1. Écrire sans calcul sous forme trigonométrique les nombres suivants : a 3i ; b 2 et c 1 i.

CONTRÔLE TS.

I.

1. Écrire sans calcul sous forme trigonométrique les nombres suivants : a 3i ; b 2 et c 1 i.

2. Écri re sous form e t ri gonom ét rique d 2(1 i ).

3. Écri re sous form e exponenti ell e e 3

 

  cos  

  7 i sin

 

  7 .

II. Dans cet exercice, les calculs seront détaillés.

Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct ( ^{O , u , v} ) ^.

On pose z 1 3 3 i, z 2 4 3 4 i et z 3 2 i . A, B et C sont les points d affixes respectives z 1 , z 2 et z 3 . 1. Écrire z ₁

z 2

sous forme algébrique

2. Écrire z 1 et z 2 sous forme exponentielle.

3. Écrire z 1

z 2

sous forme exponentielle

4. En déduire la valeur exacte de cos

 

  11

12 puis celle de cos

 

  12 . 5. Donner une mesure de l angle ( OB OA ) .

6. Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que | ^{z 2 i} | ^4.

III. On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct.

A est le point d’affixe 1 et B est le point d’affixe 2+3i. Le but de l’exercice est de déterminer l’affixe du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral direct.

1. Justifier que ar g

 

  z C − z A

z _B − z _A = π

3 et que

 

  z C − z A

z _B − z _A =1 2. En déduire la forme algébrique de z _C − z _A

z B −z A

. 3. En déduire l’affixe de z C .

IV. Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 10−3.

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l’aller et le retour.

Les trois parties sont indépendantes.

Partie A.

Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour 9 fois sur 10. Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70% des cas.

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :

• A : « le client choisit de faire l’aller en bateau »;

• R : « le client choisit de faire le retour en bateau ».

On note p la probabilité de l’événement A.

Une étude a montré que la probabilité que le client utilise deux moyens de transport différents pour l’aller et le retour est 0,31.

On choisit au hasard un client de l’agence.

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Montrer que p=0,65.

3. On choisit au hasard un client qui a fait le retour en train. Déterminer la probabilité qu’il ait fait l’aller en bateau.

4. On choisit au hasard 20 clients de cette agence. On note X la variable aléatoire qui compte le

nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport. On admet que le nombre de clients est

assez grand pour que l’on puisse assimiler l’expérience à un tirage avec remise.

a. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier.

b. Déterminer la probabilité qu’exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents.

c. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins 5 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.

5. Le coût d’un trajet aller ou d’un trajet retour est de 1560€ en bateau; il est de 1200€ en train.

On note Y la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller- retour.

a. Déterminer la loi de probabilité de Y.

b. Calculer l’espérance mathématique de Y. Interpréter le résultat.

Partie B.

Le temps d’attente d’un client lorsqu’il prend le train, exprimé en minutes, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1;20].

1. Quelle est la probabilité d'attendre plus de douze minutes ? 2. Préciser le temps d'attente moyen.

Partie C.

On modélise la durée de vie, en années, d’un moteur de bateau par une variable aléatoire D suit une loi exponentielle de paramètre λ. On sait que P (D 8) 0,3.

1. Donner la valeur exacte de λ.

Pour la sui te, on prendra λ 0,045.

2. Déterminer la probabilité qu’un moteur ait une durée de vie de plus de 10 ans.

3. Déterminer la probabilité qu’un moteur ait une durée de vie d’exactement 9 ans et 3 mois.

4. Déterminer la probabilité qu’un moteur qui a déjà 5 ans dure encore plus de 8 ans.

5. Déterminer la durée de vie moyenne d’un moteur. Arrondir à l’année.