(x, y) ∈ R 2telque x 2 6 2y 6 2x + 8

Final de l'UV MT31

Durée :2heures.

Une feuilleA4reto seulde notesautorisée .

Calulatrie autorisée .

➟

^Seulesles expliationslaires etpréises serontprisesen omptelors de la orretion.

➟

^{Les exeries1, 2 et3sont}indépendants.

Exerie 1

Soit

D 1

^{ledomaineduplandénipar:}

D 1 =

(x, y) ∈ R ²

^telque

x ² 6 2y 6 2x + 8

1. Représentergraphiquementledomaine

D 1

^.

2. Caluler

A ¹

^l'airede

D 1

^.

3. Calulerlesoordonnées

(x G ₁ , y G ₁ )

^{duentredegravité}

G 1

^de

D 1

^.

Exerie 2

Soit

D 2

^{ledomaineduplandénipar:}

D 2 =

(x, y) ∈ R ²

^telque

x ² + (y − 1) ² 6 1

^et

|x| 6 y

1. (a) Représentergraphiquementledomaine

D 2

^.

(b) Déterminergraphiquement

A 2

^l'airede

D 2

^.

2. Retrouver

A ²

^l'airede

D 2

^{enutilisantladénition.}

3. Calulerlesoordonnées

(x G ₂ , y G ₂ )

^{duentredegravité}

G 2

^de

D 2

^.

Exerie 3

Partie A Soitlamatriede

M 3 (R)

^donnéepar:

A =





0 1 1

1 1 0

1 −3 4





1. Déterminerlepolynmearatéristiquede

A

^.

2. En déduirelesvaleurspropresde

A

^.

3. Lamatrie

A

^est diagonalisable.Pourquoi?

4. Déterminerlessous-espaespropresassoiésàhaquevaleurpropre.

5. En déduirelesveteurspropresassoiésàhaquevaleurpropre.

6. En déduirelamatrie

D

^{diagonaleet lamatrie}

Q

^{inversibletellesque:}

A = Q D Q ^{− 1}

Remarques

onrangeralesvaleurspropresdansl'ordredéroissant.

onnedemandepaslealul de

Q ^{− 1}

^.

Onseproposederésoudrelesystèmediérentielsuivant:

(S)



 

 

˙

x 1 (t) + x 2 (t) + x 3 (t) = 0

˙

x 2 (t) + x 1 (t) + x 2 (t) = 0

˙

x 3 (t) + x 1 (t) − 3x 2 (t) + 4x 3 (t) = 0

avelesonditionsinitialessuivantes :

(CI)



 

 

x 1 (0) = 1 x 2 (0) = 0 x 3 (0) = 0

1. Erire lesystème

(S)

^{souslaformematriielle}

X ˙ (t) + A X (t) = Φ(t)

⁽¹⁾

oùlesquantités

X(t) ˙

^,

X (t)

^et

Φ(t)

^{sontàspéier.}

2. Montrer quelesystème

(S)

^{est équivalentà:}

Y ˙ (t) + D Y (t) = Ψ(t),

⁽²⁾

oùlesquantités

Y ˙ (t)

^,

Y (t)

^,

D

^et

Ψ(t)

^{sontàspéier.}

3. Déterminer

Y

^{solutiondel'équation2.}

4. Déterminernalement

X

^{solutiondel'équation1.}