1 Séries de Fourier

(1)

Chapitre 4:

Transformée de Fourier,

un outil de résolution pour les EDP linéaires

1 Séries de Fourier 1

1.1 Dénition des coecients de Fourier . . . 1 1.2 Séries de Fourier : dénition et résultats principaux 2 2 Construction historique des séries de Fourier 3 2.1 Équation de la chaleur 1D sur un domaine borné . 3 2.2 Propriétés de la solution de l'équation de la cha-

leur : principe du maximum, estimations, unicité . 4 2.3 Des séries de Fourier à la transformée de Fourier . 5

3 Transformée de Fourier 6

3.1 Dénitions et propriétés . . . 6 3.2 Extension de la théorie au cadreL². . . 9 3.3 Produit de convolution. . . 11 3.4 Transformation de Fourier en dimensiond >1. . . 11

1 Séries de Fourier

Soit u une fonction 2`-périodique, dénie sur un intervalle ]−`,+`[ (et donc sur R par périodicité). On veut savoir dans quelle mesure il est possible d'écrire u sous la forme d'une somme innie de termes en sin et cos (dite série trigonométrique) à l'instar de la décomposition sur une base orthonormée dans un espace euclidien.

On utilisera dans la suite le produit scalaire surL²(−`, `) hf, gi_L2(−`,`)= 1

2`

Z `

−`

f(x)g(x) dx.

1.1 Dénition des coecients de Fourier

Dénition 1.1 (Série trigonométrique). Une fonctionu dénie sur ]−`,+`[ est appelée série trigonométrique si elle s'écrit sous la forme

u(x) =

+∞

X

n=0

A_n cosnπ x

`

+B_n sinnπ x

`

, x∈]−`,+`[.

Dénition 1.2 (Coecients de Fourier). Les coecients de Fourier de u, fonction2`-périodique, sont dénis par a0:= 1

2`

Z +`

−`

u(x) dx, an:= 1

` Z +`

−`

u(x) cosnπ x

`

dx, n>1,

bn:= 1

` Z +`

−`

u(x) sinnπ x

`

dx, n>1.

(2)

On peut aussi dénir les coecients de Fourier complexes par

∀n∈Z, cn:= 1 2`

Z +`

−`

u(x)e^−inπ^x^` dx=hen, ui_L2(−`,`)

avec e_n(x) = exp ^inπx_` .

Proposition 1.1 (Relations entre coecients de Fourier complexes et réels).

c_n = 1 2`

"

Z +`

−`

u(x) cosnπ x

`

dx−i Z +`

−`

u(x) sinnπ x

` dx

# ,

d'oùc0=a0 et, pourn>1 cn= 1

2(an−ibn), c_−n= 1

2(an+ibn) ou, de manière équivalente, an=cn+c_−n, bn=i(cn−c_−n).

Proposition 1.2 (Propriétés des coecients).

• Si uest paire, alors : a0=1

` Z +`

0

u(x) dx, et ∀n>1, bn = 0, an= 2

` Z +`

0

u(x) cosnπ x

`

dx.

• Si uest impaire, alors :

∀n>0, an= 0 et ∀n>1, bn =2

` Z +`

0

u(x) sinnπ x

`

dx.

1.2 Séries de Fourier : dénition et résultats principaux

Dénition 1.3 (FonctionC^K par morceaux). Soit K∈N. Une fonction udénie sur]a, b[ est dite de classe C^K par morceaux sur]a, b[ s'il existe un entierN etN pointsa < x1< ... < xN < b tels que

• uest de classeC^K sur otut intervalle]xj, xj+1[;

• |u^(k)(x^±_j)|:= lim

ε→0|u^(k)(xj±ε)|<+∞,∀j= 1, ..., N,∀k= 1, ..., K.

Dénition 1.4 (Série de Fourier). La série de Fourier deuest la série trigonométrique dénie par

S_[u](x) :=a0+

+∞

X

n=1

an cosnπ x

`

+bn sinnπ x

`

=X

n∈Z

cne^inπ^x^`

où lesan,bn etcn sont les coecients de Fourier (réels ou complexes) de uintroduits dans la dénition1.2.

