2 Base du plan et coordonn´ ees d’un vecteur dans une base

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre I

G´ eom´ etrie dans le plan

Table des mati` eres

1 Colin´earit´e 2

2 Base du plan et coordonn´ees d’un vecteur dans une base 2

3 Critère de colinéarité 3

4 Changement de base 3

5 Repère du plan et coordonnées d’un point dans un repère 4

6 Changement de rep`ere 5

7 Orthogonalit´e 6

8 Produit scalaire, longueur, crit`ere d’orthogonalit´e et cosinus 6

9 Repr´esentations param´etriques d’une droite du plan 8

10 Positions relatives de deux droites du plan 9

11 ´Equations cart´esiennes d’une droite du plan 10

12 Projet´e orthogonal d’un point sur une droite du plan 11

13 Distance d’un point du plan `a une droite du plan 11

14 ´Equation cart´esienne d’un cercle 12

(2)

1 Colin´ earit´ e

D´efinition (vecteurs colin´eaires) :Soit−→u un vecteur du plan.

1. Si −→u 6=−→0 , alors on dit qu’un vecteur−→v du plan est colinéaire à −→u s’il existek∈Rtel que −→v =k−→u. 2. Si −→u =−→0 , alors tout vecteur−→v du plan est colinéaire à−→u.

Remarque : Soient−→u et −→v deux vecteurs du plan tels que−→v est colinéaire à −→u. Alors on peut vérifier que

−

→u est colinéaire à −→v. Aussi dira-t-on simplement, dans ce cas, que les vecteurs−→u et −→v sont colinéaires, sans nécessairement privilégier un vecteur par rapport à l’autre.

Notation :−→u //−→v signifie que−→u et −→v sont colin´eaires.

2 Base du plan et coordonn´ ees d’un vecteur dans une base

D´efinition (base du plan) :Une base du plan est un couple de vecteurs (−→i ,−→j) tel que les vecteurs−→i et−→j ne sont pascolin´eaires.

Propriété/Définition (coordonnées d’un vecteur dans une base) :Soit (−→i ,−→j) une base du plan. Pour tout vecteur−→u du plan, il existe un unique couple (x, y) de nombres réels tel que :

−

→u =x−→i +y−→j . Le couple (x, y) forme les coordonn´ees de−→u dans la base (−→i ,−→j).

Notation :Quand la base consid´er´ee est claire compte tenu du contexte (ce qui ne sera pas toujours le cas), la notation :

−

→u(x, y)

pourra être utilisée pour dire que−→u est le vecteur de coordonnées (x, y) dans cette base.

Exemple 1

−

→j

−

→i

−

→u

−

→v

1. Les coordonn´ees de −→u dans la base (−→i ,−→j) sont : 2. Les coordonn´ees de −→v dans la base (−→i ,−→j) sont :

Propriété (opérations sur les vecteurs et coordonnées dans une base) :Soit (−→i ,−→j) une base du plan.

1. Soient −→u1(x1, y1) et −u→2(x2, y2) deux vecteurs du plan. Alors les coordonn´ees du vecteur −→u1+−u→2 sont (x1+x2, y1+y2).

2. Soient −→u(x, y) un vecteur du plan etk∈R. Alors les coordonn´ees du vecteurk−→u sont (kx, ky).

Exemple 2 : Soit (−→i ,→−j) une base du plan. Soient−→u1(2,−1) et−u→2(−3,4).

1. Les coordonn´ees de −→u1+−→j dans la base (−→i ,−→j) sont :

(3)

2. Les coordonn´ees de −3

4−u→2dans la base (−→i ,−→j) sont : 3. Les coordonn´ees de −2−→u1+ 3−→u2 dans la base (−→i ,−→j) sont : 4. Les coordonn´ees de −→u1+−→u2+−→i −3−→j dans la base (−→i ,−→j) sont :

3 Crit` ere de colin´ earit´ e

D´efinition (d´eterminant d’une matrice 2×2): SoitM =

a b c d

une matrice 2×2 `a coefficients r´eels.

Le d´eterminant de la matriceM, not´e det(M) ou bien

a b c d

, est le nombre r´eel d´efini par :

det(M) =

a b c d

=ad−bc.

