18.1 Séries entières et séries de Fourier

18

Séries de Fourier

18.1 Séries entières et séries de Fourier

Nous allons dans un premier temps introduire la notion de série de Fourier en partant des développements en séries entières.

Le théorème relatif aux projections orthogonales d’un espace préhilbertien sur un sous-espace de dimension finie nous donnera une autre présentation de cette notion de série de Fourier.

Si P

α_nzⁿ est une série entière de rayon de convergence R > 0 éventuellement infini, on peut définir, en notant f la somme de cette série entière, pour tout réel r ∈ ]0, R[ la fonction ϕr par :

∀x∈R, ϕ_r(x) = f¡ re^ix¢

= X+∞

n=0

α_nrⁿe^inx

La fonctionf étant continue sur le disque ouvertD(0, R) ={z ∈C| |z|< R},on en déduit que, pour r fixé dans ]0, R[, la fonction ϕr est continue sur tout R.

Remarque 18.1 Avec |α_nrⁿe^inx|=|α_n|rⁿ pour tout réelx et P

|α_n|rⁿ<+∞, on déduit que la série de fonctionsP

α_nrⁿe^inx est normalement convergente surR, ce qui permet de retrouver la continuité de ϕr avec celle des fonctions x7→e^inx pour tout entier naturel n.

Remarque 18.2 Si p est un entier naturel non nul, on sait que la série dérivée : Xn(n−1)· · ·(n−p+ 1)α_nz^n−p

a même rayon de convergence que P

α_nzⁿ, donc la sérieP

n^p|α_n|rⁿ est convergente pour tout réelr∈]0, R[(puisquen^p|α_n|rⁿ ∼

+∞r^pn(n−1)· · ·(n−p+ 1)|α_n|r^n−p) et avec|(in)^pα_nrⁿe^inx|= n^p|αn|rⁿpour tout entier naturelnet tout réelx,on déduit que la série de fonctionsP

(in)^pαnrⁿe^inx est normalement convergente sur R. Comme les fonctions x 7→ e^inx sont de classe C^∞ sur R pour tout entier naturel n, on en déduit que la fonction ϕ_r est aussi de classe C^∞ sur R.

De la 2π-périodicité des fonctions x7→ e^inx, on déduit que la fonction ϕr est périodique de période 2π, c’est-à-dire que :

∀x∈R, ϕr(x+ 2π) = ϕr(x). En utilisant les formules d’Euler :

∀n∈N, e^inx = cos (nx) +isin (nx) 409

on peut écrire que :

ϕ_r(t) = X+∞

n=0

α_nrⁿcos (nx) +i X+∞

n=0

α_nrⁿsin (nx)

= X+∞

n=0

αnrⁿcos (nx) +i X+∞

n=1

αnrⁿsin (nx) chacune des séries de fonctions P

αrⁿcos (nx) et P

α_nrⁿsin (nx) étant normalement conver- gente sur R (le terme général est majoré par |α_n|rⁿ).

Un tel développement est appelé développement en série de Fourier de la fonction ϕ_r. Nous allons étudier un peu plus loin, de façon plus générale, cette notion de série de Fourier.

Les coefficients α_n peuvent s’exprimer à l’aide de formules intégrales comme suit.

Théorème 18.1 (Cauchy) Avec les notations qui précèdent, on a :

∀n ≥0, α_nrⁿ = 1 2π

Z _2π

0

ϕ_r(t)e^−intdt

Démonstration.Avec la convergence normale surRde la série de fonctions P

αnrⁿe^int,on peut écrire pour tout entier n ≥0:

Z _2π

0

ϕ_r(t)e^−intdt= X+∞

k=0

α_kr^k Z _2π

0

e^i(k−n)tdt

= 2πα_nrⁿ

puisque : Z _2π

0

e^i(k−n)tdt=

½ 0si k 6=n 2π si k=n On a en particulier :

f(0) =α₀ = 1 2π

Z _2π

0

ϕ_r(t)dt Remarque 18.3 Pour n≥1, on a :

Z _2π

0

ϕ_r(t)e^intdt= X+∞

k=0

α_kr^k Z _2π

0

e^i(k+n)tdt = 0 et :

Z _2π

0

ϕr(t) cos (nt)dt= 1 2

Z _2π

0

ϕr(t)¡

e^int+e^−int¢ dt

= 1 2

Z _2π

0

ϕ_r(t)e^−intdt=πα_nrⁿ Z _2π

0

ϕ_r(t) sin (nt)dt= 1 2i

Z _2π

0

ϕ_r(t)¡

e^int−e^−int¢ dt

=−1 2i

Z _2π

0

ϕ_r(t)e^−intdt=iπα_nrⁿ

Séries entières et séries de Fourier 411

Soit, pour n ≥1 :

