. z z₀

n

≤M.

z z₀

n

Domination par une série géométrique convergente.

1.3 Rayon de convergence d'une série entière P a

n

z

ⁿ

1.3.1 Dénition Notation non ocielle :

Ba={t≥0/(antⁿ) born´ee}

On appelle rayon de convergence la borne supérieure dansRdeBa. On le noteraRa, ouR.

1.3.2 Premiers exemples TrouverBa dans les cas suivants :

an= 1; an =n; an =₂¹n ; an =n! ;an=_n!¹ Réponse

-a_n= 1; B_a= [0,1]

-a_n=n;B_a = [0,1[

-an= ₂¹n ;Ba = [0,2]

-an=n!;Ba={0}

-an= _n!¹ ;Ba=R+

(5)

1.3.3 Théorème - Si|z|< R, la sérieP

anzⁿ est absolument convergente.

- Si|z|> R,(anzⁿ)n'est pas bornée.

En particulier, la sérieP

anzⁿ diverge grossièrement.

Démonstration

Cas où|z|< R: il existet∈Ba tel que|z|< t≤R. Le lemme d'Abel montre que la sérieP

anzⁿest absolument convergente.

1.3.4 Questions fréquentes

Soitz∈Cxé ; que dire deRsi(a_nzⁿ) 1- est bornée.

2- est non bornée.

3- tend vers 0.

4- converge.

5- diverge.

6- possède une suite extraite bornée.

7- possède une suite extraite non bornée.

8- tend vers une limite non nulleL. Réponses

1-R≥ |z|. 2-R≤ |z|. 3-R≥ |z|. 4-R≥ |z|. 5-R≤ |z|. 6- Rien.

7-R≤ |z|. 8-R=|z|.

1.4 Exemples

an = 1;an= _n¹ ;an= _n¹2 ;an= ₂¹n ;an=n!;an= _n!¹ ; a_n=n;a_n=n⁽⁻¹⁾ⁿ ;a_n= ^√¹

n! ;a_n=√

n! ;Pzⁿ² Réponse

Pouran= ^√¹

n! :

Soitt >0et un =antⁿ ; alors :

∀n >0, u_n un−1

= t

√n

Suite qui tend vers 0 ; donc, d'après la règle de d'Alembert,Pun converge.

DoncR= +∞.

1.5 Propriétés du rayon de convergence

1.5.1 Comparaison Théorème

Si(a_n)est dominée par(b_n):

R_a ≥R_b Sia_n∼b_n ?

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Démonstration

Si(an)est dominée par(bn),Bb⊂Ba, d'oùRa ≥Rb.

Sian ∼bn, chacune des deux est dominée par l'autre, doncRa =Rb. 1.5.2 SériePna_nzⁿ

Théorème

Le rayon de convergenceR⁰ de

Xna_nzⁿ

est égal au rayon de convergenceR dePa_nzⁿ. Démonstration

R⁰≤R car(an)est dominée par(n.an) = (bn). Soitr∈]0, R[; xonssdans]r, R[ ; on a alors :

r < s < R

Remarquons queb_n.rⁿ =n.a_n.rⁿ=a_nsⁿ.n ^r_sⁿ ; or -(a_n.sⁿ)tend vers 0 car0< s < R

-n ^r_sⁿ tend vers 0 par croissances comparées Donc(bn.rⁿ)tend vers 0, doncR⁰≥r.

En conclusion :

R⁰≥rpour tout élémentr∈]0, R[, donc : R⁰≥R 1.5.3 SérieP

n^α.anzⁿ Exercice

Pour toutαréel, le rayon de convergenceR⁰ de Xn^α.anzⁿ est égal au rayon de convergenceR deP

anzⁿ. Démonstration

Pourα=pentier, récurrence surp. Pour le cas général, on utilisep=bαc:

n^p est dominé parn^α etn^αest dominé par n^p+1. 1.5.4 Exercice

Que dire deR_b dans le cas où -bn =|an|

-bn =₂¹nan

-bn =^a_n!ⁿ -bn =an+1

Réponse -Rb=Ra

-Rb= 2.Ra

- SiRa est non nul, Rb est inni ; si Ra = 0, on ne peut pas conclure ; exemples ?

-Rb=Ra

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Remarque

Avec ce qui précède, on constate que P

anzⁿ et P

(n+ 1)an+1zⁿ ont le même rayon de convergence :

La série dérivée a même rayon que la série de départ.

1.5.5 Utilisation de la règle de d'Alembert Exercice

A l'aide de la règle de d'Alembert, montrer que si

a_n+1 an

admet une limite L∈[0,+∞], alors

R= 1 L 1.5.6 Un lemme utile

On supposeRnon nul ; montrer que

∃A >0,∃B >0,∀n≥0,|an| ≤A.Bⁿ Si de plusa₀= 1, montrer que

∃C >0,∀n≥0,|an| ≤Cⁿ Démonstration

Soitt∈]0, R[;(antⁿ)est bornée :

∃M >0,∀n≥0,|an.tⁿ| ≤M Il sut de choisirA=M etB= ¹_t.

Si de plusa0= 1 :

A≥1, doncC=ABconvient.

1.6 Convergence normale

Théorème

La convergence d'une série entière est normale sur tout disque fermé de centre 0 et de rayonr < R.

Démonstration

Il faut majorer|an.zⁿ|par unun, indépendant dez, qui soit le terme général d'une série (numérique) convergente.