Exemple 3 :

6 9 4 5

=

Théorème 1 (critère de colinéarité) :Soit (−→i ,−→j) une base du plan. Soient−→u1(x1, y1) et−u→2(x2, y2). On a :

−→

u1//−→u2 ⇐⇒

x1 x2

y1 y2

= 0.

⋄ Exercice 1 : Soit (−→i ,−→j) une base du plan. Pour tout a ∈ R, on définit −u→a(a,3) et −→va(3, a). Déterminer l’ensemble des nombres réelsatels que −→ua et −→va soient colinéaires.

4 Changement de base

Définition (matrice de passage d’une base dans une autre) : SoientE = (−→e1,−→e2) etF = (−→f1,−→f2) deux bases du plan. On considère les coordonnées de −→f1 et−→f2 dans la base E. Si l’on note (p11, p21) les coordonnées de−→f1 dans la baseE et (p12, p22) les coordonnées de−→f2 dans la baseE, on a donc :

−

→f1=p11−→e1+p21−→e2 et −→f2 =p12−→e1+p22−→e2

oùpij ∈R,i, j∈J1,2K. La matrice de passage deE àF est la matrice notéePE,F définie par : PE,F =

p11 p12

p21 p22

.

Remarque :On conserve les notations de la précédente définition. On peut retenir la construction de la matrice PE,F de passage deE à F en se souvenant du schéma suivant :

−

→f1 −→f2

PE,F =

∗ ∗

∗ ∗ /−→e1

/−→e2

où l’on écrit sous−→f1 ses coordonnées verticalement dans la baseEet sous−→f2 ses coordonnées verticalement dans la baseE.

⋄ Exercice 2 :Soit (−→i ,−→j) une base du plan. On introduit quatre vecteurs :

−

→e1(1,1) ; −→e2(−1,2) ; −→f1(1,4) ; −→f2(1,7).

1. Montrer queE = (−→e1,−→e2) etF = (−→f1,−→f2) sont deux bases du plan.

2. Déterminer la matricePE,F de passage deE àF et la matricePF,E de passage deF à E.

(4)

3. Calculer le produit matricielPE,FPF,E. 4. Que peut-on d´eduire de la question 3 ?

Théorème 2 (inversibilité et inverse d’une matrice de passage d’une base à une autre) : Soient E= (−→e1,−→e2) etF= (−→f1,−→f2) deux bases du plan. Alors la matricePE,Fde passage deE àF est inversible et son inverse est la matricePF,E de passage deF à E. On a donc :

(PE,F)⁻¹=PF,E.

Démonstration :Elle sera donnée plus tard (cf. chapitreApplications linéaires).

Théorème 3 (changement de base): Soient E = (−→e1,−→e2) et F = (−→f1,−→f2) deux bases du plan. Soit −→u un vecteur du plan et soient (x1, y1) ses coordonnées dans la baseE et (x2, y2) ses coordonnées dans la baseF. On

a :

x1

y1

=PE,F

x2

y2

et

x2

y2

=PF,E

x1

y1

.

⋄ D´emonstration

Remarque :La matrice de passage deE `aF permet de calculer^≪simplement^≫ les coordonn´ees d’un vecteur

−

→u dans la baseE si l’on connaˆıt ses coordonn´ees dans la baseF. Il faut faire attention `a l’ordre des bases.

⋄ Exercice 2 (suite)

5. Soit−→u le vecteur de coordonnées (2,−5) dans la baseE. Déterminer les coordonnées de−→u dans la baseF. 6. Soit−→v le vecteur de coordonnées (−3,1) dans la baseF. Déterminer les coordonnées de−→v dans la base

E.

5 Rep` ere du plan et coordonn´ ees d’un point dans un rep` ere

Définition (repère du plan) :Un repère du plan est un triplet (O;−→i ,−→j) oùOest un point du plan (appelé origine du repère) et où (−→i ,−→j) est une base du plan.

Propriété/Définition (coordonnées d’un point dans un repère) : Soit (O;−→i ,−→j) un repère du plan.

Pour tout pointM du plan, il existe un unique couple (x, y) de nombres r´eels tel que :

−−→OM =x−→i +y−→j . Le couple (x, y) forme les coordonn´ees deM dans le rep`ere (O;−→i ,−→j).

Notation :Quand le repère considéré est clair compte tenu du contexte (ce qui ne sera pas toujours le cas), la notation :

M(x, y)

pourra être utilisée pour dire queM est le point de coordonnées (x, y) dans ce repère.