α_nrⁿ= 1 2π

Z _2π

0

ϕ_r(t)e^−intdt= 1 π

Z _2π

0

ϕ_r(t) cos (nt)dt et :

iαnrⁿ = 1 π

Z _2π

0

ϕr(t) sin (nt)dt Les coefficients

a_n =α_nrⁿ= 1 π

Z _2π

0

ϕ_r(t) cos (nt)dt (n ≥0) b_n =iα_nrⁿ= 1

π Z _2π

0

ϕ_r(t) sin (nt)dt (n ≥1) sont les coefficients de Fourier trigonométriques de ϕ_r et les coefficients :

c_n=α_nrⁿ= 1 2π

Z _2π

0

ϕ_r(t)e^−intdt (n∈Z) sont les coefficients de Fourier exponentiels de ϕ_r.

Nous utiliserons par la suite les coefficients trigonométriques un peu plus commodes pour les fonctions à valeurs réelles paires ou impaires.

Exercice 18.1 Montrer que les seules fonctions développables en série entière et bornées sur C sont les fonctions constantes (théorème de Liouville).

Solution 18.1 On a f(z) = ^+∞P

n=0

αnzⁿ pour tout z ∈ C et il existe un réel M > 0 tel que

|f(z)| ≤M pour tout z ∈C.

En utilisation les notations qui précèdent, on a pour tout réel r >0 et tout entier n ≥1 :

|α_n|= 1 2πrⁿ

¯¯

¯¯ Z _2π

0

ϕ_r(t)e^−intdt

¯¯

¯¯≤ 1 2πrⁿ

Z _2π

0

¯¯f¡

re^it¢¯¯dt≤ M rⁿ →0

r→+∞

donc α_n= 0 pour tout n ≥1 et f =α₀. Exercice 18.2 Soit f(z) = P

n≥0

α_nzⁿ une fonction développable en série entière sur C. Que peut–on dire de f s’il existe une fonction polynomiale P telle que |f(z)| ≤ |P (z)| pour tout z ∈C?

Solution 18.2 Soit P (z) = P^p

j=0

p_jz^j un polynôme de degré p qui majore f. En utilisant les notations qui précèdent, on a pour tout réel r >0 et tout entier n ≥p+ 1 :

|α_n|= 1 2πrⁿ

¯¯

¯¯ Z _2π

0

ϕ_r(t)e^−intdt

¯¯

¯¯≤ 1 2πrⁿ

Z _2π

0

¯¯f¡

re^it¢¯¯dt

≤ 1 2πrⁿ

Z _2π

0

¯¯P¡

re^it¢¯¯dt ≤ 1 rⁿ

Xp

j=0

|p_j|r^j →0

r→+∞

donc αn= 0 pour toutn≥p+ 1 et f est une fonction polynomiale. Dans le cas où le polynôme majorant est constant, on retrouve le théorème de Liouville de l’exercice précédent.

L’utilisation du produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes per- met de donner la version particulière qui suit du théorème de Parseval que nous retrouverons plus loin.

Théorème 18.2 (Parseval) Soit f(z) = ^+∞P

n=0

α_nzⁿ une fonction développable en série entière sur D(0, R) avec 0< R≤+∞.

Pour tout réel r∈]0, R[, on a : 1 2π

Z _2π

0

¯¯f¡

re^it¢¯¯²dt = X+∞

n=0

|α_n|²r²ⁿ

Démonstration.Les séries^+∞P

n=0

α_nrⁿe^intet^+∞P

n=0

α_nrⁿe^−intétant absolument convergentes pour tout réel t ∈ [0,2π], leur produit de Cauchy est aussi une série absolument convergente et on a :

¯¯f¡

re^it¢¯¯² =f¡ re^it¢

f(re^it) = X+∞

n=0

Xn

k=0

α_kr^ke^iktα_n−kr^n−ke^−i(n−k)t

= X+∞

n=0

à _n X

k=0

α_kα_n−ke^{−i(n−2k)t}

! rⁿ

Avec : ¯

¯¯

¯¯ Xn

k=0

α_kα_n−ke^{−i(n−2k)t}

¯¯

¯¯

¯rⁿ≤ Ã _n

X

k=0

|α_k| |α_n−k|

! rⁿ

pour tout t∈[0,2π] et : X+∞

n=0

à _n X

k=0

|α_k| |α_n−k|

! rⁿ=

X+∞

n=0

Xn

k=0

|α_k|r^k|α_n−k|r^n−k

= ÃX+∞

n=0

|α_n|rⁿ

! ÃX+∞

n=0

|α_n|rⁿ

!

