dont les coordonn´ees des vecteurs dans la base canonique sont not´ees ( x, y, z ) . Soit P la plan d’´equation : x + 2y − z = 0

Changements de base

C. Huyghe

1. Soient E = R

dont les coordonn´ees des vecteurs dans la base canonique sont not´ees ( x, y, z ) . Soit P la plan d’´equation : x + 2y − z = 0

1- D´eterminer une base de P.

2- Soit D la droite vectorielle dirig´ee par le vecteur de coordonn´es ( _1, − _{1, 2} ) _. Montrer que E = P

D.

3- Soient p

le projecteur sur P parall`element `a D et p

le projecteur sur D parall`element `a P. Montrer que Id = p

+ p

.

4- En appliquant la m´ethode du cours, qui consiste `a ´ecrire la matrice B

de p

(resp. B

p

) dans une base adapt´ee `a la d´ecomposition E = P

D, et

`a faire un changement de base, calculer les matrices A

et A

de p

et p

respectivement dans la base canonique. V´erifier que Id = A

+ A

.

2. Soit E = K

, et D une matrice de E, dont seuls les termes diagonaux sont non nuls. On note D = diag ( d

, . . . , d

) o `u d

∈ K. On suppose que d

∈ { 0, 1 } . Soit A une matrice de M

( K ) semblable `a D et f

l’application lin´eaire associ´ee.

Montrer que f

est un projecteur si et seulement si d

∈ { _{0, 1} } _{pour tout} i.

3. Soit E = R

^{, u} ∈ L(E ) . Pour λ ∈ R ^{, on note E}

= Ker ( u − λId ) e

, e

, e

des vecteurs non nuls de E

, E

, E

.

1- Montrer que ( e

, e

, e

) forment une base de E.

2- Ecrire la matrice A de u dans cette base et calculer A

. 4. Soit A la matrice suivante

A =

"

0 1

− 1 0

# .

1- Soit λ ∈ C . D´eterminer pour quelles valeurs de λ , E

= Ker ( A − λ Id ) est non nul.

2- D´eduire de la question pr´ec´edente qu’il existe une matrice inversible P telle que

P

AP =

"

i 0 0 − i

# .

5. Soient K un corps, E un K-espace vectoriel de dimension finie dont on fixe une base B, f ∈ L( E ) . Soient λ

, . . . , λ

n scalaires de K distincts tels que si A est la

1

matrice de f dans la base B on ait

A =



















λ

. . . . . . 0 λ

. . . . . 0 0 . . . . . . . 0 0 . . . λ

. 0 0 . . . 0 λ

















 .

1- Pour λ ∈ K, on note E

= Ker ( A − λ Id ) . Calculer la dimension de E

si λ 6= λ

.

2- On suppose que λ = λ

, montrer que dim ( E

) = 1. Soit u

un vecteur non nul de E

. Que vaut A ( u

) en fonction de u

?

3- Montrer que u

, . . . u

forment une base de K

.

4- Montrer que A est semblable `a une matrice diagonale dont les termes diago- naux sont ( λ

, . . . , λ

) .

6. Soient K un corps, T la matrice colonne ( _{1, 0, 0} ) _, λ ∈ K et

A =









2 1 − 1

0 λ 1

0 0 λ







 .

Discuter le rang de A − α Id suivant les valeurs de α. Soit Y non nul tel que AY = λ Y.

1- Montrer que A est semblable `a une matrice du type :

B =









2 0 ∗

0 λ ∗

0 0 λ







 ,

o `u * est un scalaire quelconque de K.

2- Soit Z deux matrices colonnes de M

( K ) . Quelles sont les solutions de l’´equation AZ = Y + λ Z ?

3- Montrer que A est semblable `a

B =









2 0 0 0 λ 1 0 0 λ







 .

4- Calculer B

, et en d´eduire A

pour tout n.

7. Soit E = K

[ X ] le K-espace vectoriel des polyn ˆomes de degr´e ≤ n.

1- Soit f d´efinie par f ( P ) = ( X + 1 ) P

( X ) . Montrer que f ∈ L( E ) , et donner une base de Ker ( f ) .

2

2- Ecrire la matrice A de f dans la base 1, X, . . . , X

. Soit E

= Ker ( f − λ Id ) . Pour quelles valeurs de λ a-t-on E

6= { 0 } ?

3- Montrer que 1, ( X + 1 ) , . . . , ( X + 1 )

forment une base de E et ´ecrire la ma- trice de f dans cette base.

8. Soient K un corps, E un K-espace vectoriel, f , g ∈ L( E ) , tels que f ◦ g = g ◦ f . 1- Monter que Ker f et Im f stables par g, i.e. g ( Ker f ) ⊂ Ker f et g ( Im f ) ⊂ Im f . 2- Soient λ ∈ K et E

= Ker ( f − λ Id ) . Montrer que E

est stable par g.

9. Soit K un corps et E = M

( K ) . Pour A ∈ E, on consid`ere l’application ϕ

: E → E d´efinie par ϕ

( M ) = AM. On munit E de sa base canonique des matrices

´el´ementaires E

pour i, j ∈ { 1, 2 } : ( E

, E

, E

, E

) . 1- Quelle est la matrice R

de ϕ

dans cette base ?

2- On suppose que A est semblable `a B. Montrer que R

et R

sont semblables.

10. Montrer que les matrices suivantes ne sont pas semblables.

A =









2 1 − 1

0 1 / 2 1

0 0 1









, B =









3 0 0

− 1 1 / 3 0

0 0 1









, C =









4 0 0

5 1 / 3 0

0 0 1







 .

3