Question. Quel est le lien entreuetS_[u]?

Théorème 1.1 (Jordan-Dirichlet). Siuest de classeC¹ par morceaux et2`-périodique, alors S_[u](x) =1

2 u(x⁺) +u(x⁻) .

Siuest de plus continue, alors la série de Fourier deuconverge uniformément versusur R.

Théorème 1.2 (Identité de Parseval). Siuest continue par morceaux et 2`-périodique, on a alors 1

2`

Z +`

−`

|u(x)|² dx=a²₀+1 2

+∞

X

n=1

(a²_n+b²_n) =X

n∈Z

|cn|².

(3)

Démonstration. Cette égalité se démontre facilement dans le cas régulier où l'on peut permuter sommes et intégrales.

Z +`

−`

u(x)u(x) dx= Z +`

−`

u(x)

+∞

X

n=0

a_n cosnπ x

`

+b_n sinnπ x

`

dx

=

+∞

X

n=0

an

Z +`

−`

u(x) cosnπ x

`

+bn

Z +`

−`

u(x) sinnπ x

`

!

= 2` a²₀+`

+∞

X

n=1

(a²_n+b²_n).

2 Construction historique des séries de Fourier

2.1 Équation de la chaleur 1D sur un domaine borné

Historiquement, on a utilisé les coecients de Fourier pour résoudre l'équation de la chaleur :







∂tu(t, x) =α∂xxu(t, x), t >0, x∈]0, `[, u(t,0) =u(t, `) = 0, t >0

u(0, x) =u0(x), x∈]0, `[

avec la relationu₀(0) =u₀(`) = 0qui assure la compatibilité de la condition initiale et des conditions aux limites. Pour résoudre cette EDP, on peut utiliser la méthode de séparation des variables, i.e. chercher la solution sous la forme

u(t, x) =ϕ(x)ψ(t), ϕ∈C⁰(0, `), ψ∈C¹(0,+∞).

On a alors :∀(t, x),ϕ(x)ψ⁰(t) =αϕ⁰⁰(x)ψ(t). Siϕetψ ne s'annulent en aucun point, on en déduit ψ⁰(t)

α ψ(t) =ϕ⁰⁰(x) ϕ(x) =C,

oùCest une constante (qui ne dépend donc ni de xni de t). La résolution s'eectue en trois étapes :

¬ Équation en espace. L'équation que l'on considère dans un premier temps est ϕ⁰⁰(x)−Cϕ(x) = 0

assortie des conditions aux limitesϕ(0) =ϕ(`) = 0(seul choix compatible avec les conditions aux limitesu(t,0) = u(t, `) = 0pour toutt >0).

• Si on choisitC=λ², on obtient

ϕ(x) =A e^+λx+B e^−λx, et les conditions aux limites imposent nécessairementA=B= 0.

• Si on choisitC=−λ², on obtient

ϕ(x) =A cos (λx) +B sin (λx).

La conditionϕ(0) = 0impose A= 0, alors que la conditionϕ(`) = 0entraîneB sin(λ`) = 0, ce qui autorise le choix

λ=λ_n= nπ

` , n>1.

On a alors les solutions

ϕn(x) =Bn sin (λnx).

Équation en temps. L'équation que l'on considère dans un deuxième temps est alors ψ⁰(t) =−α λ²_nψ(t),

ce qui fournit les solutions

ψn(t) =Cne^−αλ²ⁿ^t.

(4)

® Retour sur la condition initiale. On a obtenu, par les deux étapes précédentes, la classe de solutions un(t, x) =Bne^−αλ²ⁿ^t sin (λnx).

Il reste à vérier la condition initialeu(0,·) =u0. On remarque que siu0 est de la forme

u0(x) =

N

X

n=1

βn sin (λnx),

un argument de superposition (dû à la linéarité de l'équation) permet de voir que la solution recherchée s'écrit

u(t, x) =

N

X

n=1

β_ne^−αλ²ⁿ^tsin (λ_nx).