Réponse

u_n =|an.rⁿ| Corollaire

La somme d'une série entière est continue sur le disque ouvert de convergence.

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1.7 Somme

1.7.1 Théorème Soitf(z) =P∞

n=0a_nzⁿ et g(z) =P∞

n=0b_nzⁿ ; soitc_n=a_n+b_n et h(z) =

∞

X

n=0

c_nzⁿ Alors :

R_c≥min (R_a, R_b) SiRa 6=Rb :

Rc= min (Ra, Rb)

Evidemment,h=f+gsur le disque ouvert de rayonmin (R_a, R_b). 1.7.2 Démonstration

Supposons par exemple

0< Ra < Rb

- si|z|< R_a, alorsPa_nzⁿ etPb_nzⁿ sont absolument convergentes, doncPc_nzⁿ converge.

- siR_a<|z|< R_b, alorsPa_nzⁿ diverge etPb_nzⁿ converge, doncPcnzⁿ diverge.

Conclusion :

Rc =Ra

1.7.3 Exemples

R_c = min (R_a, R_b): sif =g.

R_c >min (R_a, R_b): sif =−g avec un rayon ni.

Un exemple oùRa = 1, Rb = 1, Ra+b= 2? Réponse

a_n =−1, bn= 1 + ₂¹_n.

1.8 Produit de Cauchy

1.8.1 Théorème Soitf(z) =P∞

n=0a_nzⁿ et g(z) =P∞

n=0b_nzⁿ ; soit c_n =

n

X

k=0

a_kb_n−k

eth(z) =P∞

n=0cnzⁿ ; alors :

R_c≥min (R_a, R_b)

De plus,h=f.g sur le disque ouvert de rayonmin (R_a, R_b). Démonstration

Soitz∈Ctel que|z|<min (Ra, Rb). Posonsun =an.zⁿ,vn=bnzⁿ et

w_n=

n

X

k=0

u_k.v_n−k On constate quewn=cn.zⁿ.

Les deux sériesP

un etP

vn étant absolument convergentes, on sait que :

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-Pwn est absolument convergente -P∞

n=0un.P∞

n=0vn=P∞ n=0wn

Conclusion :

h(z) =f(z).g(z)

1.8.2 Exemples

Avec _1−z¹ ,1−z, ^2−z_1−z = 1 +_1−z¹ , ^1−z_2−z...

1.8.3 Intégrité Exercice

Soitf etgdeux fonctions non nulles sommes de séries entières de rayon non nuls.

Alorsh=f g est non nulle.

1.9 Quelques fonctions usuelles

1.9.1 Dénitions Pour toutz∈C:

e^z=

∞

X

n=0

zⁿ n!

chz=1

2 e^z+e^−z

=

∞

X

n=0

z²ⁿ (2n)!

shz=1

2 e^z−e^−z

=

∞

X

n=0

z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

cosz=1

2 e^iz+e^−iz

= chiz=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ (2n)!

sinz= 1

2i e^iz−e^−iz

=−i.shiz=

∞

X

n=0

(−1)ⁿ z²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

Toutes ces fonctions sont entières, c'est-à-dire sommes d'une série entière sur C.

1.9.2 Propriétés exp (a+b) = exp (a) exp (b) cos²+ sin²= 1

ch²−sh²= 1 Démonstration

Posonsun= ^a_n!ⁿ, vn= ^b_n!ⁿ et

w_n=

n

X

k=0

u_k.v_n−k

On constate que

wn= 1

n!(a+b)ⁿ

Les deux sériesPu_n etPv_n étant absolument convergentes : exp (a+b) = exp (a) exp (b)

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1.9.3 Remarque

Passage d'une formule de trigonométrie à une formule de trigonométrie hy- perbolique :

On remplace -cosparch. -sinpari.sh. -tanpari.th.

2 Série entière d'une variable réelle

2.1 Primitivation de la somme d'une série entière

2.1.1 Théorème Soitf(x) =P∞

n=0anxⁿ dénie sur]−R, R[; alors F(x) =

∞

X

n=0

a_nxⁿ⁺¹ n+ 1

est une primitive def sur]−R, R[.

Les deux ont le même rayon de convergence.

Démonstration

Application directe du théorème de primitivation terme à terme.

2.1.2 Exemple à connaître : ln

∀x∈I= ]−1,1[,

∞

X

n=0

xⁿ= 1 1−x On en déduit que

∀x∈I,

∞

X

n=1

xⁿ

n =−ln (1−x)

∀x∈I,

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹.xⁿ

n = ln (1 +x)

Exercice En 1 ? Réponse

En1, la série converge (TSA).

Montrons que l'égalité est également vériée en ce point : Notons

Rn(x) =

∞

X

k=n+1

(−1)^k−1.x^k k

∀x∈J = [0,1],|Rn(x)| ≤ xⁿ⁺¹ n+ 1 ≤ 1

n+ 1 majorant indépendant dexet qui tend vers 0.

Donc la série converge uniformément surJ. Donc la somme est continue surJ.

Par passage à la limite, l'égalité est aussi vériée en 1 :

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n = ln2

(11)

2.1.3 Exemple à connaître : arctan

∀x∈I= ]−1,1[,

∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ= 1 1 +x² D'où

∀x∈I,

∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+ 1 = arctanx En−1? en 1 ?

De manière analogue au cas de ln (1 +x), on montre qu'il y égalité au point 1.

