Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x3 −x = xe −xln 3 = x e x ln 3 . 1. (a) Limite de h en −∞ :

TS Fiche TP 13 _2011-2012

Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x3 ^−x = xe ^{−xln 3} = x e ^{x ln 3} . 1. (a) Limite de h en −∞ :

x→−∞ lim

− x ln 3 = + ∞

X→+∞ lim e ^X = + ∞

) (composition)

x→−∞ lim e ^{−xln 3} = + ∞

x→−∞ lim x = −∞

) (produit)

x→−∞ lim xe ^{−x ln 3} = + ∞ donc h(x) −→

x→−∞ + ∞ (b) Limite en + ∞ de la fonction :

x 7−→ x ln 3 e ^{xln 3}

x→+∞ lim e ^x

x = + ∞

X→+∞ lim 1 X = 0



 

 

(composition)

X→+∞ lim X e ^X = 0

x→+∞ lim x ln 3 = + ∞







(composition)

x→+∞ lim x ln 3 e ^{x ln 3} = 0

Or h(x) = 1

ln 3 × x ln 3 e ^{x ln 3} donc :

x→+∞ lim x ln 3

e ^{x ln 3} = 0 ⇒ lim

x→+∞ h(x) = 0

2. Sens de variation de h sur R : ∀ x ∈ R , h ^′ (x) = e ^{−x ln 3} + x( − ln 3)e ^{−xln 3} = (1 − x ln 3)e ^{−x ln 3} . Comme ∀ x ∈ R , e ^{−x ln 3} > 0, le signe de h ^′ (x) dépend du signe de 1 − x ln 3.

h ^′ (x) = 0 ⇔ 1 − x ln 3 = 0 ⇔ x = 1

ln 3 . On peut résumer les signes dans le tableau suivant : x

Signe de h ^′ (x) Variations

de h

−∞ ¹

ln 3 + ∞

+ 0 −

−∞

−∞

h _{ln 3} ¹ h _{ln 3} ¹

00

3. Équation de la tangente T 0 en 0 à C ^h : y = h ^′ (0)(x − 0) + h(0) ⇔ y = x . 4. Courbe de h et T 0 dans le repère orthogonal ci-dessous.

b bb

1 y = x

C ^h

1 ln 3

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