Si à présentu0est quelconque, on peut chercher formellement une solution de la forme

u(t, x) =

+∞

X

n=1

un(t, x) =

+∞

X

n=1

Bne^−αλ²ⁿ ^tsin (λnx).

Pour vérier la donnée initiale, la famille(B_n)_n_>₁doit être telle que

u(0, x) =

+∞

X

n=1

Bn sin (λnx) =u0(x), ∀x∈]0, `[.

Il faut donc écrireu₀, fonction nulle en0 et `, comme série de sinus. Si l'on introduit U₀ comme le prolongement impair 2`-périodique de u₀ àR, alors commeu₀ est de classeCpm¹ ∩C⁰ on a le développement en série de Fourier

U₀(x) =

+∞

X

n=1

B_n sinnπ

` x

, B_n=2

` Z `

0

u₀(y) sin (λ_ny) dy

Finalement, la solution du problème de la chaleur s'écrit :

u(t, x) =

+∞

X

n=1

2

` Z `

0

u0(y) sinnπ

` y dy

!

e^−α^(nπ/L)²^tsinnπ

` x .

2.2 Propriétés de la solution de l'équation de la chaleur : principe du maximum, esti- mations, unicité

Une propriété essentielle de l'équation de la chaleur posée sur un segment (sur un espace borné, plus généralement) est le principe du maximum. SoitT >0.

Proposition 2.1. La solution de l'équation de la chaleur vérie max

[0,T]×[0,L]u= max

Λ u

oùΛ :=

{0} ×[0, `] ∪

]0, T]× {0} ∪

]0, T]× {`} .

Ainsi, la valeur maximale de la solution n'est atteinte qu'en des points du bord, i.e. ne provient que de la condition initiale ou des conditions de bord. Physiquement, ce résultat traduit le fait qu'en absence de source de chaleur, la température ne peut spontanément se focaliser en un point intérieur du domaine. En considérant−uau lieu deu, on vérie de même le principe du minimum

min

[0,T]×[0,`]u= min

Λ u.

(5)

Théorème 2.1 (Estimations).

i. Siu0∈L^∞(0, `), alors on a pour toutt>0,

ku(t,·)k_L^∞_(0,`)6ku0k_L^∞_(0,`).

ii. Si u₀∈L¹(0, `), il existe une constanteC telle que l'on a, pour toutt >0, ku(t,·)k_L^∞_(0,`)6 C

√t.

iii. Si u0∈L²(0, `), il existe une constanteC telle que l'on a, pour toutt >0, ku(t,·)k_L2(0,`)6ku0k_L2(0,`). Théorème 2.2 (Unicité). La solution de l'équation de la chaleur est unique.

Démonstration. Soientu1etu2deux solutions de l'équation de la chaleur associées à la même donnée initialeu0. Alors, par linéarité, w := u1−u2 est solution de l'équation de la chaleur associée à la donnée initiale identiquement nulle w0≡0. En vertu du principe du maximum, on a alors

max

[0,T]×[0,`]w= max

Λ w= 0, min

[0,T]×[0,`]w= min

Λ w= 0.

On en déduit quews'annule identiquement sur[0, T]×(0, `), soitu1=u2.

2.3 Des séries de Fourier à la transformée de Fourier

Pour conclure cette section, nous allons voir qu'il est possible d'étendre formellement cette notion au cas où la taille du domaine de périodicité tend vers+∞. Pour cela, on se place dans la version complexe des coecients de Fourier et on pose

F`u(ξ) = Z +`

−`

u(x)e^{−i ξ x}dx, ξ∈R.

L'identitéu(x) =X

n∈Z

cne^inπ^x^` aveccn= 1 2`

Z +`

−`

u(x)e^−inπ^x^` dxse réécrit

u(x) = 1 2`

X

n∈Z

F_`unπ

`

e^inπ^x^` = 1 2π

X

n∈Z

F_`u(ξ_n)e^iξⁿ^x∆ξ_n,

avecξ_n =^nπ_` et∆ξ_n=ξ_n+1−ξ_n =^π_`. On reconnaît ici l'approximation d'une intégrale par une somme de type Riemann (mais innie !). Si`→+∞, alors∆ξ_n →0et le second membre va tendre formellement vers

Z

R

F u(ξ)e^{i ξ x}dξ avec F u(ξ) = Z

R

u(x)e^{−i ξ x}dx.