2.2 Dérivation

2.2.1 Théorème

La somme d'une série entière

- est de classeC^∞sur l'intervalle ouvert de convergenceI= ]−R, R[. - Ses dérivées s'obtiennent par dérivation terme à terme.

- Toutes ont le même rayon de convergence.

Démonstration

Théorème de dérivation de la somme d'une série de fonctionsC¹ : On note

u_n(x) =a_nxⁿ - Lesu_n sont de classeC¹ surI.

- La série converge simplement surI.

- La série des dérivées converge uniformément sur tout segment contenu dansI.

Donc la somme est de classeC¹surI.

On en déduit aisément par récurrence sur pque la somme est de classe C^p surI.

2.2.2 Expression des dérivées

∀x∈]−R, R[, f⁰(x) =

∞

X

n=1

n.a_n.xⁿ⁻¹

∀p≥0,∀x∈]−R, R[, f^(p)(x) =

∞

X

n=p

n.(n−1)...(n−p+ 1).an.x^n−p

∀p≥0,∀x∈]−R, R[, f^(p)(x) =

∞

X

n=p

n!

(n−p)!.an.x^n−p 2.2.3 Expression des coecients

Soitf(x) =P∞

n=0anxⁿ dénie sur]−R, R[, avecRnon nul.

Alors, pour toutp≥0:

a_p= f^(p)(0) p!

2.2.4 Remarque Si P∞

n=0anxⁿ et P∞

n=0bnxⁿ coïncident sur un voisinage de 0, alors pour toutn,

an=bn

(12)

2.3 Exemples

Donner une expression simple de f(x) =

∞

X

n=0

nxⁿ, g(x) =

∞

X

n=0

n²xⁿ

Réponse P∞

n=0xⁿ= _1−x¹ surI= ]−1,1[; d'oùf(x) = ^x

(1−x)² ;g(x) =^x(x+1)

(1−x)³.

2.4 Des fonctions C

^∞

En utilisant des séries entières, montrer rapidement que certaines fonctions sont de classeC^∞ :

2.4.1 f :t→ ^sin_t^t sur R

2.4.2 g:t→ ¹_t −_sin¹_t sur ]−π, π[

Il faut l'écrire

g(t) =

sint−t t²

f(t)

Application Soit

In= ˆ ^π₂

0

g(t).sinntdt

On montre que(In)tend vers 0 (comment ?).

Par ailleurs, on montre que

∀n≥0, J_2n+1= ˆ ^π

2

0

sin (2n+ 1)t sint dt=π

2 Pour cela, on calculeJ_2n+3−J_2n+1.

De là on déduit que ˆ +∞

0

sint t dt= π

2

2.4.3 t→ ^t._cht−1^sin^t sur R

h(t) = f(t)

cht−1 t²

2.5 Exemple : la fonction J

₀

de Bessel

2.5.1 (E) : xy⁰⁰+y⁰+xy= 0

Que dire de la dimension de l'ensemble des solutions surI= ]0,+∞[? SurJ = ]−∞,0[? SurR?

Réponse

dimS_I = 2 = dimS_J ; qu'en déduire pourdimS_R? L'application

y→(y(1), y⁰(1), y(−1), y⁰(−1)) est linéaire et injective deS_RversR⁴ ; donc

0≤dimS_R≤4 On va maintenant améliorer cet encadrement.

(13)

2.5.2 Chercher les solutions de(E)développables en série entière.

Rédaction

Supposons qu'il existe une série entièrePa_n.xⁿ - de rayon de convergenceRnon nul,

- et dont la sommef est solution de(E)surI= ]−R, R[.

Alors, on sait quef est de classeC^∞ surI, dérivable terme à terme, et que la somme d'une série entière n'est nulle surIque si les coecients sont nuls.

Après calculs, on obtient : Réponse

n².an =−a_n−2, a1= 0.

∀n≥0, a2n= (−1)ⁿ (2ⁿ.n!)²a0

Il est nécessaire de s'assurer que le rayon de convergence de la série obtenue est non nul.

Ici, il est inni :

∀x∈R, J0(x) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2ⁿ.n!)²x²ⁿ

2.5.3 Expression intégrale Montrer que :

∀x∈R, J₀(x) = 1 π

ˆ π 0

cos (x.sint) dt

Démonstration Fixonsx∈R.

∀t∈I= [0, π],cos (x.sint) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n)!x²ⁿ(sint)²ⁿ

Pourn≥0, on étudie In=

ˆ π 0

(−1)ⁿ

(2n)!x²ⁿ(sint)²ⁿdt

= ˆ π

0

1

(2n)!x²ⁿ(sint)²ⁿdt

∀n≥0, In= x²ⁿ (2n)!

ˆ π 0

(sint)²ⁿdt= x²ⁿ (2n)!.w2n

On en déduit que

∀n≥0,0≤In= x²ⁿ

(2n)!.w2n≤π x²ⁿ (2n)!

d'où la convergence de la sériePIn.

On applique alors le théorème d'intégration terme à terme...

2.6 Complément : étude en R

⁻

2.6.1 Exercice 1 Soitg(x) =P∞

n=0b_nxⁿ ; on suppose R = 1, lesb_n positifs, et Pb_n divergente.

Que montrer ? Réponse

On peut montrer que

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Démonstration

On sait que g est croissante sur [0,1[; donc g admet une limite L en 1⁻, nie ou non.

