−x + 5y − z = 9, x − 2y + 9z = −11, 9x − 2y + z = 13.

(1)

IFT 2425

DEVOIR N

o

2

Relaxation pour la résolution de système d'équations linéaires et Résolution de

système d'équations non linéaires

Max Mignotte

DIRO,Départementd'InformatiqueetdeReherheOpérationnelle.

http://www.iro.umontreal.a/

∼

mignotte/ift2425/

E-mail:mignotteiro.umontreal.a

I. Relaxation pour la résolution de système d'équations linéaires

Soitlesystème

Ax = b

^suivant^:

−x + 5y − z = 9, x − 2y + 9z = −11, 9x − 2y + z = 13.

Implémenter la méthode de résolution itérative de relaxation 1

. Pour ela, faite varier

w

^entre

0.5

^et

1.9

aveunpasde0.1 etdonner pourhaquevaleurde

w

^la^valeur^suessive^des^itérations^et ^le^nombre^nal

d'iterationsnéessairepouravoirunepréisionà

10 ⁻ ⁶

^près^sur^haque^élément^du^veteur^solution.^Vérier

que,pour

w = 2.0

^,^la^méthode^ne^onverge^pas^et^donner^la^valeur^de

w

^permettant^de^résoudre^e^système

aveunminimumd'itérations.

II. Résolution de système d'équations non linéaires

Soitlesystèmesuivant 2

:

f (x, y) = 3x − cos y = 0.5, g(x, y) = x ² − 2y ² = − 1.

ImplémenterlaméthodedeNewton-Raphsonpourrésoudreesystèmed'équationsnonlinéaires.Utiliserla

onditioninitialesuivante :

x ^[0]

y ^[0]

= 1

1 .

etlaméthodedesdiérenesniespourévaluerlesdiérentielles 3

.Donnerlavaleursuessivedesitérations

suessifduveteur

(x ^[n] , y ^[n] ) ^t

êtârrêter^la^proédureâprèsl'obtentiond'unmaximumdese.

1

Cf.NotesdeCours,Chapitre2,page63etlivrederéférenepage169.

2

Cf.DémoNo.5,Exerie1.

3

(2)

Date de Remise et onditions

Vous devez rendre physiquementau démonstrateur le rapport et életroniquement le(s) programme(s)

faiten C(ouC++)(hier.et exéutableainsique lalignedeompilationoule makele) avantladate

deremise(etavant

24h00

⁾^spéiée^dans^le^hier^planning^situé^sur^la^page^web^du^ours^dans^la^rubrique

Introdution& Program.Pourlaremise életronique,utilisezleprogramme remise(man remise pourplus

dedétails)pourremettrevotreode.N'oubliezpasd'insrirevosnomsenommentaireenhautduhier.

remis.LesnomsdesprogrammesàremettredevrontavoirleformatsuivantDevoirIFT2425

− <

^Numéro^du

devoir>-<Numérode laquestion>.. Lesprogrammesdevrontseompilerets'exeutersurlinux.

Rapport

Lerapportdoitêtreonis(

3

^-

4

^pages^sans^leôde),^lair êt^devra ôntenir^(en^plus^des^élémentsêt ^des

disussionsquevousjugerezimportants):

•

^La^desription^brève^du^problème^et^de^la^tehnique^utilisée.

•

^La^réponse ^aux^questions ^posées^et^les^graphes^demandés.

•

^Les^référenes.

Critère d'évaluation

Ce Devoirsera noté sur 10 points et ompte pour

25/4

^% ^de ^la ^note ^globale ^du ^ours.^Ces ¹⁰ ^points

serontrépartis ommesuit,

Setion Critères Pondération

Code Exéution orrete(50%)style,larté(20%) 70%

−x + 5y − z = 9, x − 2y + 9z = −11, 9x − 2y + z = 13.

2

∼

Ax = b

−x + 5y − z = 9, x − 2y + 9z = −11, 9x − 2y + z = 13.

w

0.5

1.9

w

10 − 6

w = 2.0

w

f (x, y) = 3x − cos y = 0.5, g(x, y) = x 2 − 2y 2 = − 1.

x [0]

y [0]

= 1

1

.

(x [n] , y [n] ) t

24h00

− <

3

4

•

•

•

25/4

10 ⁻ ⁶

f (x, y) = 3x − cos y = 0.5, g(x, y) = x ² − 2y ² = − 1.

x ^[0]

y ^[0]

(x ^[n] , y ^[n] ) ^t