On obtient alors formellement

u(x) = 1 2π

Z

R

F u(ξ)e^{i ξ x}dξ.

Ceci nous suggère évidemment l'étude de la transformation u7→F u(ξ) =

Z

R

u(x)e^{−i ξ x}dx.

(6)

3 Transformée de Fourier

3.1 Dénitions et propriétés

Dénition 3.1 (Transformée de Fourier). Pouru∈L¹(R), on pose Fu(ξ) = ˆu(ξ) =

Z

R

e^{−i ξ x}u(x) dx, Fu(ξ) =˚ 1 2π

Z

R

e^{i ξ x}u(x) dx.

La fonctionuˆ est appelée transformée de Fourier deu; il est clair que siu∈L¹(R), alorsuˆ∈L^∞(R):

∀ξ∈R, |ˆu(ξ)|= Z

R

e^{−i x ξ}u(x) dx 6

Z

R

|u(x)|dx=kukL¹(R).

Les théorèmes classiques de continuité d'intégrales généralisées dépendant d'un paramètre permettent aussi de démontrer que uˆ ∈ C⁰(R). Hélas, on ne dispose pas de l'inclusion FL¹ ⊂ L¹! Il est commode de travailler avec des espaces fonctionnels qui restent invariants sous l'action de l'opérateur déni par la transformée de Fourier. A cet eet, on travaillera souvent avec l'espace des fonctions inniment régulières et à décroissance rapide.

Dénition 3.2 (Espace fonctionnelS(R)). On dénitS(R)par S(R) =

u∈C^∞(R) : ∀(α, β)∈N², ∃Cαβ>0, ∀x∈R, |x^α∂^βu(x)|6Cαβ .

Exercice 3.1. Les fonctions suivantes appartiennent-elles à l'espaceS(R)?

x7→e^−x², x7→e^−|x|, x7→(1 +x²)⁻¹, x7→1_]a,b[(x).

Correction de l'exercice 3.1.

• f :x7→e^−x² ∈ S(R). On peut montrer, par récurrence, que la fonction est de classeC^∞ : f⁽⁰⁾(x) =e^−x², f⁽¹⁾(x) =−2xe^−x², f⁽²⁾(x) =−2(1−2x²)e^−x², ...

et, par récurrence,

f⁽ⁿ⁾(x) =Pn(x)e^−x²

oùPn est un polynôme de degrén. Par ailleurs, la décroissance rapide est assurée par le comportement en+∞de x7→e^−x². En particulier, pour toutα∈N etβ ∈N, le polynôme Qα,β :=x7→x^αPβ(x) est de degréα+β. Par suite,

lim

|x|→+∞x^αf^(β)(x) = lim

|x|→+∞Qα,β(x)e^−x² = 0 de sorte que, par continuité, x7→x^αf^(β)(x)est borné.

• x7→e^−|x|∈ S(/ R). En eet, les propriétés de décroissance rapide à l'inni sont garanties mais la fonction n'est pas de classe C¹.

• x 7→ (1 +x²)⁻¹ ∈ S(/ R). En eet, la fonction est de classe C^∞ mais elle n'est pas à décroissance rapide : par exemple, en prenant α= 3,β= 0,x7→x³f⁽⁰⁾(x)n'est pas bornée.

• x 7→ 1_]a,b[(x) ∈ S/ (R) car la fonction n'est pas continue (en a et b) ; notons qu'elle possède des propriétés de décroissance rapide en ±∞car elle est à support compact...

Proposition 3.1 (Invariance deS(R)parF). Si u∈ S(R), alors Fu∈ S(R)etu= ˚F Fu. Dans ce cas, on utilisera la notationF⁻¹= ˚F.