Supposons queg est bornée, doncLnie. Notons gn(x) =

n

X

k=0

bkx^k

gn est continue sur[0,1]; sa limite en 1 est Ln=gn(1) =

n

X

k=0

bk

∀n≥0,∀x∈[0,1[, gn(x)≤g(x) Donc : ∀n≥0, Ln≤L.

Conclusion,Pb_n converge. On a montré la contraposée.

2.6.2 Exercice 2 Soitg(x) =P∞

n=0bnxⁿ ; on supposeR= 1, lesbn positifs, et P

bn convergente.

Que montrer ? Réponse

On peut montrer que la série converge normalement sur[0,1]. Donc g est continue sur[0,1].

2.6.3 Exercice 3 Soit

f(x) =

∞

X

n=0

anxⁿ, g(x) =

∞

X

n=0

bnxⁿ

On suppose les deux rayons supérieurs ou égaux à 1, lesb_n positifs, etPb_n divergente.

Montrer que :

- sian=o(bn), alorsf =

1 o(g)

- sian∼bn, alorsf ∼g au voisinage de 1.

Démonstration

Supposonsan=o(bn); xonsε >0; soit n0tel que :

∀n≥n0,|an| ≤ ε 2.bn

Donc

∀x∈[0,1[,|f(x)| ≤

n0

X

n=0

a_nxⁿ

+ε 2.g(x) Puis

∀x∈]0,1[,

f(x) g(x)

≤ 1 g(x)

n₀

X

n=0

anxⁿ

+ε 2 Pour conclure :

∃a∈]0,1[,∀x∈]a,1[,

f(x) g(x)

≤ε

(15)

2.6.4 Application : la continuité radiale Exercice

Soitf(x) =P∞

n=0a_nxⁿ ; on suppose quef(1)existe.

Montrer quef est continue sur[0,1].

Remarquons queR≥1 et que siR >1, le résultat est évident.

Démonstration

En remplaçantf parf−f(1), on se ramène au cas oùf(1) = 0. On notera sn=

n

X

k=0

ak

Dans ce cas,(sn)tend versf(1) = 0. Doncsn=o(1). Posons

∀x∈]−1,1[, g(x) = f(x) 1−x =

∞

X

k=0

sk.x^k L'exercice précédent s'applique :

sn=o(1), doncg(x) =

x→1o(P∞

k=0xⁿ), ce qui signie exactement : lim

1 f = 0 f est donc continue sur[0,1].

2.6.5 Un exemple Soita_n= lnn.

f(x) =

∞

X

n=2

lnn.xⁿ

Montrer que R = 1, trouver la limite de f en 1, un équivalent, puis un développement asymptotique def au voisinage de 1.

Réponse

∀x∈]0,1[, f(x)≥ln2.

∞

X

n=2

xⁿ= ln2. x² 1−x ce qui prouve quef tend vers+∞en1⁻.

On noteH_n=Pn k=1

1 k ; soit

g(x) =

∞

X

n=1

Hnxⁿ On reconnaît un produit de Cauchy :

-a_k= ¹_k pour k≥1et a₀= 0. -bk = 1.

H_n=

n

X

k=0

a_k.b_n−k

∀x∈]−1,1[, g(x) =−ln (1−x) 1−x qui est un équivalent def en 1 d'après l'exercice 2.

Plus précisément

On sait quean=Hn−γ+dn, où(dn)tend vers 0 ; d'où

∀x∈]−1,1[, f(x) =g(x)− γ

1−x+h(x)

(16)

On peut continuer an =Hn−γ−_2n¹ +o ¹_n

, d'où f(x) =−ln (1−x)

1−x − γ 1−x+1

2ln (1−x) +o(ln (1−x))

3 Fonctions développables en série entière

3.1 Dénitions

3.1.1 Fonction DSE

Soitr >0 ; soitI= ]−r, r[; soitf ∈C⁰(I,C).

On dit quef est développable en série entière s'il existe une série entière dont la somme estf.

3.1.2 Série de Taylor

Soitr >0 ; soitI= ]−r, r[; soitf ∈C^∞(I,C); soit an= f⁽ⁿ⁾(0)

n!

On appelle série de Taylor def la sérieP anxⁿ. 3.1.3 Théorème

Pour quef soit développable en série entière surI, il est nécessaire quef soit de classeC^∞.

Si f est la somme d'une série entière, cette série entière est la série de Taylor.

3.1.4 Remarques

Il est possible que la série de Taylor possède un rayon de convergenceRnul, ou queR < r.

Il est possible que la série de Taylor converge, mais que sa somme g soit diérente def.

Dans le cas oùR >0, que dire de la série de Taylor de g? Réponse

f etgont la même série de Taylor ;gest automatiquement développable en série entière.

3.2 x → (1 + x)

^α

( α ∈ C ).

Théorème

x→(1 +x)^α est DSE surJ = ]−1,1[. Démonstration

Soitα∈C\N; soitf(x) = (1 +x)^α=e^α^ln(1+x). f est de classeC^∞surI= ]−1,+∞[et

∀x∈I,∀n≥0, f⁽ⁿ⁾(x) =α(α−1)...(α−n+ 1) (1 +x)^α−n

a_n= f⁽ⁿ⁾(0)

n! = α(α−1)...(α−n+ 1)

n! =H_n(α) =

α n

Pour la série de Taylor, montrons queR= 1:

(17)

Soitx∈R^∗ et un=anxⁿ.

