Seconde 1 Devoir n ° 2. 2007 2008 Exemple de corrigé.
E1 ( 7 points ).
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x − 1 )² − 9.
1 ) Développons f ( x ) = x² − 2x + 1 − 9 = x² − 2x − 8.
2 ) Factorisons f ( x ) = ( x − 1 − 3 ) ( x − 1 + 3 ) = ( x − 4 ) ( x + 2 ).
3 ) a ) En utilisant la forme la plus appropriée, calculons f ( 1 ) = ( 1 − 1 )² − 9 = 0² − 9 = − 9
3 ) b ) Déterminer l'image de − 2 par f cela signifie calculer f ( − 2 ) = ( − 2 − 4 ) ( − 2 + 2 ) = − 6 × 0 = 0.
L'image de − 2 par f est égale à 0.
4 ) a ) Résolvons l'équation f ( x ) = 0 ⇔ ( x − 4 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ x − 4 = 0 ou x + 2 = 0 ⇔ x = 4 ou x = − 2.
L'ensemble des solutions de l'équation f ( x ) = 0 est { − 2 ; 4 }.
4 ) b ) Déterminer le ou les antécédents, sils existent du nombre − 8 par f cela signifie rechercher les valeurs de x lorsque f ( x ) = − 8 ⇔ x² − 2x − 8 = − 8 ⇔ x² − 2x = 0 ⇔ x ( x − 2 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x − 2 = 0
⇔ x = 0 ou x = 2. Les antécédents de − 8 par f sont 0 et 2.
E2 ( 6 points ).
Résolvons dans les équations suivantes : 1 ) 5x −
5 4 x 3 − = 1
7 ⇔ 5x × 35 − ( 3x − 4 ) × 7 = 1 × 5 ⇔ 175x − 21x + 28 = 5
⇔ 154x = 5 − 28 = − 23 ⇔ x = − 23
154 . L'ensemble des solutions est { − 23 154 }.
2 ) x 3
9
²
x−− = 0 ⇔ x² − 9 = 0 et x − 3 ≠ 0 ⇔ x² = 9 et x ≠ 3 ⇔ x = 3 ou x = − 3 et x ≠ 3.
L'ensemble des solutions est { − 3 }.
3 ) 7x² = x ⇔ 7x² − x = 0 ⇔ x ( 7x − 1 ) = 0 ⇔ x = 0 ou 7x − 1 = 0 ⇔ x = 0 ou 7x = 1 ⇔ x = 0 ou x = 1 7 . L'ensemble des solutions est { 0 ; 1
7 }.
4 ) x² = 5 ⇔ x = 5 ou x = − 5. L'ensemble des solutions est { − 5 ; 5 }.
E3 ( 2 points ).
Complétons le tableau suivant ( toute erreur sera comptée − 0,25 points ).
Valeur exacte
2 5 1+
7
−2 π
3
−8 π Affichage de la calculatrice 1,618033989 0,1630846648 − 1,619469115
Troncature à 10-3 près 1,618 0,163 − 1,619
Valeur approchées à 10-3 près par défaut 1,618 0,163 − 1,620 Valeur approchées à 10-3 près par excès 1,619 0,164 − 1,619
Valeur arrondies à 10-3 près 1,618 0,163 − 1,619
E4 ( 5 points ).
Réponse 1. c. 2. c. 3. c. 4. c. 5. b.
1. L'ensemble des nombres réels x tel que 25 > x ≥ 3 se note à l'aide de l'intervalle
a. ] 25 ; 3 ] b. ] 3 ; 25 ] c. [ 3 ; 25 [ d. ] 25 ; 3 [.
2. L'intervalle ] - ∞ ; 2008 ] est l'ensemble des nombres réels x vérifiant l'inégalité
a. x < 2008 b. x > 2008 c. x ≤ 2008 d. x ≥ 2008.
3. L'ensemble des nombres réels x tels que 2,5 < x ≤ 7,5 se note à l'aide de l'intervalle
a. [ 2 5 ; 7,5 ] b. [ 2,5 ; 7,5 [ c. ] 2,5 ; 7,5 ] d. ] 2,5 ; 7,5 [.
4. L'intervalle [ 0 ; 3 ] est l'ensemble des nombres réels x vérifiant
a. 0 < x < 3 b. 0 < x ≤ 3 c. 0 ≤ x ≤ 3 d. 0 ≤ x < 3
5. L'intervalle ] 2007 ; + ∞ [ est l'ensemble des nombres réels x vérifiant l'inégalité
a. x < 2007 b. x > 2007 c. x ≤ 2007 d. x ≥ 2007.
