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2021 2 −( 1 + 6i )+ 3i = 0

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Academic year: 2022

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(1)

DM Math expertes

Exercice 1 : Les questions sont indépendantes

1) On considère l'équation à coefficients complexes : (E) : 2z2−(1+6 i)z+3 i=0

a) Démontrer que l'équation (E) admet un unique nombre imaginaire pur comme solution et le déterminer

b) L'équation (E) admet-elle comme solution un nombre réel ? Justifier 2) Déterminer pour quelle valeur de x, le nombre complexe (x−2 i)4 est réel.

3) Résoudre l'équation z2+2z+1=0 Exercice 2 :

1) On considère le polynôme P défini sur ℂ par : P(u)=u4−1

a) Factoriser le polynôme P dans ℂ en produit de facteurs du premiers degré à coefficients complexes

b) En déduire les solutions dans ℂ de l'équation P(u)=0 2) On considère l'équation (E) :

(

1−2z−2z

)

4=1

Résoudre cette équation dans ℂ .

Exercice 3 :

1) a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 20212021 par 9 b) On pose A = 20212021

Démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus 8084 chiffres

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E R R " R R R R " R R 2 3 2 1 3 4 1 4 () () ()+ ()+ () ()+ () I R R .R + R + R .R .R + R + R R .R R R + .R R + + R R + R R R .R + R c 0 1 1 3 2 2 3 4 4 0 1 1 2 2 3 3 4 4 3 4 1 2 ! ! !

◊ remarque : l'inductance est plus grande avec le noyau de fer feuilleté (aimantation induite) ; elle est un peu plus faible avec un noyau de métal non feuilleté (champ magnétique

" L " " " " 1jC 1C R 1jC 1tan + 1 R L R + jL " 0 % ( B B B u u u u u u u v v 1C 0 x y y x y x y 1 2 # L " 0 () () R + R 2 + j.L # $ " () ' * 1C 0 " 2 2 2 R " " .L " " + R " 0 0 2 0 # & ) # $ 0 0 # 0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

• Cette équation étant valable pour tout régime sinusoïdal, elle est aussi valable pour tout régime variable ; on peut par précaution vérifier que le régime

R "## H + R 1 0 2 v s R 2 0 1 v e ! ! ! !

parfaits fonc- tionnant en régime linéaire. L'ensemble, inséré dans un circuit par l'intermédiaire des deux bornes A et B, se comporte comme un dipôle soumis à une tension