Propriété (coordonnées du milieu d’un segment) :Soit (O;−→i ,−→j) un repère du plan. SoientA(xA, yA) etB(xB, yB) deux points (distincts) du plan. Alors les coordonnées du milieuIdu segment [AB] dans le repère (O;−→i ,−→j) sont données par :

I

xA+xB

2 ,yA+yB

2

.

Propriété (coordonnées du vecteur−−→AB en fonction des coordonnées de A etB) :Soit (O;−→i ,−→j) un repère du plan. SoientA(xA, yA) etB(xB, yB) deux points (distincts) du plan. Alors les coordonnées du vecteur

−−→AB dans la base (−→i ,−→j) sont donn´ees par :

−−→AB(xB−xA, yB−yA).

(5)

Exemple 4

bO

−

→j

−

→i

bA

bB

1. Les coordonnées de Adans le repère (O;−→i ,−→j) sont : 2. Les coordonnées de B dans le repère (O;−→i ,−→j) sont :

3. Les coordonnées du milieuI du segment [AB] dans le repère (O;−→i ,−→j) sont : 4. Les coordonnées du vecteur −−→AB dans la base (−→i ,−→j) sont :

6 Changement de rep` ere

Théorème 4 (changement de repère) : Soient (E;−→e1,−→e2) et (F;−→f1,−→f2) deux repères du plan. SoitM un point du plan. On note :

• (xE, yE) les coordonn´ees deE dans le rep`ere (F;−→f1,−→f2) ;

• (xF, yF) les coordonn´ees deF dans le rep`ere (E;−→e1,−→e2) ;

• (x1, y1) les coordonn´ees deM dans le rep`ere (E;−→e1,→−e2) ;

• (x2, y2) les coordonn´ees deM dans le rep`ere (F;−→f1,−→f2).

Alors on a : x1

y1

= xF

yF

+PE,F

x2

y2

et

x2

y2

= xE

yE

+PF,E

x1

y1

.

o`uE d´esigne la base (−→e1,−→e2) etF la base (−→f1,−→f2).

⋄ D´emonstration

⋄ Exercice 3 :Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere du plan. On introduit :

Ω(2,−1) −→u(−1,1) −→v(6,−5).

1. Montrer que (Ω;−→u ,−→v) est un rep`ere du plan.

2. SoitM le point de coordonnées (1,−3) dans le repère (Ω;−→u ,−→v). Calculer les coordonnées deM dans le repère (O;−→i ,−→j).

3. Soit N le point de coordonnées (2,1) dans le repère (O;−→i ,−→j). Donner les coordonnées de N dans le repère (Ω;−→u ,−→v).

(6)

7 Orthogonalit´ e

D´efinition (vecteurs orthogonaux)

1. Soient −→u et −→v deux vecteurs non nuls du plan. On peut alors parler de la direction de chacun des deux vecteurs. On dit alors que −→u et −→v sont orthogonaux, si les directions de−→u et−→v sont perpendiculaires.

2. Si au moins l’un des deux vecteurs −→u et −→v du plan est nul, alors on dit que les deux vecteurs−→u et −→v sont orthogonaux.

Notation :−→u ⊥ −→v signifie que−→u et−→v sont orthogonaux.

Exemple 5

−

→u

−

→v

−

→w

−

→j

−

→i

1. Les vecteurs −→i et −→j sont-ils orthogonaux ? 2. Les vecteurs −→u et −→v sont-ils orthogonaux ? 3. Les vecteurs −→u et −→w sont-ils orthogonaux ? 4. Les vecteurs −→v et −→w sont-ils orthogonaux ?

8 Produit scalaire, longueur, crit` ere d’orthogonalit´ e et cosinus

D´efinition (produit scalaire dansR²) :Soient x1

y1

,

x2

y2

∈R². Le produit scalaire de x1

y1

et

x2

y2

, not´e

x1

y1

.

x2

y2

, est le nombre r´eel d´efini par : x1

y1

.

x2

y2

=x1x2+y1y2.

Contexte : Dans toute cette section, on fixe une base (−→i ,−→j) qui est orthonorm´ee, i.e. telle que les vecteurs

−

→i et−→j sont orthogonaux et de même norme. Ce choix induit une unité de longueur, i.e. une longueur étalon : la norme du vecteur−→i. Les vecteurs−→i et −→j ont ainsi une norme égale à 1.

