Méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss est une méthode direte de résolution de sys-
tèmes linéaires qui permet de transformer un système en un autre système
équivalentéhelonné.
Exemple
8
<
:
x 2y 3z = 1 2 1
2x + y + z = 7 1
x +3y 2z = 13 1
8
<
:
x 2y 3z = 1
5y + 7z = 9 1
5y + z = 14 1
8
<
:
x 2y 3z = 1
5y + 7z = 9
6z = 5
À e stade, on pourraitaluler z àpartir de la 3 e
équation etsubstituer.
Il est ependantnettementpréférablede pratiquerun algorithme deremontée
qui orel'avantage de travaillerave des oeients entiers.
8
<
:
x 2y 3z = 1 2
5y + 7z = 9 6
6z = 5 7 1
8
<
:
2x 4y = 7 15
30y = 83 2
6z = 5
8
<
:
30x =61
30y =83
6z = 5
On onlut nalement que S=
61
30
; 83
30
; 5
6 .
7.1 Résoudre les systèmes par laméthode d'éliminationde Gauss.
1) 8
<
:
2x+3y+2z=41
8x+5y=31
7y=21
2) 8
<
:
2x 3y+2z =41
5x+3y=10 z
9x=27
3) 8
<
:
7x 4y 5z =56
3y 2z=13
4) 8
<
:
x+y+z =25
x y+z =5
5)
<
:
x y z =6
x 2y 3z =10
5x+6y+z =2
6)
<
:
3z 2y x=17
2y+3z 2x=36
5x+2y z =10
7) 8
<
:
3x y+z =29
x+3y+30z=6
x y+z =17
8) 8
<
:
2x+3y+4z =47
3x+5y 4z =2
4x+7y 2z =31
9) 8
<
:
2x y+3z =4
3x+4y z = 5
x+5y 4z = 9
10) 8
<
:
x+2y+3z =9
x y+4z =15
x+7y 6z= 27
11) 8
>
>
<
>
>
:
2x 3y + 2z t = 1
x + 5y 3z + 2t = 8
3x + 2y + 4z 3t = 15
5x + 9y + z + 4t = 10
12) 8
>
>
<
>
>
:
x+y+z =9
y+z+t=6
x+z+t=7
x+y+t=8
13) 8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
2x + y 3z + t + u = 4
x 2y z +3t u = 1
3x y + 4z t 3u = 6
x + y + z + t + u = 15
5x 4y + 3z 2t + u = 3
Déterminants
Étant donné quatre nombres rangés en un tableau arré de 2 lignes et 2 o-
lonnes, onappelledéterminant d'ordre deux lenombre
D= a
1 b
1
a
2 b
2
=a
1 b
2 a
2 b
1
7.2 Calulerles déterminants d'ordredeux :
1)
1 2
1 3
2)
1 1
3 2
3)
0 7
0 3
4)
7 9
1 8
5)
0 1
1 0
6)
2 0
5 1
7)
3 2
1 4
8)
2 10
3 15
Étantdonnéneufnombresrangésenuntableauarréde 3ligneset3olonnes,
onappelledéterminant d'ordre trois lenombre
D= a
1 b
1
1
a
2 b
2
2
a
3 b
3
3
=a
1 b
2
3 +b
1
2 a
3 +
1 a
2 b
3 a
3 b
2
1 b
3
2 a
1
3 a
2 b
1
lesdeuxpremièresolonnesàdroitedudéterminant;ilsutalorsd'ajouterles
produitsdesdiagonalesdesendantes etdesoustraireleproduitdesdiagonales
montantes.
a
1 b
1
1 a
1 b
1
a
2 b
2
2 a
2 b
2
a
3 b
3
3 a
3 b
3
=a
1 b
2
3 +b
1
2 a
3 +
1 a
2 b
3 a
3 b
2
1 b
3
2 a
1
3 a
2 b
1
7.3 Calulerles déterminants d'ordretrois :
1)
2 1 2
6 1 1
4 5 3
2)
2 0 5
5 3 3
0 4 6
3)
3 7 4
0 5 0
3 13 6
4)
1 2 3
3 2 1
1 3 2
5)
0 1 1
2 4 5
1 1 1
6)
1 0 8
9 1 16
3 0 4
7)
3 2 1
1 2 4
4 2 3
8)
4 3 2
5 9 7
4 1 4
9)
1 4 3
2 5 1
5 1 3
Méthode de Cramer
7.4 Considérons lesystème linéaire suivant:
a
1 x +b
1 y =
1
a
2 x +b
2 y =
2
1) Enusant de laméthode par addition,éliminer y etmontrer que
(a
1 b
2 a
2 b
1
)x=b
2
1 b
1
2
'est-à-dire
a
1 b
1
a
2 b
2 x=
1 b
1
2 b
2
2) De même,éliminerx ave laméthode par addition pour montrer que
(a
1 b
2 a
2 b
1
)y=a
1
2 a
2
1
'est-à-dire
a
1 b
1
a
2 b
2 y =
a
1
1
a
2
2
On en déduitimmédiatement laméthode de résolution de Cramer.
