1. Soient (x, y, z, t) les coordonn´ ees canoniques sur R

(1)

MM022 G´ eom´ etrie diff´ erentielle 2016–2017

Devoir Maison 2

Distribu´ e le 18 novembre 2016, ` a rendre le 25 novembre 2016

1. Soient (x, y, z, t) les coordonn´ ees canoniques sur R

⁴

. Consid´ erons

α = dx + dy + dz + dt ∈ Ω

¹

(R

⁴

), ω = dx ∧ dy + dz ∧ dt ∈ Ω

²

(R

⁴

).

Calculer

α ∧ α, α ∧ ω, ω ∧ ω, ω ∧ ω ∧ ω.

2. Soient (x, y, z, t) les coordonn´ ees canoniques sur R

⁴

, avec (dx, dy, dz, dt) la base duale de la base canonique de R

⁴

. Notons

ω = dx ∧ dy + dz ∧ dt ∈ A

₂

( R

⁴

).

(i) Montrer que, pour tout v ∈ R

⁴

, il existe w ∈ R

⁴

tel que ω(v, w) > 0.

(ii) Montrer que l’application R

⁴

→ R

⁴

, v 7→ ω(v, ·) est un isomorphisme lin´ eaire.

(iii) Soit V ⊂ R

⁴

un sous-espace vectoriel. L’on note

V

^⊥^ω

= {w ∈ R

⁴

: ∀ v ∈ V, ω(v, w) = 0}.

Montrer que dim V

^⊥^ω

= 4 − dim V .

(iv) Donner des exemples de sous-espaces vectoriels V tels que : – V

^⊥^ω

= V .

– V

^⊥^ω

∩ V = {0}.

– V

^⊥^ω

( V et dim V < 4.

– V

^⊥^ω

) V et dim V > 0.

3. Soient (x, y) les coordonn´ ees canoniques sur R

²

et (r, θ) ∈ ]0, ∞[×]0, 2π[ les coordonn´ ees polaires sur R

²

\ [0, ∞[ × {0}. Montrer les identit´ es

dx = cos θdr − r sin θdθ, dy = sin θdr + r cos θdθ,

et

dr = x

p x

²

+ y

²

dx + y

p x

²

+ y

²

dy, dθ = − y

x

²

+ y

²

dx + x x

²

+ y

²

dy.

Pr´ eciser les points auxquels ces identit´ es ont lieu.

4. Consid´ erons la 1-forme

α = − y

x

²

+ y

²

dx + x

x

²

+ y

²

dy ∈ Ω

¹

(R

²

\ {(0, 0)}).

Soit S(R) le cercle de centre (0, 0) et de rayon R > 0 dans R

²

. Calculer Z

S(R)

α.

5. Consid´ erons l’hyperbolo¨ıde ` a une nappe

H = {(x, y, z) ∈ R

³

: x

²

+ y

²

= 1 + z

²

}.

Dessiner H. Justifier que H est une sous-vari´ et´ e de R

³

de dimension 2.

Construire un champ de vecteurs complet sur R

³