<+∞

(encore un produit de Cauchy de séries absolument convergentes), on déduit que la série de fonctions de somme |f(re^it)|² est normalement convergente sur [0,2π] et on peut écrire que :

Z _2π

0

¯¯f¡

re^it¢¯¯²dt = X+∞

n=0

ÃXn

k=0

α_kα_n−k Z _2π

0

e^{−i(n−2k)t}dt

! rⁿ

= 2π X+∞

p=0

|α_p|²r^2p

puisque :

Z _2π

0

e^{−i(n−2k)t}dt =





0si n = 2p+ 1 0si n = 2p etk 6=p 2π si n= 2pet k=p

L’espace préhilbertien D de Dirichlet 413 Exercice 18.3 Soit f(z) = ^+∞P

n=0

α_nzⁿ une fonction développable en série entière sur D(0, R) avec 0 < R≤ +∞. Montrer que si |f| admet un maximum local en 0, elle est alors constante (principe du maximum).

Solution 18.3 Si |f| admet un maximum local en 0, il existe alors un réel r₀ ∈ ]0, R[ tel que

|f(0)|= sup

|z|≤r0

|f(z)|. On a alors, en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

|f(0)|= 1 2π

¯¯

¯¯ Z _2π

0

f¡ r₀e^it¢

dt

¯¯

¯¯≤ 1 2π

Z _2π

0

¯¯f¡

r₀e^it¢¯¯·1dt

≤ 1 2π

µZ _2π

0

¯¯f¡

r₀e^it¢¯¯²dt

¶¹₂ µZ _2π

0

dt

¶¹₂

= 1

√2π µZ _2π

0

¯¯f¡

r₀e^it¢¯¯²dt

¶¹₂

≤ 1

√2π µZ _2π

0

|f(0)|²dt

¶¹₂

=|f(0)|

donc |α₀|=|f(0)|= 1

√2π µZ _2π

0

|f(r₀e^it)|²dt

¶¹₂

, soit :

|α₀|² = 1 2π

Z _2π

0

¯¯f¡

r₀e^it¢¯¯²dt= X+∞

n=0

|α_n|²r²ⁿ₀

et α_n pour tout n≥1, ce qui signifie que f est constante.

18.2 L’espace préhilbertien D de Dirichlet

Pour ce paragraphe, les fonctions considérées sont définies sur R et à valeurs réelles.

Définition 18.1 On dit qu’une fonction 2π-périodique, f :R→R, est continue par morceaux s’il existe une subdivision de [0,2π] :

0 =a₀ < a₁ <· · ·< a_p = 2π

avec p∈N^∗,telle quef soit continue sur chaque intervalle]ak, ak+1[(0≤k ≤n−1) et admette une limite à droite et à gauche en chaque point de discontinuité (s’il en existe).

Si f : R → R, est continue par morceaux, on notera en tout point de discontinuité a de f (s’il en existe) :

f¡ a⁻¢

= lim_x→a

x<a

f(x) etf¡ a⁺¢

= lim_x→a

x>a

f(x)

Si f : R → R, 2π-périodique est continue par morceaux, en utilisant les notations de la définition qui précède, on vérifie facilement que f se prolonge en fonction continue sur chaque intervalle [ak, ak+1]. Et réciproquement, si pour une telle subdivision de [0,2π], la fonction f se prolonge en fonction continue sur chaque intervalle [a_k, a_k+1], elle est alors continue par morceaux.

On rappelle qu’une fonction continue par morceaux sur R est Riemann-intégrable sur tout segment [a, b].

On désigne par D l’espace des fonctions f : R → R qui sont 2π-périodiques, continues par morceaux et telles qu’en tout point de discontinuité a de f, on ait :

f(a) = f(a⁻) +f(a⁺)

2 .

On dit que D est l’espace des fonctions de Dirichlet.

Il est facile de vérifier que D est un R-espace vectoriel.

On peut remarquer qu’une fonction de D est bornée avec : sup

t∈R

|f(t)|= sup

t∈[−π,π]

|f(t)|

du fait de la 2π-périodicité.

Remarque 18.4 On peut aussi travailler avec des fonctions périodiques de périodeT >0.Sif est une telle fonction, alors la fonction g définie par g(x) =f

µT 2πx

¶

est périodique de période 2π. La limitation à la période 2π n’est donc pas vraiment restrictive.

Exemple 18.1 Soient [a, a+ 2π] un intervalle de longueur 2π et f une fonction continue de [a, a+ 2π] dans R telle que f(a) = f(a+ 2π). Montrer qu’il existe une unique fonction fe: R→R continue et 2π-périodique qui coïncide avec f sur [a, a+ 2π].

