Exercice 3 :Soit h la fonction définie sur ] - ∞ ; 10] par h ( x ) = x3– x2– 1 . 1) La fonction h est-elle continue ?
2) Calculer h ' puis étudier son signe.
3) En déduire le tableau de variation de h.
Si vous n'avez pas réussi la question précédente, utilisez votre calculatrice pour trouver le tableau de variation de h.
4) Déterminer la limite de la fonction h en - ∞.
5) Démontrer que l'équation h ( x ) = 0 n'admet pas de solution sur l'intervalle ] - ∞ ; 1] . 6) Démontrer que l'équation h ( x ) = 0 admet une seule solution sur l'intervalle [ 1 ; 10] . 7) A l'aide de la calculatrice, donner un encadrement de cette solution à 10-2 près.
On définie la fonction m sur ] - ∞ ; 1] par m(x ) = h1x . 8) Déterminer la limite de la fonction m en - ∞.
Correction exercice 3:
1) h est une fonction polynôme donc continue sur ℝ.
2) h ' ( x ) = 3 x2 - 2 x = x ( 3 x – 2 )
h' est un polynôme du second degré: du signe de a = 3 à l'extérieur des racines ( 0 et 2 3 ).
On peut faire le tableau de signe :
x –∞ 0 3
2 +∞
f(x) + 0 – 0 +
3) Tableau de variation:
x –∞ 0 2
3 +∞
f'(x) + 0 – 0 +
f(x)
-1
–31 27 A la calculatrice, on trouve h( 2
3 ) = –31 27
4) h est un polynôme donc limx−∞ h(x) = limx−∞ x3 = - ∞ 5) h(1) = 1 – 1 – 1 = - 1
Sur l'intervalle ] - ∞ ; 1 ] , d'après le tableau de variations, h admet donc un maximum local en 0 et en 1 : -1 négatif donc l'équation h(x) = 0 n'admet aucune solution sur l'intervalle ] - ∞ ; 1 ].
6) h(10) = 10^3 – 10^ 2 – 1 =1000 – 100 – 1 = 899
h(1) = -1 < 0 < h(10) et sur l'intervalle [ 1 ; 10 ] , la fonction h est continue, strictement croissante donc , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h(x) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [ 1 ; 10 ] .
7) Avec la calculatrice : h(1,46) < 0 < h(1,47 ) donc 1,46 est une solution approchée à 10– 2 de l'équation h(x) = 0.
8) m est une fonction composée des fonctions h puis de la fonction inverse:
limx −∞ h(x) = - ∞ et comme limx −∞ 1
x = 0 alors limx −∞ h1
x = 0
