exercices théoriques 1. Soit R le rectangle [ − 1, 1] × [0, 2]. Calculer R R

mathématiques - S2

TD 2 : Intégrales multiples - corrigé

exercices théoriques 1. Soit R le rectangle [ − 1, 1] × [0, 2]. Calculer R R

R

x

+ 2xy dxdy.

corrigé succint : R1

x=−1(R2

y=0x²+ 2xydy)dx=R1

x=−1[x²y+xy²]²₀dxdonc R1

x=−12x²+ 4xdx= [2x³/3 + 2x²]¹−1 = 4/3.

2. Soit D défini par y ≤ 0 ≤ x et x

+ y

≤ 1. Calculer R R

D

xy dxdy.

corrigé succint : on passe en coordonnées polaires en prenantx=r cosθ,y=rsinθ, dxdy=rdrdθ.Dest le quart de disque inférieur droit doncθvarie entre−π/2et 0.

La condition donc on calculeR1 r=0

R0

θ=−π/2r²cosθsinθrdrdθsoit R1

r=0r³drR0

θ=−π/2(cosθsinθ)dθ.

L’intégrale enrvaut 1/4.

Pour calculer l’intégrale enθon utilisecosθsinθ= sin(2θ)/2de primitive−cos(2θ)/4donc d’intégrale−1/2.

Finalement on trouve que la valeur de l’intégrale est−1/8.

3. On considère une surface triangulaire de sommets A(0, 0), B (1, 1), C(1, 0) et de masse surfacique σ.

Déterminer sa masse et son centre de gravité G.

corrigé succint : l’équation de(AB)esty=x, donc le triangle peut être décrit par les inéquations :0≤x≤1, 0≤y≤x.

la surface du triangle estS=R R

TdxdysoitR1 x=0

Rx

y=0dydx=R1

x=0xdx= [x²/2]¹0= 1/2, et sa masse estM =σS=σ/2.

la coordonnéexGdu centre de gravité xG=R R

Txdxdy/S= 2R1 x=0

Rx

y=0xdydx= 2R1

x=0x²dx= 2[x³/3]¹₀= 2/3.

De même, la coordonnéeyG=R R

Tydxdy/S= 2R1 x=0

Rx

y=0ydydx= 2R1

x=0x²/2dx= 1/3.

bonus : calcul du moment d’inertie par rapport àG: il vaut I=R R

Tσ((x−2/3)²+ (y−1/3)²)dydx, donc I=σR1

x=0x(x−2/3)²+ (x−1/3)³/3−(−1/3)³/3dx= σR1

x=0x(x−2/3)²+ (x−1/3)³/3−(−1/3)³/3dx, I=σR1

x=0x(x²−4/3x+ 4/9) + (x³−x²+x/3)/3dx, I=σR1

x=04/3x³−5/3x²+ 5x/9dx=σ[x⁴/3−5x³/9 + 5x²/18]¹₀=σ/18.

4. (*) L’objectif de l’exercice est de calculer l’intégrale R

−∞

e

dx, fon- damentale en probabilités, statistiques, métrologie...

On note R un réel positif puis

— C

le carré [ − R, R] × [ − R, R],

— D

le disque de centre O et rayon R,

— D

le disque de centre O et rayon √ 2R.

On note f (x, y) = e

. (a) Expliquer pourquoi R R

D_R¹

f d

S ≤ R R

C_R

f d

S ≤ R R

D²_R

f d

S.

(b) En utilisant les coordonnées polaires, calculer R R

D¹_R

f d

S (c) Calculer de même R R

D²_R

f d

S (d) Calculer R R

CR

f d

S en fonction de R

−R

e

dx (e) En déduire la valeur de R

−∞

e

dx.

corrigé succint : (a) La fonction est positive et les domaines d’intégration sont inclus les uns dans les autres (D¹_R ⊂CR ⊂D_R²) donc les intégrales (que l’on peut interpréter comme des volumes d’en- sembles eux aussi inclus les uns dans les autres) vérifient bien l’inégalité demandée.

(b) R R

D¹Rfd²S=RR r=0

R2π

θ=0e^−r2rdrdθ=R2π

θ=0dθ×RR

r=0re^−r2dr= 2π ×[−e^−r2/2]^R0 = π(1−e^−R2)

(c) On trouve de mêmeπ(1−e^−2R2) (d) R R

CRfd²S = RR x=−R

RR

y=−Re^−x2e^−y2dxdy = RR

x=−Re^−x2dx ×RR

y=−Re^−y2dy = (RR

−Re^−x2 dx)² (les variables sont "muettes" dans ces intégrales : que la variable utilisée soitxouy, les valeurs des intégrales sont identiques)