∀n≥2,

u_n un−1

=

α−n+ 1 n

.|x|

qui tend vers|x|.

DoncPu_n diverge si|x|>1et converge si|x|<1. Dernière étape

Il reste à montrer quef est égale la sommesde la série de Taylor.

Pour cela, on montre quef etssont solutions de (1 +x)y⁰=αy

y(0) = 1

3.3 Exercice : arcsin

3.3.1 Développement en série entière

On utilise le précédent surJ = ]−1,1[avecα=−¹₂ :

√ 1

1 +u=

∞

X

n=0

anuⁿ avec

an= (−1)ⁿ (2n)!

(2ⁿ.n!)² D'où

∀x∈J,arcsinx=

∞

X

n=0

bnx²ⁿ⁺¹ avec

bn= (2n)!

(2n+ 1) (2ⁿ.n!)²

3.3.2 Etude aux bornes

Rappel, la formule de Stirling (au programme) : n!∼nⁿe⁻ⁿ√

2πn

On peut montrer queP

bn converge de plusieurs façons : - en calculant un équivalent deb_n: ^C

n³² en utilisant la formule de Stirling.

- en utilisant un exercice antérieur.

- ou à l'aide de _b_n−1^bⁿ avec l'exercice suivant.

3.3.3 Exercice

Soit(b_n)une suite de réels strictement positifs telle que bn

b_n−1 = 1− 3 2n+O

1 n²

Que dire de(bn)? Réponse

Soitαun réel. Soit(c_n) = (n^αb_n). On étudie _c_n−1^cⁿ . c_n

cn−1

=

1 + α n +O

1

n² 1− 3 2n+O

1 n²

(18)

On constate que pourα= ³₂ : c_n cn−1

=

1 +O 1

n²

Donc

lnc_n−lnc_n−1=O 1

n²

D'où la convergence de(lnc_n), d'où la convergence de(c_n)vers une limite strictement positiveC, d'où la conclusion :

bn∼ C n^α

3.4 C

^∞

mais non DSE

On dénitf par

f(x) = exp

−1 x

six > 0 ; on la prolonge au choix en une fonction paire, impaire, ou nulle sur]−∞,0].

On va montrer quef est de classeC^∞surR; quelle est sa série de Taylor

?

1e étape

On montre par récurrence surnque :

∀n≥0,∀x >0, f⁽ⁿ⁾(x) = Pn(x) x²ⁿ .exp

−1 x

oùPn est un polynôme. On sait que

u→+∞lim u²ⁿ.e^−u= 0

Il en découle que

lim

x→0⁺f⁽ⁿ⁾(x) = 0 2e étape

On utilise le théorème de classeC^k par prolongement, qui montre que pour toutk≥1,f est de classeC^k surR.

Conclusion

f est de classeC^∞surR, la somme de la série de Taylor def est nulle, mais f ne l'est pas.

3.5 Les fractions rationnelles

3.5.1 Rappel

SoitR(X) =^P(X)_Q(X)∈C(X)une fraction rationnelle ; on supposera P∧Q= 1

La partie entièreE(X)est ?

(19)

Réponse

Le quotient deP parQ. On peut écrire R=E+P₁

Q

De plus, ^P_Q¹ est combinaison linéaire de termes de la forme 1

(X−a)ⁿ oùadécrit l'ensemble des racines deQ. 3.5.2 Développement en série entière Soita∈C, non nul, etn∈N^∗ ; soit

f :z→ 1 (z−a)ⁿ f est développable en série entière, de rayonR=|a|. Démonstration

Facile pourn= 1; ensuite produit de Cauchy.

Autre méthode :

On utilise(1 +u)^αavecα=−n. Autre méthode :

Dérivation ; par exemple, 1 (1−x)² =

∞

X

n=1

n.xⁿ⁻¹

bien plus rapide par dérivation qu'avec(1 +u)^α. Corollaire

Si 0 n'est pas un pôle deR,z→R(z)est somme d'une série entière.

D'après le théorème sur le rayon de convergence d'une somme, le rayon de convergenceRest au moinsr, minimum des modules des pôles deR(X). 3.5.3 Le rayon

Exercice

Le rayon est exactementr, minimum des modules des pôles deR(X). Démonstration

C'est facile s'il existe un seul pôle ... ? de moduler.

Cas général : il existe au moins un pôleade moduler; on constate que lim

t→1⁻|R(ta)|= lim

t→1⁻

P(ta) Q(ta)

= +∞

Donc le rayonR ne peut pas dépasserr=|a|.

4 Exercices

4.1 Avec une équation diérentielle

Etudier le développement en série entière de q

(20)

Réponse

On remarque quef est de classeC^∞ surRet que f(shu) =e^u². D'oùf vérie(E):

1 +x²

y⁰⁰+xy⁰−1 4y= 0 Après calculs :

∀n≥0,(n+ 2) (n+ 1)an+2= ¹₄−n²

an,a0= 1, a1= ¹₂ ;R= 1. Synthèse

D'après le théorème de Cauchy linéaire,1 +x²ne s'annulant pasI= ]−1,1[, le problème de Cauchy

1 +x²

y⁰⁰+xy⁰−¹₄y= 0 y(0) = 1, y⁰(0) = ¹₂ admet une solution unique surI.

La somme de la série entière touvée est doncf.