Solution 18.4 En utilisant la partition : R= [

k∈Z

[a+ 2kπ, a+ 2 (k+ 1)π[

on définit la fonction fepar :

∀k ∈Z, ∀x∈[a+ 2kπ, a+ 2 (k+ 1)π[, fe(x) = f(x−2kπ)

on a fe(x) = f(x), pour tout x ∈ [a, a+ 2π[, fe(a+ 2π) = f(a) = f(a+ 2π) et pour tout k ∈Z, tout x∈[a+ 2kπ, a+ 2 (k+ 1)π[, on a :

fe(x+ 2π) = f(x+ 2π−2 (k+ 1)π) =f(x−2kπ) =fe(x) Donc fecoïncide avec f sur [a, a+ 2π] et est 2π-périodique.

La fonction feest comme f continue sur ]a, a+ 2π[ et par 2π-périodicité, on déduit qu’elle est continue sur [

k∈Z

]a+ 2kπ, a+ 2 (k+ 1)π[.En effet, pourx, x₀ dans l’ouvert]a+ 2kπ, a+ 2 (k+ 1)π[, on a :

fe(x) = f(x−2kπ) →

x→x0

f(x0−2kπ) =fe(x0).

Enfin pour tout k ∈Z et h ∈]0, π[, on a a−h∈]a−2π, a[, a+h ∈]a, a+ 2π[ et : fe(a+ 2kπ−h) =fe(a−h) =f(a−h+ 2π)

h→0→ f(a+ 2π) =f(a)

fe(a+ 2kπ+h) = fe(a+h) = f(a+h)

h→0→ f(a) = f(a)

L’espace préhilbertien D de Dirichlet 415 donc :

x→a+2kπlim

fe(x) = f(a) = fe(a) = fe(a+ 2kπ) et feest continue en a+ 2kπ.

L’unicité de feprovient du fait qu’une fonction 2π-périodique est uniquement déterminée par ses valeurs sur un intervalle de longueur 2π.

Le lemme qui suit, de démonstration élémentaire, nous sera très utile.

Lemme 18.1 Pour toute fonction f ∈ D et tout réel a, on a : Z _a+2π

a

f(t)dt= Z _2π

0

f(t)dt

Démonstration. En utilisant la relation de Chasles pour l’intégrale de Riemann, on a : Z _a+2π

a

f(t)dt= Z ₀

a

f(t)dt+ Z _2π

0

f(t)dt+

Z _a+2π

2π

f(t)dt

et le changement de variable t = 2π+u dans la troisième intégrale nous donne, compte tenu de la 2π-périodicité de f :

Z _a+2π

2π

f(t)dt= Z _a

0

f(2π+u)du= Z _a

0

f(u)du=− Z ₀

a

f(u)du ce qui donne le résultat annoncé.

En particulier on a, pour toute fonction f ∈ D, en prenant a =−π : Z _π

−π

f(t)dt = Z _2π

0

f(t)dt

Ce résultat est intéressant dans le cas particulier où la fonction f est paire ou impaire.

Il sera aussi commode de noter que : Z _a+π

a−π

f(t)dt=

Z _(a−π)+2π

a−π

f(t)dt = Z _2π

0

f(t)dt= Z _π

−π

f(t)dt.

Théorème 18.3 L’application :

(f, g)7→ hf |gi= Z _2π

0

f(t)g(t)dt définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel D.

Démonstration. Des propriétés de l’intégrale de Riemann sur un segment, on déduit que l’application h· | ·iest bilinéaire, symétrique et positive.

Si hf |fi = 0, en notant 0 = a0 < a1 <· · · < ap = 2π les éventuels points de discontinuité de f, on a :

0 = Z _2π

0

(f(t))²dt = Xp−1

k=0

Z _ak+1

ak

(f(t))²dt

donc

Z _ak+1

ak

(f(t))²dt = 0 pour tout k et f est nulle sur ]a_k, a_k+1[ puisque f² est continue positive. On a alors :

f¡ a⁻_k¢

= lim_x→a

x<akk

f(x) = 0 et f¡ a⁺_k¢

= lim_x→a

x>akk

f(x) = 0

et f(a_k) = f¡ a⁻_k¢

+f¡ a⁺_k¢

2 = 0. La fonction f est donc nulle sur [0,2π] et sur R par 2π- périodicité.

L’application h· | ·iest donc définie et c’est un produit scalaire sur D.

Définition 18.2 Soit k un entier naturel.

On dit qu’une fonction 2π-périodique,f :R→R, est de classe C^k par morceaux s’il existe une subdivision de [0,2π] :

0 =a0 < a1 <· · ·< ap = 2π

avec p∈N^∗,telle que la restriction de f à chaque intervalle ]ai, ai+1[ se prolonge par continuité en une fonction de classe C^k sur [a_i, a_i+1] (0≤i≤n−1).

Avec les notations de la définition qui précède, si f :R→R, est 2π-périodique et de classe C¹ par morceaux, elle est alors de classe C¹ sur [0,2π]\ {a₀, a₁,· · · , a_p} et en chacun des points a_k,la fonctionf admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche non nécessairement égales.

