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Im Re () PU I sin " 2 () I 1 " cos # I # U $ U ! ! ! !

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1

RÉGIME SINUSOÏDAL - ADAPTATIONS - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Amélioration du facteur de puissance

1.

• La puissance moyenne est : P = UI cos(φ) et le facteur de puissance est : cos(φ) =

!

P

UI = 0,76.

2.a.

• Le moteur équivaut à une impédance Z en série avec une f.c.e.m. E qui dépend du régime du mo- teur (inconnu) ; le mieux est de chercher un raisonnement général qui ne fasse aucune hypothèse sur ce régime.

• Les conditions nécessaires pour faire fonctionner le moteur ne dépendent que de sa structure in- terne ; pour obtenir un fonctionnement donné, il faut imposer les mêmes conditions avec ou sans adaptation.

2.b.

• En prenant la tension comme référence des phases : u = Um ejωt et i = Im ej(ωt + φ). On veut alors ajouter un condensateur en parallèle, de telle façon que, soumis à la même tension u, et parcouru par un courant i” = jCω u, il donne un courant total iʼ = i + i” = ejωt (Im e + jCω Um) en phase avec u.

• On obtient donc :

Im

(Im e + jCω Um) = (Im sin(φ) + Cω Um) = 0 cʼest-à-dire : C = -

!

Isin

( )

"

#U (en simplifiant par

!

2). Ceci n'est donc possible que dans les cas où sin(φ) < 0, cʼest-à-dire que le courant i doit être en retard par rapport à la tension u (mais un moteur électrique est normalement ainsi, à cause de l'inductance de ses bobinages électromagnétiques).

• Finalement : C =

!

I 1"cos2

( )

#

$U = 113 µF.

◊ remarque : il nʼétait pas du tout évident a priori que le choix de C soit possible indépendamment du régime de fonctionnement du moteur.

2.c.

• Dans ces conditions (partie imaginaire nulle) :

Iʼ = │ = I e + jCω U =

Re

(Im e + jCω Um) = I cos(φ) = 9,1 A.

◊ remarque : la puissance consommée par le moteur est dans ce cas la même : P = UIʼ = UI cos(φ), mais obtenue avec Iʼ < I ; il y a moins de pertes dans les lignes de transport, car le condensateur absorbe de lʼénergie pendant une partie de la période où le moteur nʼest pas à même de lʼabsorber, puis la restitue au bon moment (en moyenne, le condensateur ne consomme pas dʼénergie).

(2)

2

II. Bande passante ; facteur de qualité 1.

• L'impédance complexe est :

Z0 = R + j (Lω -

!

1

C") = R + j S.

• La partie imaginaire S est nulle à la résonance (ω = ω0 =

!

1

LC), elle tend vers -° quand ω → 0 et elle tend vers +° quand ω → °.

• Par suite, le lieu de Z0 est la droite d'abscisse R (parallèle à l'axe imaginaire).

• En suivant l'indication de l'énoncé :

!

1 Z0" 1

2R =

!

2R"

(

R+jS

)

2R#

(

R+jS

)

=

!

1

2R"R#jS R+jS =

!

1 2R.

• Par suite, le lieu de

!

1

Z0 est le cercle centré sur l'axe réel à l'abscisse

!

1

2R et de rayon

!

1 2R.

◊ remarque : les propriétés

!

1 Z0 =

!

1

Z0 et arg

!

1 Z0

"

#$

%

&

' = -arg(Z0) peuvent être associées à deux trans- formations ponctuelles successives dans le plan complexe : une inversion (de pôle O et de puissance 1) suivie d'une symétrie (par rapport à l'axe réel) ; l'inversion transforme la droite précédente en un cercle qui est invariant pour la symétrie, d'où la conclusion immédiate (si on connaît les propriétés de l'inversion).

2.

• Graphiquement, les points représentatifs sont tels que OM =

!

1

R 2, ce qui correspond à des triangles rec- tangles isocèles inscrits dans un demi-cercle.

• Il y a deux tels points, M et M', qui correspondent à : arg(Z0) = ±

!

"

4 et donc : Lω -

!

1

C" = ±R.

• Les solution positives de ces deux équation sont, avec : λ =

!

R 2L : ω1 = -λ +

!

