J129– Sommes contraires [** à la main]
On considère une grille carrée de dimension n ≥ 4 qui contient n² cases. Dans chacune d’elles on écrit un entier de sorte que la somme de tous les entiers de la grille est positive et la somme des entiers contenus dans n’importe quel carré 3 x 3 est négative.
Déterminez les valeurs de n pour lesquelles on sait remplir la grille. Justifiez votre réponse.
Application numérique : quand elles existent, donner des exemples de grilles pour 4≤ n ≤ 10.
Solution proposée par Daniel Collignon
Les cas où n=3k sont impossibles.
En effet la grille peut être partitionnée en k² grilles 3x3 dont la somme totale ne peut être à la fois négative et positive !
On illustre les cas n=4,5,7,8,10
Pour le cas général, on pose x le terme positif et -(x+1) le terme négatif.
Pour une grille de la forme 1+3i ou 2+3i, la somme totale des termes vaut (i+1)²*x - i²(x+1) = (2i+1)*x - i² qui sera >=0 dès que x >= i²/(2i+1), par exemple en prenant x = ceil(i/2).