Démonstration. Ce résultat repose sur les théorèmes de continuité et de dérivabilité de fonctions dénies par des intégrales dépendant d'un paramètre.

Un des avantages de la transformée de Fourier est de transformer la dérivation en multiplication :

(7)

Proposition 3.2 (Transformation et dérivation (1)). Soitu∈ S(R),α∈N. Alors

∀ξ∈R, ∂d^αu(ξ) = (iξ)^αu(ξ).ˆ

Démonstration. À l'aide d'une intégration par parties réitérée,

∂d^αu(ξ) = Z

R

e^{−i x ξ}∂^αu(x) dx= Z

R

(iξ)^αe^{−i x ξ}u(x) dx= (iξ)^αu(ξ).ˆ

Proposition 3.3. Siu, v∈ S(R), alors Z

R

ˆ

u(x)v(x) dx= Z

R

u(ξ) ˆv(ξ) dξ.

Démonstration. Le calcul suivant permet de démontrer le résultat : Z

R

ˆ

u(x)v(x) dx= Z

R

Z

R

e^{−i x ξ}u(ξ) dξ

v(x) dx= Z

R

Z

R

e^{−i x ξ}u(ξ)v(x) dxdξ

= Z

R

Z

R

e^{−i x ξ}v(x) dx

u(ξ) dξ= Z

R

u(ξ) ˆv(ξ) dξ.

Corollaire 3.1. Siu, v ∈ S(R), alors Z

R

ˆ

u(ξ) ˆv(ξ) dξ= 2π Z

R

u(x)v(x) dx.

Démonstration. On peut utiliser la proposition précédente. Pour cela, on établit quelques résultats :

• Étape 1. D'après la dénition même, on a :F⁻¹u(x) = (2π)⁻¹Fu(−x), ce qui impliqueF F⁻¹u(x) = (2π)⁻¹F Fu(−x), ou encore,

F Fu(x) = 2π u(−x).

• Étape 2. On choisitu(ξ) = ˆU(ξ)et v(x) =V(−x). On a I :=

Z

R

ˆ

u(x)v(x) dx= Z

R

bb

U(x)V(−x) dx= 2π Z

R

U(−x)V(−x) dx= 2π Z

R

U(x)V(x) dx.

• Étape 3. En utilisant la proposition précédente, on a aussi : I=

Z

R

Uˆ(ξ) ˆv(ξ) dξ= Z

R

Uˆ(ξ) ˆV(ξ) dξ.

En utilisant les évaluations deI aux étapes 2 et 3, le résultat est démontré.

Corollaire 3.2 (Identité de Parseval). Soitu∈ S(R). On a alors kˆuk²_L2(R)= 2πkuk²_L2(R)

Démonstration. Il sut d'utiliser le corollaire précédent avecu=v.

On voit ici, par l'intermédiaire de l'identité de Parseval, qu'il est tentant d'associer à la transformation de Fourier des fonctions de L²(R). Hélas la transformée de Fourier telle qu'elle a été dénie au début du paragraphe n'a pas de sens pour une fonction deL²(R)... Cette diculté sera surmontée plus loin.

Notons que dans le cas d'une fonction deL²(R), l'inégalité de Cauchy-Schwarz ne donne pas d'indication sur le contrôle deuˆ, puisque l'on a

Z

R

e^{−i x ξ}u(x) dx 6

Z

R

e^{−i x ξ}

2dx ^1/2

| {z }

=+∞

Z

R

|u(x)|²dx ^1/2

| {z }

=kuk_{L2 (R)}

(8)

Proposition 3.4 (Transformation et dérivation (2)). Soitu∈ S(R),α∈N. Alors x7→\x^αu(x) = (i∂ξ)^αˆu.

Démonstration. Le résultat s'obtient par le calcul suivant : x7→\x^αu(x)(ξ) =

Z

R

e^{−i x ξ}x^αu(x) dx=i^α Z

R

(−iξ)^αe^{−i x ξ}u(x) dx

= i^α Z

R

∂_ξ^α

e^{−i x ξ}u(x)

dx= (i ∂ξ)^α Z

R

e^{−i x ξ}u(x) dx

= (i∂ξ)^αu(ξ).ˆ

Exercice 3.2. Déterminer la transformée de Fourier de

x7→1]a,b[(x), x7→e^−|x|, x7→e^−|x|², x7→1_R+(x)e^−x.