D´efinition (produit scalaire) :Soient −→u1(x1, y1) et−→u2(x2, y2) deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de

−

→u1et −→u2 est le nombre réel noté−→u1.−u→2 défini par :

−

→u1.−u→2= x1

y1

.

x2

y2

=x1x2+y1y2.

Exemple 5 (suite) : Soit (O;−→i ,−→j) un repère du plan. On considère les vecteurs introduits sur la figure de l’exemple 5. La base orthonormée de référence est (−→i ,−→j).

(7)

5. Les coordonn´ees de −→u sont , et celles de−→v sont . On a donc :

−

→u .−→v =

6. Les coordonn´ees de −→w sont . On a donc :

−

→u .−→w =

Propriétés (algébriques du produit scalaire) 1. Soient −→u1 et−u→2 deux vecteurs du plan. Alors :

−→

u1.−→u2=−→u2.−u→1

2. Soient −→u1,−→u2et −→u3 trois vecteurs du plan. Alors :

−

→u1.(−→u2+−u→3) =−u→1.−→u2+−u→1.−→u3

3. Soient −→u1 et−u→2 deux vecteurs du plan et soitk∈R. Alors : (k−→u1).−→u2=k(−→u1.−u→2)

Théorème 5 (norme d’un vecteur et longueur d’un segment) 1. Soit−→u(x, y) un vecteur du plan. Sa norme||−→u|| est donnée par :

||−→u||=p

x²+y².

2. On fixe ici un point O du plan, d’où un repère orthonormé du plan : (O;−→i ,−→j). Soient A(xA, yA) et B(xB, yB) deux points du plan. La longueur du segment [AB], notéeAB, qui co¨ıncide avec la norme du vecteur −−→AB, est donnée par :

AB =||−−→AB||=p

(xB−xA)²+ (yB−yA)².

⋄ Exercice 4 :Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere orthonorm´e du plan. On introduit : A(2,−2) B(3,−5) C(5,−1).

Le triangleABC est-il isoc`ele ?

Théorème 6 (critère d’orthogonalité) :Soient−→u1 et−u→2deux vecteurs du plan. On a l’équivalence suivante.

−

→u1⊥ −→u2 ⇐⇒ −u→1.−→u2= 0

⋄ Exercice 4 (suite) :Le triangleABC introduit dans l’exercice 4 est-il rectangle ?

Théorème 7 (produit scalaire et cosinus) :Soient−u→1et−→u2deux vecteurs non nuls. On a l’égalité suivante.

−

→u1.−→u2=||−→u1|| × ||−→u2|| ×cos(−→u1;−→u2)

⋄ Exercice 5 :Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere orthonorm´e du plan. On introduit : A(1,√

2) B(2,0) C 2 +

√6 3 ,

√3 3

! .

Calculer une mesure de l’angle (−−→AB,−→AC).

(8)

9 Repr´ esentations param´ etriques d’une droite du plan

D´efinition (vecteur directeur d’une droite) :SoitDune droite et soientAet B deux points distincts de Dalors−−→AB est appel´e vecteur directeur deD.

Remarque :Un vecteur directeur d’une droite est non nul.

Exemple 6 :Repr´esentation graphique de trois vecteurs−u→1,−→u2,−→u3directeurs de la droiteDdonn´ee ci-dessous.

D

Propriété : Deux vecteurs directeurs d’une même droiteDsont colinéaires.

⋄ D´emonstration

Propriété (caractérisation d’une droite par un point et un vecteur directeur) : SoitD une droite, soitA un point deDet soit−→u un vecteur directeur deD. Alors

D=n

M appartenant au plan tels que−−→AM //−→uo .

D´efinition (droite passant par un point, dirig´ee par un vecteur non nul) :SoitAun point du plan et soit−→u un vecteur non nul du plan. Alors

nM appartenant au plan tels que−−→AM //−→uo .

est une droite et −→u en est un vecteur directeur. On l’appelle^≪la droite passant parA, de vecteur directeur

−

→u ^≫.

Théorème 8 (représentation paramétrique d’une droite du plan) : On fixe un repère (O;−→i ,−→j) du plan.