4.2 Avec une série double

Etudier le développement en série entière de f :x→exp (e^x) Réponse

Soitxréel ou complexe quelconque.

f(x) =

∞

X

n=0

e^nx n! =

∞

X

n=0

1 n!

∞

X

p=0

1 p!(nx)^p On va utiliser le théorème de Fubini : on note

un,p= 1

n!p!(n.x)^p Ensuite,vn,p=|un,p|; puis

Sn=

∞

X

p=0

vn,p=

∞

X

p=0

1 n!p!|n.x|^p

Existence deS_n ?

∀n≥0, Sn= 1 n!

e^|x|ⁿ Conclusion ?

Snest le terme général d'une série convergente, dont la somme estexp e^|x|

Donc le théorème de Fubini s'applique ; nalement .

∀x∈R, f(x) =

∞

X

p=0

1 p!

∞

X

n=0

n^p n!

! .x^p

4.3 tan est développable en série entière sur I =

−

^π₂

,

^π₂

4.3.1 Les dérivées detan

Pour toutn≥0,tan⁽ⁿ⁾≥0surJ = 0,^π₂

. Démonstration

tan⁽ⁿ⁾(x) =Pn(tanx), oùPn vériePn+1= 1 +X² P_n⁰.

(21)

4.3.2 tanest DSE sur I=

−^π₂,^π₂. Démonstration

Soitx∈J ; soitn≥0 ;tanx=s_n(x) +r_n(x), avec sn(x) =

n

X

k=0

tan^(k)(0)

k! x^k, rn(x) = xⁿ⁺¹ n! In(x)

et

In(x) = ˆ 1

0

(1−u)ⁿtan⁽ⁿ⁺¹⁾(xu) du

Fixons 0 < x < y < ^π₂ ; on remarque que I_n(x) ≤I_n(y)et 0 ≤r_n(y) ≤ tan (y).

Donc :

∀n≥0,0≤r_n(x)≤r_n(y). x

y n+1

≤tany.

x y

n+1

Conclusion ?

4.4 P

∞

n=0

e

⁻ⁿ

. cos (n

²

x)

4.4.1 f(x) =P∞

n=0e⁻ⁿ.cos n²x

Montrer quef est bien dénie et continue sur R.

Réponse

∀n≥0,∀x∈R,

e⁻ⁿ.cos n²x ≤e⁻ⁿ

Majoration indépendante de xpar le terme général d'une série numérique convergente.

Donc la série converge normalement surR.

Les termes de la série étant continus, la somme est continue.

4.4.2 C^∞

Montrer quef est de classeC^∞ surR; quelle est sa série de Taylor ? 4.4.3 DSE ?

Montrer que le rayon de convergence de la série de Taylor de f est nul ; conclusion ?

4.4.4 Réponse

∀p≥0, f^(2p)(0) = (−1)^p.

∞

X

n=0

e⁻ⁿ. n²^2p On sait queP

ap.x^p et P

|ap|x^p ont le même rayon de convergence.

Soitx >0. On va montrer que P

f^(2p)(0)

(2p)! .x^2p diverge avec le théorème de Fubini :

∞

X

p=0

x^2p (2p)!

∞

X

n=0

e⁻ⁿ. n²2p

=

∞

X

n=0

e⁻ⁿ.

∞

X

p=0

x^2p

(2p)! n²2p

=

∞

X

n=0

e⁻ⁿ.ch n²x

On obtient une série qui diverge. Donc R= 0

(22)

4.5 P

p

k=1

u

_k

= n

Soitn∈N. On cherche le nombre an de solutions dansN^p de

p

X

k=1

uk =n

4.5.1 Méthode élémentaire

On dispose d'un tableau de taillen+p−1 dans lequel on range n objets identiques, etp−1séparateurs.

Nombre de possibilités :

n+p−1 n

4.5.2 Avec sommation par paquets Pourx∈]−1,1[, et(u1, ..., up)∈N^p, on note

a_u₁_,...,u_p=x^u¹^+...+u^p

et on calcule _∞

X

(u₁,...,u_p)∈N^p

x^u¹^+...+u^p

en sommant par paquets de deux manières diérentes.

∀x∈]−1,1[, 1 (1−x)^p =

∞

X

u₁=0

x^u¹.

∞

X

u₂=0

x^u²...

∞

X

u_p=0

x^u^p

Donc

∀x∈]−1,1[, 1 (1−x)^p =

∞

X

(u₁,...,u_p)∈N^p

x^u¹^+...+u^p=

∞

X

n=0

a_nxⁿ

Or

∀x∈]−1,1[, 1

(1−x)^p = (1−x)^−p=

∞

X

n=0

bnxⁿ avec

b_n= (−p) (−p−1)...(−p−n+ 1)

n! (−1)ⁿ=

n+p−1 n

5 Compléments

5.1 La continuité radiale

Soitf(z) =P∞

n=0anzⁿ ; on suppose quef(z0)existe.

Alors la série converge uniformément sur K= [0, z0] etf est continue sur cet intervalle.

On se ramène au cas oùz0= 1. 5.1.1 Un cas particulier simple Le cas oùPa_n converge absolument.

Dans ce cas, la série converge normalement sur[0,1]:

∀n≥0,∀x∈[0,1],|a_nxⁿ| ≤ |a_n|

Majoration indépendante de xpar le terme général d'une série numérique convergente.

Donc la série converge normalement sur[0,1].

