Universit´e Paris Diderot MT1
Licence 1`ere ann´ee Ann´ee 2008-09
EXAMEN PARTIEL du 22 novembre 2008 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones est interdit. Il est n´ecessaire de justifier les r´eponses.
Exercice 1
1. Donner un exemple d’applicationR→Rqui est injective mais pas surjective.
2. Montrer que l’applicationZ×Z→Z×Zqui `a (x, y) associe (x+ 2y,2x+ 3y) est bijective.
Exercice 2
Soitzun nombre complexe non nul tel que ¯z=−z3. Posonsz=reiθ avecr∈R+ et θ∈R.
1. Calculer les modules de ¯z et−z3en fonction der. En d´eduire que|z|= 1.
2. D´eterminer{eiθ ∈C/e4iθ =−1}.
3. D´eterminer quelles sont les valeurs possibles deretθ. On en d´eduira les parties r´eelles et imaginaires des valeurs possibles dez.
Exercice 3
Soit (un)n≥0la suite de nombres r´eels d´efinie par : on au0= 2008 etun+1=√
2un+ 3.
1. Montrer que six∈[3,+∞[, on a√
2x+ 3∈[3,+∞[.
2. Montrer que l’application [3,+∞[→Rqui `a xassocie√
2x+ 3 est continue.
3. Montrer que la suite (un)n≥0est d´ecroissante.
4. En d´eduire qu’elle admet une limite.
5. D´eterminer cette limite.
Exercice 4 Consid´erons l’applicationu: R3−→R3donn´ee par
u(x, y, z) = (x−y+z, z, z).
1. Montrer queF ={(x−y+z, z, z)∈R3/(x, y, z)∈R3}est un sous-espace vectoriel de R3. Montrer que ((1,0,0),(1,1,1)) est une base deF. Quelle est la dimension deF ?
2. Montrer que N ={(x, y, z)∈R3/u(x, y, z) = (0,0,0)} est un sous-espace vectoriel deR3. Trouver une base deN. Quelle est la dimension deN ?
3. R´esoudre les syst`emes u(x, y, z) = (a, b, c) pour (a, b, c) = (1,1,1) et (a, b, c) = (3,2,1). Y a-t-il des valeurs de (a, b, c) pour lesquelles le syst`eme a une solution unique ?
4. La matrice
1 −1 1
0 0 1
0 0 1
est-elle inversible ? D´eterminer son rang.