1. SoitDune droite, soitA(a, b) un point deDet soit−→u(α, β) un vecteur directeur deD. Alors D=

M(x, y)

∃t∈R

x = a+tα y = b+tβ

.

On dit que le syst`eme

x = a+tα

y = b+tβ est une représentation paramétrique deD, de paramètret.

(9)

2. R´eciproquement, si a, b, α, β sont des r´eels tels queαetβ ne sont pas tous les deux nuls, alors

M(x, y)

∃t∈R

x = a+tα y = b+tβ

est une droite du plan. C’est la droite qui passe parA(a, b) de vecteur directeur−→u(α, β).

⋄ Exercice 6 :Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere du plan.

1. Soient A(3,−5) et B(−1,3) deux points du plan. Donner une repr´esentation param´etrique de la droite (AB).

2. SoitDla droite passant par le pointC(1,−1) et dirig´ee par le vecteur−→u(1,−2).

(a) Donner trois points de la droiteD.

(b) Montrer que les pointsAetB appartiennent à la droiteD. Que peut-on en déduire ? (c) Montrer que le pointD(2,2) n’appartient pas à la droiteD.

10 Positions relatives de deux droites du plan

⋄ Lemme cl´e :Soit−→u un vecteur non nul du plan et soient−→v1 et −→v2 deux vecteurs du plan tels que −→u ⊥ −→v1 et

−

→u ⊥ −→v2. Alors−→v1//−→v2.

⋄ D´emonstration

D´efinition (vecteur normal) :SoitD une droite du plan. Un vecteur normal deDest un vecteurnon nul orthogonal `a un vecteur directeur de−→u.

Exemple 7 :Représentation graphique de deux vecteurs−n→1,−n→2 normaux à la droite Ddonnée ci-dessous.

D

Propriété (des vecteurs normaux à une même droite) 1. Toute droite admet un vecteur normal.

2. Deux vecteurs normaux à une même droite sont colinéaires.

D´emonstration

1. SoitDune droite et soitE une base orthonorm´ee du plan et soit−→u (a, b) un vecteur directeur deD. Alors

−

→n (−b, a) est orthogonal à −→u, donc normal àD. En effet, on a−→u .−→n = 0 (cf. critère d’orthogonalité).

(10)

2. C’est une cons´equence du lemme cl´e.

Th´eor`eme 9 (positions relatives de deux droites du plan) :SoientD¹ une droite du plan et soit−→u1un vecteur directeur et−n→1 un vecteur normal deD¹. SoientD² une droite du plan, et soit−u→2 un vecteur directeur et−n→2 un vecteur normal de D².

D¹//D² ⇐⇒ −→u1//−→u2

⇐⇒ −→n1//−n→2

⇐⇒ −→u1 ⊥ −n→2

⇐⇒ −→u2 ⊥ −n→1

D¹ ⊥ D² ⇐⇒ −u→1 ⊥ −→u2

⇐⇒ −n→1 ⊥ −n→2

⇐⇒ −u→1//−n→2

⇐⇒ −u→2//−n→1

Théorème 10 (intersection de deux droites du plan) :SoientD¹etD²deux droites du plan. Concernant l’intersectionD¹∩ D², on a les trois possibilités suivantes.

1. D¹∩ D²=∅ (ce qui est ´equivalent `aD¹//D²et D¹6=D²),

2. D¹∩ D²ne contient qu’un élément (ce qui est équivalent à D¹et D² ne sont pas parallèles), 3. D¹∩ D²contient une infinité de points (ce qui équivaut à D¹=D²et doncD¹∩ D²=D¹).

⋄ Exercice 7 :Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere du plan. On introduit trois points : A(2,−4) ; B(5,−2) ; C(11,3).

A tout` a∈R, on associe le vecteur−u→a(1, a) et la droiteDâ qui passe parCet qui est dirigée par−u→a. 1. Déterminer l’ensemble desadansRtels que les droites (AB) etDâ soient perpendiculaires.

2. Déterminer l’ensemble desadansRtels que les droites (AB) etDâ soient parallèles.

3. Existe-t-il un r´eelatel que les droites (AB) etD^a soient confondues ?

11 Equations cart´ ´ esiennes d’une droite du plan

Contexte :Jusqu’à la fin de ce chapitre, on fixe un repère (O;−→i ,−→j) qui est orthonormé, i.e. tel que les vecteurs

−

→i et−→j sont orthogonaux et de mˆeme norme.