(23)

5.1.2 Un autre cas particulier simple Le cas où

an= (−1)ⁿbn

avec(bn)décroissante de limite nulle.

Dans ce cas, on note

R_n(x) =

∞

X

k=n+1

(−1)^k.b_k.x^k

et on constate que

∀x∈J = [0,1],|Rn(x)| ≤bn+1.xⁿ⁺¹≤bn+1

majorant indépendant dexet qui tend vers 0.

5.1.3 Démonstration du cas général On note

rn =

∞

X

k=n+1

ak

Rn(x) =

∞

X

k=n+1

akx^k Soitm_n= sup

k≥n

|rk|; remarquons quea_k =r_k−1−r_k et que(m_n)tend vers 0 (voir plus loin).

EtudionsR_n :

∀x∈[0,1], R_n(x) =

∞

X

k=n+1

(r_k−1−r_k)x^k =r_nxⁿ⁺¹+

∞

X

k=n+1

r_k x^k+1−x^k

Justication ? Ensuite, il faut majorer soigneusement ; on obtient :

∀x∈[0,1],|R_n(x)| ≤2m_n 5.1.4 Lemme : lim sup

Soit(un)une suite de réels de limiteL; soit vn= sup

k≥n

uk

La suite(vn)tend aussi versL. Démonstration

Soitε >0 etn0 tel que

∀n≥n0, L−ε≤un≤L+ε Soitn≥n₀ :

∀k≥n, L−ε≤uk≤L+ε Par passage à la borne supérieure :

L−ε≤un≤vn≤L+ε Remarque

Si(un)est seulement bornée,(vn)est décroissante et converge vers une limite appeléelim supu ,

(24)

5.2 Fonctions entières bornées sur C

5.2.1 Ip(r) = 2π.ap.r^p Exercice

On noteI= [0,2π].

Soitf somme d'une série entière de rayonR >0 : f(z) =

∞

X

n=0

anzⁿ

Soitr∈]0, R[ ; soit

Ip(r) = ˆ 2π

0

f r.e^it e^−iptdt

Alors :

∀p∈N, I_p(r) = 2π.a_p.r^p Démonstration

∀n∈N,∀t∈I,

anrⁿe^inte^−ipt

=|anrⁿ| indépendant detet terme général d'une série qui converge.

Donc la série converge normalement sur le segmentI= [0,2π]et on peut permuter série et intégrale :

Ip(r) = ˆ 2π

0

f r.e^it

e^−iptdt=

∞

X

n=0

ˆ 2π 0

anrⁿe^inte^−iptdt

Ip(r) =

∞

X

n=0

anrⁿ ˆ 2π

0

e^i(n−p)tdt

Un calcul facile montre que

∀n∈Z\ {0}, ˆ 2π

0

e^intdt= 0

D'où la conclusion.

5.2.2 Le théorème de Liouville Exercice

Soitf fonction entière et bornée surC; montrer quef est constante ; que dire decos?

Démonstration

On noteM =kfk_∞. Fixons p≥0.

∀r >0, Ip(r) = 2π.ap.r^p De plus :

∀r >0,|Ip(r)| ≤2π.M Donc :

∀r >0,|a_p|r^p≤M Donc sip≥1,a_p= 0. Conclusion,f est constante.

(25)

5.3 Les fonctions analytiques

5.3.1 Dénition

SoitU un ouvert deC; soitf :U →Cune fonction.

On dit qu'elle est analytique surU si, pour toutb∈U, la fonction fb:h→f(b+h)

est développable en série entière sur un voisinage de zéro.

Exemples

- Les fonctions polynomiales sont analytiques surC.

-expest analytique surC.

-z→ _1−z¹ est analytique surU =C\ {1}.

- On va voir que la somme d'une série entière est analytique sur U = D(0, R).

- La fonctionζ se prolonge en une fonction analytique surC− {1}. - La fonction Γ se prolonge en une fonction analytique sur Cprivé des entiers négatifs.

5.3.2 ζ est analytique sur ]1,+∞[

Démonstration

On xea >1. On étudieζ(a+h);

∀h >1−a, ζ(a+h) =

∞

X

n=1

1 n^a+h =

∞

X

n=1

1 n^a.

∞

X

k=0

(−h)^k k! .(lnn)^k

On souhaite permuter. On pose u_n,k = 1

n^a.(−h)^k

k! .(lnn)^k, v_n,k=|u_n,k| On pose

s_n =

∞

X

k=0

v_n,k= n^|h|

n^a = 1 n^a−|h|

La sérieP

sn converge si et seulement si|h|< a−1, et dans ce cas on peut permuter les sommes.

Conclusion :

|h|< R=a−1 =⇒ζ(a+h) =

∞

X

k=0

a_kh^k

avec

a_k = 1 k!

∞

X

n=1

(−1)^k n^a .(lnn)^k

Bien entendu, on retrouve la série de Taylor deζau pointa. 5.3.3 La somme d'une série entière est analytique Soitf la somme d'une série entière surU =D(0, R).

Alorsf est analytique sur U.

(26)

Démonstration

∀z∈U, f(z) =

∞

X

n=0

anzⁿ Fixonsb∈U ; notonsr=R− |b|.