Correction de l'exercice 3.2. Les techniques de détermination des transformées de Fourier peuvent être variées, comme le montrent les exemples suivants.

1. Transformée de Fourier de1_]a,b[ :

ˆ u(ξ) =

Z

R

1]a,b[e^{−i x ξ}dx= Z b

a

e^{−i x ξ}dx.

− Si ξ= 0,u(0) =ˆ Z b

a

dx=b−a.

− Si ξ6= 0,u(ξ) =ˆ 1

−iξ

e^{−i b ξ}−e^{−i a ξ}

= i

ξe^{−i(a+b)ξ/2} h

e^i(a−b)ξ/2−e^{−i(a−b)ξ/2}i . Soit :

ˆ

u(ξ) =−2

ξe^{−i(a+b)ξ/2}sin a−b

2 ξ

, ξ6= 0.

2. Transformée de Fourier dee^−|x| : ˆ

u(ξ) = Z

R

e^−|x|e^{−i x ξ}dx= Z 0

−∞

e^x(1−iξ)dx+ Z +∞

0

e^{x(−1−iξ)}dx= 2 1 +ξ².

3. Transformée de Fourier de e^−|x|² : ici, on ne fait pas un calcul direct mais on cherche une équation vériée par la solutionu:

∀x∈R, u⁰(x) + 2x u(x) = 0.

On applique alors la transformée de Fourier à cette fonction,x7→u⁰(x) + 2x u(x), qui est identiquement nulle : u⁰(x) + 2x u(x)(ξ) = 0\

soit, d'après les Propositions3.2et3.4,

iξu(ξ) + 2i ∂ˆ ξu(ξ) = 0,ˆ ou encore ∂ξuˆ+ (ξ/2) ˆu= 0.

Il s'agit alors d'une autre équation diérentielle que l'on résout directement. On a alors ˆ

u(ξ) =C e^−ξ²^/4, avec C= ˆu(0) = Z

R

e^−x²dx=√ π.

On trouve nalement :

ˆ

u(ξ) =√

π e^−ξ²^/4, ξ∈R.

(9)

Remarques 3.1. Pour montrer que

C:=

Z

R

e^−x²dx=√ π,

on peut utiliser un argument qui repose sur l'identité de Parseval. Pour u:x7→e^−x², on a établi que ˆ

u(ξ) =Ce^−ξ²^/4. Or d'après l'identité de Parseval,

kˆuk²_L2(R)= 2πkuk²_L2(R)

soit Z

R

u(x)²dx= 2π Z

R

ˆ u(ξ)²dξ.

On a alors :

Z

R

u(x)²dx = Z

R

e^−2x²dx =

Z

R

e^−x⁰² dx⁰

√2 = 1

√2 Z

R

e^−x⁰²dx⁰, Z

R

ˆ

u(ξ)²dξ = C² Z

R

e⁻^ξ

2

2 dξ = C²

Z

R

e^−ξ⁰²√

2dξ⁰ = C²√ 2

Z

R

e^−ξ⁰²dξ⁰.

Par suite, on obtient

√2π 2

Z

R

e^−x⁰²dx⁰

| {z }

(∗)

=C²√ 2

Z

R

e^−ξ⁰²dξ⁰

| {z }

(∗∗)

et, par égalité de(∗)et(∗∗), on obtient

C=√ π.

Remarques 3.2. Considérons les trois exemples précédents et analysons la régularité et la décroissance de ces fonctions :

−Ex. (i) udécroît très vite à l'inni (support compact)

unon continue uˆ de classeC^∞

ˆ

udécroît lentement à l'inni (en1/ξ)

−Ex. (ii) udécroît très vite à l'inni (en exponentielle) u∈C⁰\C¹

ˆ

ude classeC^∞ ˆ

udécroît lentement à l'inni (en1/ξ²)

−Ex. (iii) udécroît très vite à l'inni (en exponentielle) u∈C^∞

ˆ

ude classeC^∞ ˆ

udécroît vite à l'inni

On comprend donc que S(R) reste invariant parF si on admet queF échange "décroissance à l'inni" et "régularité", et inversement.