On notera respectivement : f_g⁰(a_k) = lim_x→a

x<akk

f(x)−f¡ a⁻_k¢

x−a_k et f_d⁰ (a_k) = lim_x→a

x>akk

f(x)−f¡ a⁺_k¢ x−a_k la dérivée à gauche et à droite en ak.

Le théorème des accroissements finis nous dit que : f_g⁰(a_k) = lim_x→a

x<akk

f⁰(x) = f⁰¡ a⁻_k¢

etf_d⁰(a_k) = lim_x→a

x>akk

f⁰(x) = f⁰¡ a⁺_k¢

La fonction f⁰ sera considérée comme un élément de D en posant, pour chaque ak : f⁰(a_k) = f⁰¡

a⁻_k¢ +f⁰¡

a⁺_k¢ 2

Par dérivée d’une fonction f : R → R, qui est 2π-périodique et de classe C¹ par morceaux nous entendrons ce prolongement.

De manière plus générale, pour k ≥ 1, si f est de classe C^k par morceaux, elle est alors de classe C^k sur [0,2π] éventuellement privé d’un nombre fini de points {a0, a1,· · · , ap} et sa dérivée est une fonction de classe C^k−1 par morceaux.

18.3 Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D

Pour tout entier naturel n, on note P_n l’ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions de R dans R la forme :

P :x7→a₀+ Xn

k=1

(a_kcos (kx) +b_ksin (kx))

Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D 417 où les coefficients a_k etb_k sont des réels.

On vérifie facilement que P_n est un sous-espace vectoriel deDde dimension2n+ 1engendré par la famille {ck|0≤k ≤n} ∪ {sk |1≤k ≤n}, où on a noté :

ck :x7→cos (kx) pour k≥0 etsk:x7→sin (kx) pourk ≥1

En effet, cette famille est génératrice, formée de fonctions non nulles et orthogonale pour le produit scalaire défini sur D, elle est donc libre (voir le cours d’algèbre).

On note P = [

n∈N

P_n l’espace de tous les polynômes trigonométriques.

C’est un sous-espace vectoriel de D de base orthogonale : {ck|k ∈N} ∪ {sk |k∈N^∗} Avec :

kc₀k² = Z _2π

0

dt= 2π et pour n ≥1:

kc_nk² = Z _2π

0

cos²(nt)dt=ks_nk² = Z _2π

0

sin²(nt)dt =π (voir le cours d’algèbre) on déduit que la famille de fonctions :

B=

½ 1

√2πc0

¾

∪

½ 1

√πcn, 1

√πsm |(n, m)∈N^∗×N^∗

¾

est une base orthonormée de P et pour toutn ≥0 : B_n =

½ 1

√2πc₀

¾

∪

½ 1

√πc_k, 1

√πs_k |1≤k ≤n

¾

est une base orthonormée de Pn.

Exercice 18.4 Montrer que pour tout entier naturel n les fonctions : t7→(cos (t))ⁿ et t 7→(sin (t))ⁿ

sont des polynômes trigonométriques.

Solution 18.5 Pour n= 0 etn = 1, c’est évident. En supposant le résultat acquis pour n≥1, on a :

(cos (t))ⁿ⁺¹ = (cos (t))ⁿcos (t)

= Ã

a₀+ Xm

k=1

(a_kcos (kt) +b_ksin (kt))

! cos (t)

=a₀cos (t) + Xm

k=1

(a_kcos (kt) cos (t) +b_ksin (kt) cos (t)) avec :

cos (kt) cos (t) = cos ((k+ 1)t) + cos ((k−1)t)

2 ∈ P

et :

sin (kt) cos (t) = sin ((k+ 1)t) + sin ((k−1)t)

2 ∈ P

pour k ≥1, ce qui entraîne (cos (t))ⁿ⁺¹ ∈ P. On procède de même pour (sin (t))ⁿ.

On peut aussi utiliser les exponentielles complexes et la formule du binôme pour écrire : (cos (t))ⁿ= (e^it+e^−it)ⁿ

2ⁿ = 1

2ⁿ Xn

k=0

C_n^ke^ikte^−i(n−k)t

= 1 2ⁿ

Xn

k=0

C_n^ke^i(2k−n)t

et :

(cos (t))ⁿ =<

à 1 2ⁿ

Xn

k=0

C_n^ke^i(2k−n)t

!