Soithtel que |h|< r. f(b+h) =

∞

X

n=0

a_n(b+h)ⁿ=

∞

X

n=0

a_n

n

X

k=0

n k

b^n−k.h^k

Soit

sn=

n

X

k=0

an.b^n−k.h^k

n k

=|an|(|b|+|h|)ⁿ Psn converge, car

|b|+|h|< R=Ra=R_|a|

On peut donc appliquer le théorème de Fubini : f(b+h) =

∞

X

k=0

∞

X

n=k

an. n

k

b^n−k.h^k =

∞

X

k=0

ck.z^k

avec c_k=

∞

X

n=k

a_n. n

k

b^n−k = 1 k!

∞

X

n=k

n(n−1) (n−2)...(n−k+ 1).a_n.b^n−k

Remarque

Dans le cas oùb est réel, on trouve que ck= 1

k!.f^(k)(b) = 1

k!.f_b^(k)(0) Etait-ce prévisible ?

5.4 Les zéros

5.4.1 Un zéro isolé Soitf(z) =P∞

n=0anzⁿ dénie sur U=D(0, R); on supposef(0) = 0. Alors 0 est un zéro isolé, sauf sif est nulle.

Démonstration

Supposonsf non nulle. Soit

p= min{n∈N/ a_n6= 0}

On peut écrire :

∀z∈U, f(z) =

∞

X

n=p

a_nzⁿ=z^p.

∞

X

n=0

a_n+pzⁿ=z^p.g(z)

oùg est la somme d'une série entière de rayon 1, donc continue en 0, telle que

g(0) =a_p6= 0 5.4.2 Généralisation

Soitf analytique surU ouvert de Cconnexe par arcs.

Alors les zéros def sont isolés, sauf sif est nulle.

(27)

Démonstration

On montre que l'intérieur de l'ensemble des zéros est ouvert et fermé dans U.

5.5 Inverse, méthode 1

Soitf(x) =P∞

n=0anxⁿ ; on supposea0= 1et Ra>0. On dénit(bn)parb0= 1, et sin≥1 :

bn=−

n−1

X

k=0

a_n−kbk

Il est nécessaire de vérier queR_b>0. On sait qu'il existeC >0tel que :

∀n≥0,|an| ≤Cⁿ D'où

∀n≥1,|b_n| ≤

n−1

X

k=0

|b_k|C^n−k

Notonsd_k= ^|b_C^k_k^| :

∀n≥1, dn≤

n−1

X

k=0

dk

Notonssn=Pn k=0dk :

∀n≥1, sn ≤2.s_n−1

On obtient enn :

∀n≥1,|bn|=dnCⁿ ≤sn−1Cⁿ≤2ⁿ⁻¹Cⁿ Conclusion ?

Rb≥ 1 2C

5.6 Un lemme sur le produit

Soitf(x) =P∞

n=0a_nxⁿ etg(x) =P∞

n=0b_nxⁿ ; soit R= min (R_a, R_b). On supposeR >0 ; soit

h(x) =

∞

X

n=0

c_nxⁿ =f(x)g(x)

On note :

f1(x) =

∞

X

n=0

|an|xⁿ, g1(x) =

∞

X

n=0

|bn|xⁿ, h1(x) =

∞

X

n=0

|cn|xⁿ

Alors, les coecients def1.g1majorent ceux de h1, et

∀x∈[0, R[,0≤h1(x)≤f1(x)g1(x)

Démonstration

∀n∈N,|cn|=

n

X

k=0

ak.b_n−k

≤

n

X

k=0

|ak|.|b_n−k|

(28)

5.7 Inverse, méthode 2

Soitf(x) =P∞

n=0anxⁿ ; on supposea0 = 1 et Ra >0 ; f(x) = 1−h(x) avec

h(x) =−

∞

X

n=1

anxⁿ

1 f(x) =

∞

X

p=0

(h(x))^p

à condition que|h(x)|<1;(h(x))^p=P∞

n=0c_n(p)xⁿ. Donc, si|h(x)|<1 :

1 f(x) =

∞

X

p=0

∞

X

n=0

cn(p)xⁿ

Il reste à intervertir...

Posonsh1(x) =P∞

n=1|an|xⁿ ;(h1(x))^p=P∞

n=0dn(p)xⁿ. Que dire dedn(p)?

|cn(p)| ≤dn(p) Fixonsr >0 tel que0< h1(r)<1...

5.8 Généralisation : la composition

Soitf(x) =P∞

n=0anxⁿ, etg(x) =P∞

n=0bnxⁿ ; on supposea0= 0,Ra>0, etRb >0.

On veut montrer queg◦f est développable en série entière au voisinage de zéro.

Démonstration On pose

(f(x))^p=

∞

X

n=1

c_n(p)xⁿ

f1(x) =

∞

X

n=1

|an|xⁿ,(f1(x))^p=

∞

X

n=1

dn(p)xⁿ

A nouveau :

∀p≥1,∀n≥1,|cn(p)| ≤d_n(p) Fixonsr >0 tel que0< r < R_a et0< f₁(r)< R_b.

Soitxtel que |x| ≤r : g◦f(x) =

∞

X

p=0

bp

∞

X

n=0

cn(p)xⁿ

On noteun,p=bp.cn(p).xⁿ ;|un,p| ≤vn,p=|bp|.dn(p).r^p ; d'où sp=

∞

X

n=0

|un,p| ≤ |bp|(f1(r))^p D'oùP

sp converge.

On peut donc intervertir : g◦f(x) =

∞

X

n=0

xⁿ

∞

X

p=0

bp.cn(p)

Séries entières