3.2 Extension de la théorie au cadre L

²

Nous exposons ici comment il est possible d'étendre la notion de transformée de Fourier au cas des fonctions deL². Théorème 3.1. Siu∈L²(R)∩L¹(R), alors uˆ∈L²(R)et on a l'identité de Parseval

kˆuk_L2(R)=√

2πkuk_L2(R).

Ceci permet de dénir la transformée de Fourier dans L² comme suit : si u∈ L²(R) alors on considère une suiteu_n d'éléments deL²(R)∩L¹(R)convergeant vers udansL²(R). Comme cette suite est de Cauchy dansL², on a

kˆu_p−uˆ_qk_L2(R)=√

2πku_p−u_qk_L2(R)

et la suiteuˆn converge donc par complétude deL²vers un élément que l'on note uˆet que l'on désigne par transformée de Fourier deu. Mais il est incorrect d'écrire que siu∈L², alorsuˆest dénie par

ˆ u(ξ) =

Z

R

e^−ixξu(x) dx

puisque l'intégrale n'a pas de sens a priori lorsqueu∈L²(R).

(10)

−1 1 0

1

−5 5

0 1 2

Figure 1 Graphe des fonctionsx7→1_]a,b[(x)etξ7→2 sin(ξ)/ξ

−4 0 4

0 1

−4 0 4

0 1 2

Figure 2 Graphe des fonctionsx7→e^−|x|et ξ7→ 2 1 +ξ²

−4 0 4

0 1

−4 0 4

0 1 2

Figure 3 Graphe des fonctionsx7→e^−|x|² et ξ7→√

π e^−ξ²^/4

(11)

3.3 Produit de convolution

Nous terminons par une propriété essentielle de la transformée de Fourier vis-à-vis de la convolution. On rappelle pour cela que siuet vsont deux fonctions raisonnables (par exemple dansS(R)) alors on dénit le produit de convolution u∗vpar

u∗v(x) = Z

R

u(y)v(x−y) dy, x∈R. Proposition 3.5. Soientu, v∈ S(R). Alors

ud∗v= ˆuˆv.

Démonstration.

u[∗v(ξ) = Z

R

e^−ixξu∗v(x) dx

= Z

R

e^−ixξ Z

R

u(y)v(x−y) dy

dx

= Z

R

Z

R

e^−ixξu(y)v(x−y) dxdy

= Z

R

e^−iyξu(y) Z

R

e^{−i(x−y)ξ}v(x−y) dx

dy

= Z

R

e^−iyξu(y) Z

R

e^−izξv(z) dz

dy

= Z

R

e^−iyξu(y) dy Z

R

e^−izξv(z) dz

= ˆu(ξ) ˆv(ξ).

Corollaire 3.3. SoientU, V ∈ S(R). Alors

F⁻¹(U V) =F⁻¹(U)∗ F⁻¹(V).

Démonstration. On poseu=F⁻¹(U)etv=F⁻¹(V). La proposition précédente a montré que F F⁻¹(U)∗ F⁻¹(V)

=F F⁻¹(U)F F⁻¹(V) =U V.

En passant à la transformation de Fourier inverse, on en déduit le résultat.

3.4 Transformation de Fourier en dimension d > 1

Il est possible d'étendre toutes les notions précédentes au cas où on se place dans R^d,d >1. Ainsi, la transformée de Fourier deu∈L¹(R^d)est donnée par

u(ξ) =b Z

R^d

e^−ix·ξu(x) dx.

On a évidemmentF S(Rⁿ)⊂ S(R^d)et si u∈ S(R^d) u(x) = 1

(2π)^d Z

R^d

e^+ix·ξbu(ξ)dξ.