"2+#02 (au point M), ω2 = +λ +

!

"2+#0

2 (au point Mʼ).

3.

• Le facteur de qualité est :

Q

=

!

"0

"2# "1 =

!

"0 2# =

!

1 R

L C.

• Numériquement : ω0 = 104 rad.s-1 ; λ = 50 rad.s-1 ;

ω1 = 9950 rad.s-1 ; ω2 = 10050 rad.s-1 ;

Q

= 100.

(3)

3

B. EXERCICE D’APPROFONDISSEMENT

III. Ondemètre

• La tension aux bornes de la bobine peut s'écrire (si on néglige sa résistance) : u = -

!

d"

dt où Φ est le flux magnétique total dans la bobine : Φ = Φext + Φauto avec Φauto = L i (flux induit dans la bobine par son propre champ). Ceci donne donc : u = -

!

d"ext dt - L

!

di dt.

• Mais on peut écrire u =

!

q

""

C avec i =

!

dq

dt en posant C” = C ou C” = C + Cʼ selon le cas ; par suite, la réponse du circuit correspond à la solution de l'équation : Lq•• +

!

q

""

C ” = - ω Φm cos(ωt) = e(t) qui décrit un circuit LC” soumis à e(t) sinusoïdale.

• Ce modèle est simplifié : il néglige la résistance sans donner aucune indication des conditions ini- tiales... or, en l'absence de résistance, le régime “transitoire” (à la pulsation ω0 =

!

1

LC "") n'est pas amorti, et il garde donc en permanence une importance aussi grande que le régime "sinusoïdal permanent" (à la pulsation ω ≠ ω0).

• En fait, la résistance n'est jamais nulle (il y a au moins quelques ohms pour la bobine) : on réduit cette résistance le plus possible afin de rendre le dispositif plus sensible au champ extérieur, mais il faut conserver une résistance minimum pour que le régime transitoire soit amorti assez vite pour permettre des mesures dans des délais raisonnables.

• L'impédance (complexe) du circuit LC” est : Z = j (Lω -

!

1

""

C #) et le courant est donc : I =

!

E Z ; la tension aux bornes du condensateur est alors : U = ZC” I avec ZC” =

!

1

jC #"" par conséquent : U = E

!

ZC " "

Z =

=

!

E

1"LC $## 2 (en ne considérant que le régime permanent).

• Cette relation est valable en valeurs "maximum" ou "efficaces" complexes ; les multimètres mesurent les valeurs efficaces (réelles), qui correspondent aux modules des représentants complexes : U = E

!

ZC ""

Z =

=

!

E 1"LC $## 2 .

◊ remarque : la quantité (1-LC”ω2) est réelle, mais son signe correspond à l'argument du représentant

complexe et il doit être mis à part.

• Cette relation décrit une résonance "infiniment" aiguë, compte tenu du fait qu'on a négligé la résis- tance du circuit (et en particulier celle de la bobine) ; cette courbe de résonance peut être tracée, pour ω fixé, en fonction de C” :

(4)

4

◊ remarque : c'est “l'absence” de résistance qui donne une résonance tendant vers l'infini ; ceci montre l'intérêt d'une résistance faible :

d'une part le maximum est d'autant plus grand, donc le dispositif "amplifie" l'onde reçue et est plus sensible en amplitude ;

d'autre part la courbe est d'autant plus "aiguë" et, compte tenu des pentes plus grandes, le dispositif est plus sensible aux réglages de C.

• On constate que pour toute valeur C” <

!

2

L"2 on peut trouver une autre valeur de capacité (symé- trique par rapport à

!

1

L"2) donnant la même tension U pour ω fixé.

• Pour le circuit étudié, ceci correspond à chercher la condition (sur ω) pour que les capacités C et C + Cʼ (imposées) soient ainsi conjuguées, c'est-à-dire : |1 - LCω2| = |1 - L.(C + Cʼ)ω2|. D'après le gra- phique, il est clair que dans ce cas les deux capacités correspondent à des signes contraire de (1 - LC”ω2) ; l'équation à résoudre est donc : 1 - LCω2 = -1 + L.(C + Cʼ)ω2 d'où on tire : ω =

!

1 L" C+C #

2

$

%& '

() .

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