Séries entières
1. (18) On pose: ∀n∈N∗,∀x∈R,un(x) =(−1)nxn
n .
On considère la série de fonctionsX
n>1
un.
(a) Étudier la convergence simple de cette série.
On noteD l’ensemble desxoù cette série converge etS(x)la somme de cette série pourx∈D.
(b) i. Étudier la convergence normale, puis la convergence uniforme de cette série surD.
ii. La fonctionS est-elle continue surD?
2. (20) (a) Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable complexe.
(b) Calculer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes:
i. X(n!)2
(2n)!z2n+1 ii. X
n(−1)nzn. 3. (21)
(a) Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière de la variable complexe.
(b) Soit(an)n∈
Nune suite bornée telle que la sérieX
an diverge.
Quel est le rayon de convergence de la série entièreX
anzn? Justifier.
(c) Quel est le rayon de convergence de la série entière X
n>1
√n(−1)n
ln
1 + 1
√n
zn?
4. (23) Soit(an)n∈Nune suite complexe telle que la suite
|an+1|
|an|
n∈N
admet une limite.
(a) Démontrer que les séries entièresX
anxn et X
(n+ 1)an+1xn ont le même rayon de convergence.
On le noteR.
(b) Démontrer que la fonction x7−→
+∞
X
n=0
anxn est de classeC1 sur l’intervalle]−R, R[.
5. (22)
(a) Que peut-on dire du rayon de convergence de la somme de deux séries entières? Le démontrer.
(b) Développer en série entière au voisinage de 0, en précisant le rayon, la fonction f : x7−→ ln (1 +x) + ln (1−2x).
La série obtenue converge-t-elle pourx= 1
4? x= 1
2? x=−1 2?.
6. (24)
(a) Déterminer le rayon de convergence de la série entièreX xn (2n)! . On poseS(x) =
+∞
X
n=0
xn (2n)! .
(b) Donner le développement en série entière en 0 de la fonctionx7→ch(x)et précisez le rayon de convergence.
(c) i. DéterminerS(x).
ii. On considère la fonctionf définie surRpar:
f(0) = 1, f(x) =ch√
xpour x >0, f(x) = cos√
−xpour x <0 . Démontrer quef est de classeC∞ surR.
7. (51) (a) Montrer que la sérieP (2n)!
(n!)224n(2n+ 1) converge.
On se propose de calculer la somme de cette série.
(b) Donner le développement en série entière en 0 det7−→ 1
√1−t en précisant le rayon de convergence.
Remarque: dans l’expression du développement, on utilisera la notation factorielle.
(c) En déduire le développement en série entière en 0 dex7−→Arcsinxainsi que son rayon de convergence.
(d) En déduire la valeur de
+∞
X
n=0
(2n)!
(n!)224n(2n+ 1). 8. Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes
(a) P
n>0
n2+ 1 3n zn
(b) P
n>0
n2 3n+nzn
(c) P
n>0
nn n!z3n
(d) P
n>0
(n!)2 (2n+ 1)!xn (e) P
n>0
cos(nθ)xn
(f) P
n>0
cos2n n zn
(g) P
n>0
n!zn2
(h) P
n>0
zn (n+ 1)(n+ 2)
(i) P
n>0
2n n
! zn
9. Soit P
anzn une série entière de rayon de convergence R. Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP
anz2n.
10. Montrer que pour tout α∈Rles séries entièresP
anzn et P
nαanzn ont même rayon de convergence.
11. Soit Panzn une série entière de rayon de convergence R. On pose bn = an
1 +|an| et on note R0 le rayon de convergence dePbnzn.
(a) Montrer queR0 >max(1, R) (b) Établir que siR0>1alorsR0=R.
(c) ExprimerR0 en fonction deR.
12. (*) SoitX
anznune série entière de rayon de convergenceR >0telle que∀n∈N, an>0. Discuter en fonction du réelαle rayon de convergence R0 de la série entière X
aαnzn. 13. Soit P
anzn une série entière de rayon de convergenceR >0 et de sommef. Exprimer
+∞
P
n=0
a2nz2n en fonction def pour|z|< R.
14. Soit (an)une suite réelle décroissante de limite 0 telle que X
n>0
an diverge. Quel est le rayon de convergence de X
n>0
anzn ?
15. Calculer le rayon de convergence et la somme des séries entières:
(a) P
n>0
(−1)n+1nx2n+1
(b) P
n>1
n2+n+ 1 n xn
(c) P
n>0
n−1 n! xn
(d) P
n>1
1 n(n+ 2)xn
(e) P
n>0
x2n 2n+ 1. (f) P
n>0cos(nθ)xn avecθ∈R
16. Soit Panxn une série entière de rayon de convergenceR= 1avec∀n∈N, an>0.
Pourx∈]−1,1[, on poseS(x) =
+∞
P
n=0
anxn et on suppose que la fonctionS est bornée.
(a) Montrer que la sérieP
an est convergente.
(b) Montrer que lim
x→1−S(x) =
+∞
P
n=0
an
17. Soit θ∈R−Qun irrationnel. On notean lenième chiffre dans l’écriture décimale de θ. Quel est le rayon de convergence de la série entièreX
n>1
anzn ?
18. SoientPanxnet Pbnxn deux séries entières de sommes respectivesf(x)etg(x)avec pour toutn∈N,bn>0.
On suppose que le rayon de convergence dePbnxn estRet que cette série diverge en R.
(a) On suppose que an=o(bn). Montrer quef(x) =o(g(x))quand x→R− (b) On suppose que an∼bn. Que dire def(x)et g(x)au voisinage deR ? 19. On considère la série entière X
anzn. Montrer que le rayon de convergence de cette série est non nul si et seulement si il existeq >0tel que ∀n, |un|6qn.
20. Montrer que la fonctionf :x7→√
x2+x+ 1 admet un développement en série entière de rayon de convergence R>1.
21. Pourt∈]0, π[, former le développement en série entière en 0 de la fonctionx7→ 1−x2 1−2xcost+x2 22. Montrer que∀a >0,
Z 1
0
dt 1 +ta =
+∞
X
n=0
(−1)n
na+ 1. En déduire les sommes :
+∞
P
n=0
(−1)n n+ 1 et
+∞
P
n=0
(−1)n 2n+ 1
23. Montrer que
+∞
P
n=0
(−1)n
(2n+ 1)(2n+ 2) =R1
0 arctanxdx. En déduire la valeur de cette somme.
24. (a) Déterminer une solution développable en série entière de l’équation différentielle : x2y00+x(x+ 1)y0−y= 0.
(b) Exprimer cette solution à l’aide des fonctions usuelles 25. Soientp∈Netf(x) =
+∞
P
n=0
n+p p
! xn
(a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction.
(b) Calculer f(x)en étudiant(1−x)f0(x).
26. Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière X
n>0
anzn oùa0= 3, a1= 0et ∀n∈N, an+2=an+1+ 2an
27. Montrer que la série X
n>0
(−1)n Z π/2
0
cosn(x)dxconverge et donner sa somme.
28. (a) Montrer que la série entièreX zn
(n!)2 a un rayon de convergence infini. soitf sa somme.
(b) (*) Pourx >0comparerf(x)etI(x) = Z π/2
−π/2
exp(2√
xsint)dt
29. Soitf :R→Rde classeC∞ telle quef(n)>0pour toutn∈N. Montrer quef est développable en série entière en 0.
30. Domaine de définition et étude aux bornes de
+∞
P
n=1
ln
1 + 1 n
xn.