(e) D’après les questions précédentes, on aπ(1−e^−R2)≤(R+R

−R e^−x2 dx)≤π(1−e^−2R2), donc en passant à la limite pourRtendant vers l’infini,π≤(R+∞

−∞e^−x2 dx)≤πet donc l’intégrale (qui est positive)R+∞

−∞e^−x2 dxvaut√ π.

exercices pratiques

5. Calculer le moment d’inertie par rapport à son centre d’une règle plate de

dimensions a et L

corrigé succint : l’aide du rectangle estaLet sa masse estM =σaLoùσest la masse surfacique.

on peut choisir par exemple de placer le repère au centre de la règle ou bien sur les bords gauche (axe vertical) et bas (axe horizontal).

si on choisit un repère sur els bords de la règle, la règle correspond au rectangle[0, L]×[0, a]et les coordonnées du centreGsont(L/2, a/2). Le moment d’inertieIest l’intégrale de σd²(M, G)dxdy=σ((x−L/2)²+ (y−a/2)²)dxdy.

AlorsI=RL x=0

Ra

y=0σ((x−L/2)²+ (y−a/2)²)dxdy= σRL

x=0(Ra

y=0σ((x−L/2)²+ (y−a/2)²)dy)dx, donc I=σRL

x=0a(x−L/2)²+ 2(a/2)³/3dx=σRL

x=0a(x−L/2)²+a³/12dx= 2a(L/2)³/3 +a³L/12soit finalementI=σ(a³L+aL³)/12 =M(a²+L²)/12.

6. Déterminer les moments d’inertie :

(a) I

d’un cylindre de masse M , rayon R, longueur L, par rapport à son axe de symétrie.

(b) I

d’un cylindre de masse M , rayon R, longueur L, par rapport à un axe parallèle à son axe de symétrie et situé à la distance d de celui-ci.

(c) I

d’un cylindre de masse M , rayon R, longueur L, par rapport à un axe perpendiculaire à son axe de symétrie et passant par le centre de masse du cylindre.

corrigé succint : On noteρla masse volumique du cylindre, on aM=ρπR²L.

On choisit un repère de coordonnées cylindre d’axe(Oz)l’axe du cylindre, de plan(xOy)une des faces du cylindre. Le cylindre est ainsi décrit par0≤r≤R,0≤θ≤2π,0≤z≤L.

(a) I0 = RL z=0

RR r=0

R2π

θ=0r²ρrdrdθdz = ρRL z=0

RR r=0

R2π

θ=0r³drdθdz = 2πρR⁴L/4 = πρR⁴L/2 =M R²/2

(b) on peut supposer que l’axe par rapport auquel on calcule le moment a pour équationx=d, y= 0,zquelconque.

Ainsi Id = RL z=0

RR r=0

R2π

θ=0((x− d)² + y²)ρrdrdθdz = RL z=0

RR r=0

R2π

θ=0((rcosθ − d)² + (rsinθ)²)ρrdrdθdz = ρRL

z=0

RR r=0

R2π

θ=0(r² − 2drcosθ + d²)rdrdθdz = ρRL

z=0

RR r=0

R2π

θ=0(r³−2dr²cosθ+d²r)drdθdz.

Cette intégrale se sépare en 3 : Id = ρRL

z=0

RR r=0

R2π

θ=0r³drdθdz + ρRL z=0

RR r=0

R2π

θ=0−2dr²cosθdrdθdz + ρRL

z=0

RR r=0

R2π

θ=0d²rdrdθdz.

La première intégrale estI0, la deuxième intégrale vaut 0 (on intègre un cosinus sur une période), la troisième vautd²M.

Ainsi,Id=I0+M d².

(c) On peut suppose que l’axeDpar rapport auquel on fait le calcul est l’axex= 0,z=L/2.

Alors la distance au carré entre un pointMde coordonnées cylindriquer, θ, z(donc de coor- données cartésiennesrcosθ,rsinθ,z) et l’axeDestx²+ (z−L/2)².

Ip vaut donc Ip = ρRL z=0

RR r=0

R2π

θ=0(r²cos²θ + (z − L/2)²)rdrdθdz, donc Ip = ρRL

z=0

RR r=0

R2π

θ=0r³cos²θdrdθdz+ρRL z=0

RR r=0

R2π

θ=0(z−L/2)²rdrdθdz.

L’intégrale pourθentre 0 et2πdecos²θvautπ(voir S1 : linéariser...), et ainsi :

Ip=R⁴/4×π×L+R²/2×2π×[(z−L/2)³/3]^z=L_z=0 et doncIp=πLR⁴/4+πR²H³/12.

Finalement, on voit queIp=M R²/4 +M L²/12.