Théorème 11 (équations cartésiennes d’une droite du plan)

1. Soit D une droite du plan et soit−→n (a, b) un vecteur normal de D. Alors il existe un nombre r´eel c tel que :

D={M(x, y) |ax+by+c= 0}. On dit que l’équationax+by+c= 0 est une équation cartésienne deD.

2. R´eciproquement, si a, b, csont des r´eels tels queaetb ne sont pas tous les deux nuls, alors {M(x, y) |ax+by+c= 0}

est une droite du plan dont−→n (a, b) est un vecteur normal.

⋄ D´emonstration

⋄ Exercice 8 :Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere orthonorm´e du plan.

1. Soient A(1,−3) etB(2,1).

(a) Donner une ´equation cart´esienne de la droite (AB).

(b) Le pointC(2,3) appartient-il à la droite (AB) ? 2. SoitD¹la droite de représentation paramétrique

x = 2 + 8t y = −3−2t .

(11)

(a) Donner une équation cartésienne de la droiteD¹. (b) Étudier la position relative des droites (AB) et D¹. 3. SoitD²la droite d’équation cartésienne

x+ 4y−12 = 0.

(a) Donner une repr´esentation param´etrique de la droiteD². (b) Donner deux points distincts de la droiteD².

(c) Étudier la position relative des droitesD¹etD². Que peut-on en déduire quant à la position relative des droites (AB) etD²?

12 Projet´ e orthogonal d’un point sur une droite du plan

Théorème 12 (existence et unicité du projeté orthogonal d’un point sur une droite) :SoitD une droite de vecteur directeur −→u et soitA un point du plan. Alors il existe un unique point A^′ du plan, appelé projeté orthogonal deAsurD, tel que







A^′∈ D et −−→

AA^′ ⊥ −→u .

D

−

→u

bA

b

A^′

⋄ Exercice 9 :Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere orthonorm´e du plan. On introduit trois points : A(2,4) ; B(1,−4) ; C(7,−1).

1. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonalA^′ deAsur la droite (BC).

2. Donner une repr´esentation param´etrique de la droite (BC).

3. Montrer que siM est un point de la droite (BC), alors la distanceAM est minimale quandM =A^′.

13 Distance d’un point du plan ` a une droite du plan

Définition (distance d’un point du plan à une droite du plan) :SoitDune droite du plan de vecteur directeur−→u et soitAun point du plan. La distance deAàD, notéed(A,D), est par définition la longueurAA^′, oùA^′ est le projeté orthogonal deAsurD. C’est la plus petite des longueursAM, oùM est un point deD. Théorème 13 (formule de la distance d’un point du plan à une droite du plan) :SoitDune droite d’équation cartésienneax+by+c= 0. SoitA(x0, y0) un point du plan. On a l’égalité suivante.

d(A,D) =|ax0+by0+c|

√a²+b² .

(12)

⋄ Exercice 9 (suite)

4. Calculer de deux fa¸cons la distance du pointA`a la droite (BC).

14 Equation cart´ ´ esienne d’un cercle

Théorème 14 (équation cartésienne de cercle)

1. SoitC un cercle (non r´eduit `a un point), soit Ω (a, b) son centre et soitr∈R^+∗ son rayon. Alors C=

M(x, y)|(x−a)²+ (y−b)²=r² . On dit que (x−a)²+ (y−b)²=r² est l’équation cartésienne du cercleC. 2. Réciproquement, soienta, b∈Retr∈R^+∗. Alors

M(x, y)|(x−a)²+ (y−b)²=r² est un cercle ; son centre a pour coordonn´ees (a, b) et son rayon estr.

⋄ D´emonstration

⋄ Exercice 10 :Soit (O;−→i ,−→j) un rep`ere orthonorm´e du plan.

1. (a) Donner l’´equation cart´esienne du cercleC de centre Ω(5,−2) et de rayon 3.

(b) SoientA(2,−3) etB(5,−7). D´eterminer l’intersection du cercleC et de la droite (AB). Que peut-on en d´eduire ?

2. SoitE l’ensemble des points M(x, y) du plan tels que :

x²−6x+y²+ 4y−12 = 0.

Montrer queE est un cercle dont on pr´ecisera le centre et le rayon.