Par analogie avec les résultats établis précédemment, pour toutα∈Net pour toutj ∈ {1, ..., d},

∂d_j^αu(ξ) = (iξj)^αbu(ξ), et

x7→\x^α_ju(x) = (i∂ξj)^αu(ξ).b La formule de Parseval s'écrit

kˆuk²_L2(R^d)= (2π)^dkuk²_L2(R^d).

De même qu'en dimension 1, il est possible de dénir la transformée de Fourier dansL²(R^d).

(12)

Exercice 3.3. Montrer que la transformée de Fourier de

x∈R^d7→e^−kxk² est la fonction

ξ∈R^d7→π^d²e⁻^kξk

2 4 .

Correction de l'exercice 3.3. On reprend la démarche adoptée dans le cas 1D. Pour toutj∈ {1, .., d}, la fonction u vérie :

∀x∈R^d, ∂ju(x) + 2xju(x) = 0.

On applique alors la transformée de Fourier à cette fonction,x7→∂ju(x) + 2xju(x), qui est identiquement nulle :

∂ju(x) + 2x\ju(x)(ξ) = 0

soit, d'après les propriétés de transformation de dérivation en produit ou de produit en dérivation, iξjˆu(ξ) + 2i ∂ξ_ju(ξ) = 0,ˆ

ou encore

∂_ξ_ju(ξ) + (ξˆ _j/2) ˆu(ξ) = 0. (3.1)

On cherche la fonctionξ7→u(ξ)ˆ sous la forme d'une séparation de variables, i.e. sous la forme ˆ

u:ξ= (ξ₁, ..., ξ_d)7→

d

Y

j=1

ˆ

u_(j)(ξ_j) = ˆu₍₁₎(ξ₁)·uˆ₍₂₎(ξ₂)·...·uˆ_(d)(ξ_d).

Cette hypothèse de séparation combinée à l'équation (3.1) nous mène à résoudre les équations ˆ

u⁰_(j)(ξj) + (ξj/2) ˆu_(j)(ξj) = 0, j ∈ {1, ..., d}.

En procédant comme dans le cas 1D, on obtient ˆ

u_(j)(ξj) =Cje^−ξ^j²^/4.

Par suite, on obtient, en posantC=

d

Y

j=1

C_j,

ˆ

u(ξ) =C e⁻^P^d^j=1^ξ^j²^/4=Ce^−kξk²^/4,

Il reste alors à déterminer la constanteC. Pour cela, nous allons, comme dans le cas 1D, utiliser un argument qui repose sur l'identité de Parseval :

kˆuk²_L2(R^d)= (2π)^dkuk²_L2(R^d)

soit Z

R^d

u(x)²dx= 2π Z

R^d

ˆ u(ξ)²dξ.

On a alors, par changement de variables¹ Z

R^d

u(x)²dx = Z

R^d

e^−2kxk²dx =

Z

R^d

e^−kx⁰^k²dx⁰

2^d² = 1 2^d²

Z

R^d

e^−kx⁰^k²dx⁰, Z

R^d

ˆ

u(ξ)²dξ = C² Z

R^d

e⁻^kξk

2

2 dξ = C²

Z

R^d

e^−kξ⁰^k²2^d²dξ⁰ = C²2^d² Z

R^d

e^−kξ⁰^k²dξ⁰.

1. En particulier, le changement de variablex⁰=√

2xaboutit à dx⁰= dx⁰₁·dx⁰₂·...·dx⁰_d=√

2 dx1·√

2 dx2·...·√

2 dxd= 2^d²dx.

tandis que le changement de variablesξ⁰=^√^ξ

2 aboutit à

dξ⁰= dξ⁰₁·dξ⁰₂·...·dξ⁰_d= ξ1

√ 2· ξ2

√

2·...· ξ_d

√ 2= dξ

2^d² .

(13)

Par suite, on obtient

(2π)^d 2^d²

Z

R^d

e^−kx⁰^k²dx⁰

| {z }

(∗)

=C²2^d² Z

R^d

e^−kξ⁰^k²dξ⁰

| {z }

(∗∗)

et, par égalité de(∗)et(∗∗), on obtient

C=π^d².