Si a
1 b
1
a
2 b
2
6=0,alors le système possède une solutionunique donnée par
x=
1 b
1
2 b
2
a
1 b
1
et y= a
1
1
a
2
2
a
1 b
1
Si
1 1
a
2 b
2
=0,alors le système est
1) indéterminé si
1 b
1
2 b
2
= a
1
1
a
2
2
=0;
2) impossible sinon.
7.5 Résoudre les systèmes en utilisantla méthode de Cramer.
1)
x+ 5y = 35
3x+ 2y = 27
2)
2x 7y = 8
4y 9x =19
3)
8x + 3y 3 = 0
9y + 12x 3 = 0
4)
5x +7y = 101
7x y = 55
5)
3x + 2y =21
x y = 2
6)
7x + 3y = 36
11x 5y = 8
7)
10x + 4y = 3
20y 5x = 4
8)
12x 7y = 2
8x + 21y = 50 9)
3x + 4y 85 =0
7x 6y + 1 =0
7.6 Résoudre et disuter les systèmes suivants:
1)
2mx (m+2)y =3m
2(m 1)x my =3(m 1)
2)
x + m(m 1)y =2m 2
x (m
2
1)y =m(1 m)
3)
(m+1)x + (m 1)y =m
mx + (m+1)y =m 1
4)
(m+1) 2
x +(m 2
1)y = m+1
(m 1) 2
x +(m 2
1)y = (m 1) 2
5)
(m 3)x+ my = 5
mx+ (m 4)y = 2
6)
(m 1)x+ (m 2)y +5m+10 =0
(m+5)x+ (3m+9)y 10 =0
La résolution d'un système 22 par la méthode de Cramer se généralise au
système 33dans le as non singulier.
Le système
8
<
: a
1 x + b
1 y +
1 z =d
1
a
2 x + b
2 y +
2 z =d
2
a
3 x + b
3 y +
3 z =d
3
admet pour solutions
x=
1 1 1
d
2 b
2
2
d
3 b
3
3
a
1 b
1
1
a
2 b
2
2
a
3 b
3
3
y=
1 1 1
a
2 d
2
2
a
3 d
3
3
a
1 b
1
1
a
2 b
2
2
a
3 b
3
3
z =
1 1 1
a
2 b
2 d
2
a
3 b
3 d
3
a
1 b
1
1
a
2 b
2
2
a
3 b
3
3
à ondition que a
1 b
1
1
a
2 b
2
2
a
3 b
3
3 6=0.
Sinon, le système peut être indéterminé ou impossible, sans que la méthode
de Cramer puisse répondre à ette question. Lesystème doit alors être résolu
ave laméthode du pivot de Gauss.
7.7 Résoudre les systèmes en utilisantla méthode de Cramer.
1) 8
<
:
3x +2y + z =23
5x +2y + 4z =46
10x +5y + 4z =75
2) 8
<
:
x y +z = 0
x + 2y z = 0
4x + 5y z = 3
3) 8
<
:
3x 2y + z = 2
x + y z = 2
x + 2y + z = 1
4) 8
<
:
5x +3y + 2z =1
3x 0;5z =2;6
2y + z = 4
5) 8
<
:
1;7x 0;6y = 4; 08
2;8x + 0;6z = 6; 72
2;8y 1;7z = 19;04 6)
8
<
:
x + y z = 4
2x + y + z = 6
6x +4y = 20
7.8 Résoudre et disuter les systèmes suivants:
1) 8
<
:
mx + y + z =m 2
x +my + z =3m 2
x + y +mz =2 m
2) 8
<
:
mx + y z =1
x + my z =1
x + y +mz =1
Méthode par substitution
Pourrésoudreunsystèmeavedeséquationsdedegrésupérieuràun,onutilise
généralement laméthode par substitution.
Exemple
3x 5y= 1
x 2
+y 2
+2x 6y 7=0
x 2
+ 3x+1
5 2
+2x 6 3x+1
5
7=0
x 2
+ 9x
2
+6x+1
25
+2x
18x+6
5
7=0
25x 2
+9x 2
+6x+1+50x 90x 30 175=0
34x 2
34x 204=34(x 2
x 6)=34(x 3)(x+2)=0
x
1
=3entraîne y
1
= 33+1
5
=2 et x
2
= 2 impliquey
2
=
3( 2)+1
5
= 1.
