 x–2   y  f  z = x  y –2x–3y z = 2  3i  1–5i  –  4–2i  3–4i 

EXERCICE 1 :

Soit n et a des entiers.

a) Montrer que iⁿ est périodique de période 4.

b) En déduire les 4 valeurs possibles de iⁿ, c'est à dire i⁰, i¹, i² et i³. c) Montrer que _i^4na_=i^a.

d) En déduire i²⁷, i³³, i⁴⁴ et i⁵⁰. EXERCICE 2 :

Donner la forme algébrique des complexes :

z₁=23 i1 – 5 i–4 – 2 i3 – 4 i _{z2=23 i}² _{z3=3 – 4 i}² z₄=2 – 3 i23 i z₅=– 34 i– 3 – 4 i z₆=32 i³

z₇=2 – 3 i³ z₇= 4 – i

32 i z₈=63 i

5 i1 EXERCICE 3 :

Résoudre, dans ℂ , les équations :

2iz4 – 3 i=5 – 2 iz7 – 5 i 23 iz – 54 i z = 11 -15 i EXERCICE 4 :

Déterminer les racines et une factorisation dans ℂ des polynômes suivants.

fz=– 2 z²12 z – 18 gz=3 z²3 z – 6 hz=– 2 z²z – 5 EXERCICE 5:

Soit le polynôme P définie dans ℂ par Pz=2 z³– 3 – 10 iz²415 iz – 20 i a) Montrer que P admet une unique racine imaginaire pur.

b) En déduire une factorisation de P.

c) Déterminer toutes les racines de P.

EXERCICE 6 :

Soit l'application f définie sur ℂ -{2} par fz=iz3 z – 2

1) Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle de : a) f(4-3i)

b) la solution de l'équation fz=53 i

2 .

2) On pose z = x + i y avec x et y des réels. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) en fonction de x et y. On vérifiera en particulier que Refz=x²y²– 2 x – 3 y

x – 2²y² . 3) En déduire l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

a) f(z) soit un réel.

b) f(z) soit un imaginaire pur.