= Xn

k=0

C_n^k

2ⁿ cos ((2k−n)t)∈ Pn

On rappelle que pour toute fonction f ∈ D, la projection orthogonale de f sur Pn, pour n ≥0fixé, est le polynôme trigonométrique S_n(f)défini par :

½ S_n(f)∈ P_n f−Sn(f)∈ P_n^⊥

Son expression dans la base orthonormée Bn est donnée par :

Sn(f) =

¿

f | √c0

2π À√c0

2π + Xn

k=1

¿ f | √ck

π À√ck

π + Xn

k=1

¿ f | √sk

π À√sk

π

= 1

2π hf |c₀ic₀+ 1 π

Xn

k=1

hf |c_kic_k+ 1 π

Xn

k=1

hf |s_kis_k

Soit, pour tout réel x :

S_n(f) (x) = a₀(f)

2 +

Xn

k=1

a_k(f) cos (kx) + Xn

k=1

b_k(f) sin (kx) où on a noté, pour tout entier naturel k :

a_k(f) = 1 π

Z _2π

0

f(t) cos (kt)dt et b_k(f) = 1 π

Z _2π

0

f(t) sin (kt)dt (18.1) Définition 18.3 Avec les notations qui précèdent, on dit les réels a_k(f) pour k ∈N et b_k(f) pour k ∈ N^∗, sont les coefficients de Fourier trigonométriques de la fonction f et la série de fonctions :

a₀(f)

2 +X

(a_n(f) cos (nx) +b_n(f) sin (nx)) est la série de Fourier de la fonction f.

Remarque 18.5 Les applications a_n et b_n sont des formes linéaires sur D.

De manière plus générale, on donne la définition suivante.

Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D 419 Définition 18.4 On appelle série trigonométrique toute série de fonctions de la forme :

X(a_ncos (nx) +b_nsin (nx)) où (an)_n∈N et (bn)_n∈N sont des suites réelles ou complexes.

Remarque 18.6 Dans le cas où f est un polynôme trigonométrique, on a S_n(f) = f pour n assez grand et la série de Fourier de f converge vers f en tout point x∈R.

Remarque 18.7 De manière plus générale, on peut définir les coefficients de Fourier trigo- nométriques d’une fonction f : R → C qui est 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment par les formules (18.1).

Le résultat qui suit est élémentaire, mais utile pour le calcul des coefficients de Fourier des fonctions paires ou impaires.

Lemme 18.2 Si f ∈ D est paire, on a alors bn(f) = 0 pour tout n ∈N^∗ et :

∀n∈N, a_n(f) = 2 π

Z _π

0

f(t) cos (nt)dt Si f ∈ D est impaire, on a alors an(f) = 0 pour tout n ∈N et :

∀n ∈N^∗, b_n(f) = 2 π

Z _π

0

f(t) sin (nt)dt

Démonstration. Résulte immédiatement du lemme 18.1 et du fait que la fonction t 7→

f(t) cos (nt) est paire [resp. impaire] et la fonction t 7→ f(t) sin (nt) est impaire [resp. paire]

pour f paire [resp. impaire].

Nous verrons plus loin que la réciproque du résultat précédent est vraie, c’est-à-dire que si f ∈ D est telle que b_n(f) = 0 pour tout n ∈N^∗ [resp. a_n(f) = 0 pour tout n∈ N] alors f est paire [resp. impaire] (exercice 18.9).

Il sera parfois commode d’utiliser les coefficients de Fourier exponentiels de f ∈ D (ou plus généralement de f : R → C, 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment) définis pour n∈Z par :

c_n(f) = 1 2π

Z _2π

0

f(t)e^−intdt On a alors c₀(f) = a₀(f)

2 :

∀n∈N^∗,



















c_n(f) = an(f)−ibn(f) 2

c−n(f) = a_n(f) +ib_n(f) 2

a_n(f) =c_−n(f) +c_n(f) bn(f) =i(cn(f)−c−n(f))

et :

S_n(f) (x) = a0(f)

2 +

Xn

k=1

a_k(f) cos (kx) + Xn

k=1

b_k(f) sin (kx)

=c₀(f) + Xn

k=1

(c_−k(f) +c_k(f)) cos (kx) +i Xn

k=1

(c_k(f)−c_−k(f)) sin (kx)

=c₀(f) + Xn

k=1

c_k(f)e^ikx+ Xn

k=1

c_−k(f)e^−ikx

= Xn

k=−n

ck(f)e^ikx

Remarque 18.8 Pour toute fonction f : R→ C qui est 2π-périodique et Riemann-intégrable sur tout segment, les suites (a_n(f))_n≥0, (b_n(f))_n≥1 et (c_n(f))_n≥0 sont bornées. En effet, la fonction |f| est Riemann-intégrable sur [0,2π] et on a pour tout n∈Z :

|c_n(f)|= 1 2π

¯¯

¯¯ Z _2π

0

f(t)e^−intdt

¯¯

¯¯≤ 1 2π

Z _2π

0

|f(t)|dt ce qui donne pour tout n ∈N :

|a_n(f)| ≤ |c_−n(f)|+|c_n(f)| ≤ 1 π

Z _2π

0

|f(t)|dt et pareil pour b_n(f).