On a don trouvéS=f(3;2);( 2; 1)g
7.9 Résoudre les systèmes d'équations.
1)
2y 2
+x 2
=81
2x+y=0
2)
x+2y=4
(x+3)(y 1)= 12
3)
x 2
2y 2
=28
x y=8
4)
x 3y=3
xy =36
5)
x 2
+y 2
=40
x=3y
6)
x 2
+2y 2
=466
y x=11
7)
x+y =14
(x+1)(y+7)=72
8)
x+y=12
(x+9)(y 3)=72
9)
y 2
x 2
=175
x+y =35
10)
xy = 12
x+y=1
11)
2x y =5
2x 2
y 2
=25
12)
x 2
+y 2
+xy=49
x y 14=0
13)
x 2
y 2
= 33
2x+2y=6
14)
x 2
+y 2
+xy+x y=6
x+4y 9=0
7.10 Deux voyageurs partent au même instant du même point et vont l'un vers le
sud, l'autrevers l'est. Ilsparourentrespetivement30 kmet 40km par jour.
Après ombien de jours seront-ils à250 km l'un de l'autre?
7.11 On partage 840 noix entre des enfants. Si haun reçoit 2 noix de moins, sa
part est égale au nombre d'enfants. Combien y a-t-ild'enfants?
7.12 Un petit marhand a aheté des pommes pour un montant total de 7;56 e.
Après en avoir jeté 5 qui étaient gâtées, il vend haque pomme qui lui reste
4 entimes de plus qu'il ne l'avait payée et réalise ainsi un gain global de
58entimes. Déterminerle nombre de pommes ahetées.
7.1 1) S=f(2;3;14)g 2) S=f(3; 5;10)g 3) S=f(5;1; 5)g
4) S=f(20;10; 5)g 5) S=f(3; 2; 1)g 6) S=
28
15
; 313
60
; 293
30
7) S=f(6; 10;1)g 8) S=
39
5
;11; 37
5
9) S=f(1 ; 2; ):2Rg 10) S=f(13 11; 2;3 ):2Rg
11) S=f( 3;1;4; 2)g 12) S=f(4;3;2;1)g
13) S=f(1;2;3;4;5)g
7.2 1) 5 2) 1 3) 0 4) 47
5) 1 6) 2 7) 14 8) 0
7.3 1) 70 2) 88 3) 30
4) 12 5) 1 6) 20
7) 6 8) 178 9) 59
7.5 1) S=f(5;6)g 2) S=f( 3; 2)g 3) S=
1
2
; 1
3
4) S=f(9;8)g 5) S=f(5;3)g 6) S=f(3;5)g
7) S=
1
5
; 1
4
8) S=f(1;2)g 9) S=f(11;13)g
7.6 1) Si m6=2: S=
3
2
;0 ; si m=2: S=
; 2 3
2
:2R .
2) Si m6=1et m6=
1
2 :S=
n
m 2
(m+3)
2m+1
;
m(3m 1)
(m 1)(2m+1) o
;
si m=1 oum= 1
2
:S=?.
3) Si m6=
1
3 :S=
3m 1
3m+1
; 1
3m+1
; sim = 1
3
: S=?.
4) Si m6= 1et m6=0et m6=1: S=
1
4
(3 m); 1
4
(m 1) ;
si m= 1 :S=f(1; ):2Rg; si m=0 : S=f(; 1):2Rg;
si m=1 :S=
1
2
;
: 2R .
5) Si m6=
12
7 : S=
3m 20
12 7m
; 3m+6
7m 12
; sim = 12
7
: S=?.
6) Si m6= 1et m6=
1
2 :S=
n
5(3m+14)
2m+1
;
5(m+8)
2m+1 o
;
si m= 1 :S=
; 1
3
(5 2 )
:2R ; si m= 1
2
:S=?.
7.7 1) S=f(4;3;5)g 2) S=f( 1;2;3)g 3) S=
5
4
;1; 1
4
4) S=
6
5
; 3;2 5) S=f( 1;2;3;4; 5;6)g
6) S=f(2 2;3+2; ): 2Rg
7.8 1) Si m6= 2et m6=1: S=f(m;2; 2)g;
si m= 2 :S=f(;+4; ):2Rg;
2) Si m6= 1et m6=0et m6=1: S= 1
m
; 1
m
; 1
m
;
si m= 1 :S=f(;; 1):2Rg; si m=0: S=?;
si m=1 :S=f(;1; ):2Rg.