7. Calculer le volume et la masse d’un cône (droit) de rayon R, de hauteur H et de masse volumique constante ρ.

corrigé succint : (a) on fixe un repère orthonormé direct(O,~i,~j, ~k)tel que :

- l’axe(Oz)est l’axe du cône,

- la base du cône est située dans le plan(O,~i,~j), - le sommet a pour coordonnées cartésiennes(0,0, H).

puis on considère alors les coordonnées cylindriques associées.

(b) Le cône est alors l’ensemble des points dont les coordonnées(r, θ, z)vérifient les trois condi- tions :

θ∈[0,2π],z∈[0, H],r∈[0,R(H−z) H ].

Remarques : 1) la troisième condition exprime le fait que, pour une côtezdonnée, le rayon de la section du cône par un plan horizontal est un cercle de rayon variable (qui dépend dez).

2) on peut bien sûr choisir de fixer d’abordrentre 0 etR, puisz entre 0 et une borne qui dépend der.

3) l’ensemble de points dont les coordonnées vérifientθ∈[0,2π],z∈[0, H],r∈[0, R]est uncylindreet non un cône.

(c) Le volume du cône est alors Z 2π

θ=0

ZH z=0

Z ^R(H_H^−z)

r=0

r dr dz dθ, qui se calcule par étapes suc- cessives :

Z 2π θ=0

Z H z=0

R²(H−z)² 2H² dz dθ, Z 2π

θ=0

[−R²(H−z)³ 6H² ]^H0 dθ, 2πR²H³

6H² , soitπR²H/3.

Et la masse du cône estM =ρV =πρR²H/3.

(d) bonus : calcul du moment d’inertie du cône par rapport à son axe. La méthode est la même : l’intégrale est celle der²dm=r²ρdV, soit

Z 2π θ=0

Z H z=0

Z ^R(H_H^−z)

r=0

r³ρ dr dz dθ, et la même technique donne comme valeurπρR⁴H

20 .

En utilisant la valeur de la masse, on trouve3M R²/10.

(remarque : ce n’est pas le tiers du moment d’inertie du cylindre correspondant ! !)

8. Calculer le volume et la masse d’une boule de rayon R et de masse volu- mique variable ρ(r) = R

r + R ρ

.

2

corrigé succint : Le volume4/3πR³est bien entendu identique à celui d’une boule homogène.

Mais pour la masse la formule change : on calcule R R R

Bρ(r)r²sinθdrdθdϕ=R2π

ϕ=0dϕ×Rπ

θ=0sinθdθ×RR r=0

R

r+Rρ0r²dr, donc M = 4πRρ0

RR r=0

r² r+Rdr.

Si on pose la division du polynômer²parr+R(la variable étantr,Rest une constante) on trouver²= (r−R)(r+R) +R²donc r²

r+R =r−R+ R²

r+R, de primitive r²/2−Rr+R²ln(r+R), doncM = 4πRρ0(R²/2−R²+R²ln(2R)−R²ln(R))soit finalementM= 4πRρ0(−R²/2 +R²ln(2)) = 4πR³ρ0(ln(2)−1/2).

Le résultat est cohérent :ln(2)−1/2<1/3, pour une boule moins dense en moyenne qu’une boule de masse volumique constanteρ0. bonus : calcul du moment d’inertie par rapport à son centre de la boule. C’est

I=R R R

Bρ(r)r²×r²sinθdrdθdϕ= 4πRρ0RR r=0

r⁴ r+Rdr= 4πRρ0RR

r=0(r³−r²R+rR²−R³+ R⁴ r+R)dr= 4πRρ0(R⁴/4−R⁴/3 +R⁴/2−R⁴+R⁴ln(2) = 4πR⁵ρ0(ln(2)−7/12).

9. Calculer la surface et le moment d’inertie par rapport à son centre d’une

sphère de masse surfacique constante σ.

corrigé succint : La surface estR R

SσR²sinθdθdϕ=R²R2π

ϕ=0dϕ×Rπ

θ=0sinθdθ= 4πR². La masse est M = 4πσR². Le moment d’inertie vautR R

SσR²R²sinθdθdϕ= 4πσR⁴=M R².

10. On rappelle que le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface S est R R

S

B. ~ ~ dS.

Calculer le flux à travers le rectangle horizontal [x

, x

+ L] × [y

, y

+ H]

d’un champ magnétique B ~ = B

e

e

( ~i + ~j + ~k) (α, β, x

, y

, L, H, B

étant des constantes)

corrigé succint : Ici le vecteur dS, normal à la surface, vaut dxdy~k, donc le produit scalaire B. ~~dS=B0e^{−α(x−x0)}e^{−β(y−y0)}dxdy.

L’intégrale est donc B0Rx0+L

x=x0

Ry0+H

y=y0 e^{−α(x−x0)}e^{−β(y−y0)}dxdy=B0(1−e^−αL)(1−e^−βH)

αβ .

3