Exercice 18.5 Soitf ∈ Detg ∈ Ddéfinie parg(x) =f(x+a)oùaest un réel fixé. Exprimer les coefficients de Fourier de g en fonction de ceux de f.

Solution 18.6 Pour n ∈Z, on a : c_n(g) = 1

2π Z _2π

0

g(t)e^−intdt= 1 2π

Z _2π

0

f(t+a)e^−intdt

= 1 2π

Z _a+2π

a

f(x)e^−in(x−a)dt=e^ina 1 2π

Z _2π

0

f(x)e^−inxdt

=e^inac_n(f) Il en résulte que :

a_n(g) =c_−n(g) +c_n(g) = e^−inac_−n(f) +e^inac_n(f)

=e^−inaa_n(f) +ib_n(f)

2 +e^inaa_n(f)−ib_n(f) 2

= e^ina+e^−ina

2 a_n(f) + e^ina−e^−ina 2i b_n(f)

= cos (na)a_n(f) + sin (na)b_n(f) et :

b_n(g) =i(c_n(g)−c_−n(g)) = i¡

e^inac_n(f)−e^−inac_−n(f)¢

=i µ

e^inaan(f)−ibn(f)

2 −e^−inaan(f) +ibn(f) 2

¶

= e^ina+e^−ina

2 b_n(f)−e^ina−e^−ina 2i a_n(f)

= cos (na)b_n(f)−sin (na)a_n(f)

Polynômes trigonométriques et séries de Fourier sur D 421

Ce qui peut aussi se vérifier avec : a_n(g) = 1

π Z _2π

0

f(t+a) cos (nt)dt= 1 π

Z _2π

0

f(x) cos (n(x−a))dt

= 1 π

µ

cos (na) Z _2π

0

f(x) cos (nx)dt+ sin (na) Z _2π

0

f(x) sin (nx)dt

¶

= cos (na)a_n(f) + sin (na)b_n(f) et :

bn(g) = 1 π

Z _2π

0

f(t+a) sin (nt)dt= 1 π

Z _2π

0

f(x) sin (n(x−a))dt

= 1 π

µ

cos (na) Z _2π

0

f(x) sin (nx)dt−sin (na) Z _2π

0

f(x) cos (nx)dt

¶

= cos (na)b_n(f)−sin (na)a_n(f)

Exercice 18.6 Soit f ∈ D continue et de classe C¹ par morceaux. Montrer que :

∀n∈Z^∗, c_n(f) = c_n(f⁰) in

∀n ∈N^∗, a_n(f) =−b_n(f⁰)

n et b_n(f) = a_n(f⁰) n

Solution 18.7 Si f ∈ D est de classe C¹ par morceaux, il existe alors une subdivision de [0,2π] :

0 =a₀ < a₁ <· · ·< a_p = 2π

telle que la restriction de f à chaque intervalle]a_k, a_k+1[ se prolonge par continuité en fonction de classe C¹ sur [a_k, a_k+1] et on a, pour tout n ∈Z^∗ :

cn(f) = 1 2π

Z _2π

0

f(t)e^−intdt= 1 2π

Xp−1

k=0

Z _ak+1

ak

f(t)e^−intdt et comme f est de classe C¹ sur [a_k, a_k+1], une intégration par parties donne :

Z _ak+1

ak

f(t)e^−intdt =

·

if(t)e^−int n

¸_ak+1

ak

− i n

Z _ak+1

ak

f⁰(t)e^−intdt

=if¡ a⁻_a+1¢

e^−inak+1−f¡ a⁺_k¢

e^−inak

n − i

n Z _ak+1

ak

f⁰(t)e^−intdt Si on suppose de plus que f est continue sur R, on a alors f¡

a⁻_k¢

=f¡ a⁺_k¢

=f(a_k) pour tout k compris entre 0 et p et :

2πcn(f) = i n

Xp−1

k=0

¡f(ak+1)e^−inak+1 −f(ak)e^−inak¢

− i n

Xp−1

k=0

Z _ak+1

ak

f⁰(t)e^−intdt

=−i n

Xp−1

k=0

Z _ak+1

ak

f⁰(t)e^−intdt= 1 in

Z _2π

0

f⁰(t)e^−intdt

puisque f est 2π-périodique et c_n(f) = cn(f⁰) in . Il en résulte que :









a_n(f) =c_−n(f) +c_n(f) = cn(f⁰)−c−n(f⁰)

in =−bn(f⁰) n bn(f) = i(cn(f)−c−n(f)) = c−n(f⁰) +cn(f⁰)

n = an(f⁰) n

Remarque 18.9 Avec les notations et hypothèses de l’exercice précédent, on a : c₀(f⁰) = 1

2π Z _2π

0

f⁰(t)dt= 0

puisque f est 2π-périodique. Donc la relation cn(f⁰) = incn(f) est valable pour tout n∈Z.