7.9 1) S=f( 3;6);(3; 6)g 2) S=
( 6;5); 5; 1
2
3) S=f(6; 2);(26;18)g 4) S=f(12;3);( 9; 4)g
5) S=f(6;2);( 6; 2)g 6) S=
(4;15); 56
3
; 23
3
7) S=f(3;11);(17; 3)g 8) S=f(3;9);( 3;15)g
9) S=f(15;20)g 10) S=f(4; 3);( 3;4)g
11) S=f(5;5)g 12) S=f(7; 7)g
13) S=f( 4;7)g 14) S=
(1;2); 51
13
; 42
13
7.10 5 jours
7.11 28enfants
7.12 42pommesà 18entimes
7.13 Déterminer l'expression f(x) =ax +bx+ de la fontion du 2 e
degré dont
le graphepasse par les points A( 2;29), B(3;19) et C(1;5).
7.14 La somme des hires d'un nombre entier de trois hires est 18.Si l'on per-
mute lepremierhire(depuislagauhe) etledeuxième,lenombre augmente
de180. Sil'onpermuteledeuxièmeetletroisièmehire,lenombre augmente
de 18. Quel est e nombre?
7.15 Un téléphérique pratique les tarifs suivants : montée CHF 22:50, desente
CHF 15: , aller-retour CHF 30: . Au ours d'une journée, on a enaissé
CHF 19650: pour 680 montées et520 desentes. Combien de billetsde ha-
que sorte ont-ilsété vendus?
7.16
A
B C
U V
W Le erle insrit au triangle ABC est tangent aux
tés en les pointsU, V etW .
Déterminer les longueurs AV , AW , BW , BU, CU
etCV sahant queAB=5;5, BC=8 etAC=7.
7.17 Calulerleslongueurs desarêtesd'unparallélépipèderetanglesahantqueles
diagonales des faes mesurent 39m, 40m et41 m.
7.18 Troispersonnes jouent ensemble. Ellesonviennentqu'àhaque partie,le per-
dant doublera l'avoir de haun des deux autres joueurs. Elles jouent trois
parties, en perdent une haune, et se retirent haune ave 16 frans. De
quelle somme haque personne disposait-elleaudébut du jeu?
7.19 Unepopulationstablede 35000 oiseauxvitsur troisîles.Chaqueannée,10%
de lapopulationde l'île A migre vers l'île B, 20 %de lapopulationde l'île B
migre vers l'îleC, et5 %de lapopulationde l'îleCmigre vers l'île A.
Déterminer lenombre d'oiseaux sur haque île,sahant que lapopulationsur
haque îlene varie pas d'une année àl'autre.
7.20 Unfermierpossède750têtesdebétailrépartiesen400adultes(âgésde2ansou
plus), 150 bovins âgés d'un an et 200 veaux. Les informationssuivantes sont
onnues à propos de ette rae partiulière. Chaque printemps, une femelle
adulte donne naissane à un seul veau, et 75 % de es veaux survivront la
première année. Le pourentage annuel de survivants pour le bétail âgé d'un
an et pour les adultes est respetivement de 80 % et 90 %. Il y a autant de
mâles que de femelles dans toutes leslasses d'âges. Estimer lapopulationde
2) leprintemps passé.
7.21 L'annéede naissane d'Henri Poinaré,quiest l'un des plus grandsmathéma-
tiiens des temps modernes, satisfait aux onditions suivantes :
la somme des hires qui onstituent e nombre est égale au nombre de
entaines qu'elle ontient;
lorsqu'ontriplelenombredeesentaines,onobtientlenombrequisubsiste
quand onsupprime les deux premiershires de la date;
si l'on retranhe lenombre herhé de e nombrelu àl'envers, ontrouve un
nombre de quatre hires, formé de deux tranhes égales dont haune est
la moitié du nombre obtenu en amputant l'année de naissane de ses deux
premiers hires.
Déterminerl'année de naissane d'HenriPoinaré.
Réponses
7.13 f(x)=3x 2
5x+7
7.14 468
7.15 220 montées, 60desentes et 460 aller-retour.
7.16 AV =AW =2;25, BW =BU=3;25 etCU=CV=4;75
7.17 12 p
5m, 3 p
89m et4 p
55m
7.18 La personne qui a perdu la 1 re
partie avait 26 frans, elle qui a perdu la
2 e
partie avait14frans et elle qui aperdu la3 e
partie avait8 frans.
7.19 10000 oiseaux sur l'îleA, 5 000 sur l'îleB et20 000 sur l'îleC
7.20 1) 480 adultes,150 âgés d'un an et200 veaux
2) 400 adultes,50âgés d'un anet200 veaux
7.21 1854