18.4 L’inégalité de Bessel

On rappelle que la projection orthogonale S_n(f) de f ∈ D sur P_n est aussi la meilleure approximation de f (pour la distance induite par le produit scalaire que nous avons défini sur D) par un polynôme trigonométrique de degré au plus égal àn, c’est à dire que :

kf −Sn(f)k= inf

P∈Pn

kf−Pk Du théorème de Pythagore, on déduit que :

kfk² =k(f−S_n(f)) +S_n(f)k² =kf −S_n(f)k²+kS_n(f)k² ce qui donne l’inégalité de Bessel :

kS_n(f)k² ≤ kfk² et en tenant compte de :

kSn(f)k² =

¿

f | c₀

√2π À₂

+ Xn

k=1

¿ f | ck

√π À₂

+ Xn

k=1

¿ f | sk

√π À₂

= 1

2πhf |c₀i²+ 1 π

Xn

k=1

hf |cki²+ 1 π

Xn

k=1

hf |ski²

=π

Ãa²₀(f)

2 +

Xn

k=1

¡a²_k(f) +b²_k(f)¢!

cela s’écrit :

a²₀(f)

2 +

Xn

k=1

¡a²_k(f) +b²_k(f)¢

≤ 1 π

Z _2π

0

f²(t)dt On en déduit alors le résultat suivant.

Théorème 18.4 (Bessel) Pour toute fonction f ∈ D, la série numérique a²₀(f)

2 +P

(a²_n(f) +b²_n(f))est convergente et on a : a²₀(f)

2 +

X+∞

n=1

¡a²_n(f) +b²_n(f)¢

≤ 1 π

Z _2π

0

f²(t)dt

L’inégalité de Bessel 423 Nous verrons un peu plus loin qu’on a en fait l’égalité (théorème de Parseval).

Avec :

|c_±n(f)|² ≤

µ|a_n(f)|+|b_n(f)|

2

¶₂

≤ |a_n(f)|²+|b_n(f)|² 2

on déduit que les séries P

|c±n(f)|² sont convergentes.

Remarque 18.10 Du théorème de Bessel, on déduit que la suite(kf −S_n(f)k)_n∈N est conver- gente avec :

n→+∞lim kf −S_n(f)k² =kfk²− lim

n→+∞kS_n(f)k²

=kfk²−π

Ãa²₀(f)

2 +

X+∞

n=1

¡a²_n(f) +b²_n(f)¢!

Avec le théorème de Parseval, nous verrons que cette limite est nulle, ce qui signifie que la suite (Sn(f))_n∈N est convergente dans l’espace normé (D,k·k), mais cela ne signifie pas qu’il y a convergence simple de la série de Fourier.

Remarque 18.11 On peut aussi remarquer que la suite (kf −S_n(f)k)_n∈N est décroissante minorée par 0, donc convergente. En effet, pour n ≥ 1, on a Sn(f) ∈ Pn+1 et considérant que S_n+1(f) est la meilleure approximation de f dans P_n+1, on a :

kf−S_n+1(f)k ≤ kf−S_n(f)k De l’inégalité de Bessel, on déduit le résultat suivant.

Corollaire 18.1 (Riemann-Lebesgue) Pour toute fonction f ∈ D, on a :

n→+∞lim an(f) = lim

n→+∞bn(f) = 0 et :

|n|→+∞lim c_n(f) = 0 Démonstration.Les sériesP

a²_n(f)etP

b²_n(f)étant convergentes, leur terme général tend vers 0 et avec :

|c_±n(f)| ≤ |a_n(f)|+|b_n(f)|

2 on déduit que lim

|n|→+∞c_n(f) = 0.

Exercice 18.7 Montrer que la série trigonométrique Psin (nx)

√n est convergente sur R, mais qu’elle ne peut être la série de Fourier d’une fonction f ∈ D.

Solution 18.8 Le théorème d’Abel nous assure la convergence de la série trigonométrique pour tout x∈R\2πZ (théorème 6.25) et pour x∈2πZ cette série est nulle.

Si cette série est la série de Fourier d’une fonction f ∈ D, cela signifie que a_n(f) = 0 pour tout n ≥ 0, b_n(f) = 1

√n pour tout n ≥ 1 et le théorème de Bessel nous dit que la série P(b_n(f))² =P1

n est convergente, ce qui n’est pas.

On peut en fait remplacer la suite µ 1

√n

¶

n≥1

par n’importe quelle suite réelle (un)_n∈N qui tend vers 0 en décroissant et telle que P

u²_n= +∞.