+ x+ 1)⩾ln( x + 2); b) ln ( x−3 )+ ln ( x+ 1)=ln ( x

Classe : T S

Pour réviser pour l’oral – Fonction ln Exercice 1

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

a) ln( x

+ x+ 1)⩾ln( x + 2); b) ln ( x−3 )+ ln ( x+ 1)=ln ( x

+ 5) ; c) (ln x )

−3 ln x + 2= 0 Pour le c), on pourra poser X = ln x ….

Exercice 2

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1) Déterminer lim

x→+ ∞

ln ( x

+ 3 x − 4 x

− 1 ) .

2) Simplifier A =ln ( ^{1 2} ) ^{+ ln} ( ^{2 3} ) ^{+ ln} ( ^{3 4} ) ^{et B= ln} ( ^{1 2} ) ^{+ ln} ( ^{2 3} ) ^{+ …+ ln} ( ^{98 99} ) ^{+ ln} ( ^{100 99} ) ^.

Exercice 3

1) Soit f la fonction définie sur ]0;+ ∞ [ par f ( x )=1− x−2 ln (x ) . a) Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b) Dresser le tableau de variations de f .

c) Calculer f ( 1 ) . En déduire le signe de x suivant les valeurs de x . 2) Soit g la fonction définie sur ]0;+∞[ par ^{g ( x)= x+ ln x}

x

. a) Déterminer les limites de g en 0 et en +∞.

b) Exprimer g ' ( x ) en fonction de f ( x ) . c) Dresser le tableau de variations de g .

Correction Exercice 1

a) ln ( x

+ x + 1 )⩾ ln ( x + 2 )

* _{ln( x}

_{+ x+ 1)} est définie ssi _x

_{+ x+ 1> 0} .

x

+ x+ 1 :  = -3 → « toujours du signe de a ». Pour tout réel x , _x

_{+ x+ 1> 0}

* ln( x+ 2) est définie ssi x + 2 > 0 ssi x > − 2 .

* Soit x un réel tel que x> −2 .

ln ( x

+ x + 1 )⩾ ln ( x + 2 ) ssi _x

_{+ x+ 1⩾x+ 2} ssi _x

_−1⩾0 ssi ( x + 1 )( x − 1 )⩾ 0

x –∞ –1 1 +∞

x

−1 + 0 – 0 +

On veut x ∈ ]-2;+ ∞ [ et x ∈ ]–∞ ;-1] ∪ [1;+∞[ . S=]-2;-1] ∪ [1;+∞[.

b) ln ( x − 3 )+ ln ( x + 1 )= ln ( x

+ 5 )

* ln( x − 3 ) est définie ssi x − 3 > 0 ssi x > 3 .

* ln( x+ 1) est définie ssi x + 1 > 0 ssi x > − 1 .

* _ln( x

+ 5) est définie ssi x

+ 5 > 0 . Or pour tout réel x , x

⩾ 0 puis x

+ 5 ⩾ 5 > 0 .

* Soit x ∈ ]3;+∞[.

ln ( x−3)+ ln ( x+ 1)=ln ( x

+ 5 ) ssi ln (( x−3)( x+ 1))=ln (x

+ 5) ssi x

+ x−3 x−3= x

+ 5 ssi −2 x=8 ssi x=−4

Or -4 ∉ ]3;+ ∞ [ donc l'équation n'a pas de solution.

c) ₍ ln x )

− 3 ln x + 2 = 0 .

Posons X=ln x pour x strictement positif.

L'équation devient X

−3 X+ 2=0 .

 =1 ; 2 racines 2 et 1.

Résolvons maintenant ln x = 2 et ln x = 1 .

ln x= 2 ssi x = e

et ln x=1 ssi x=e

S={e

; e }

Exercice 2

1) Soit x> 4 alors x

−1> 4−1> 0 et x

+ 3 x−4> 16+ 12−4> 0 donc le logarithme est définie.

Posons X = x

+ 3 x −4 x

− 1 . lim

x→+ ∞

X = lim

x→+ ∞

x

+ 3 x−4 x

−1 = lim

x→+ ∞

x

x

=

^lim

¹⁼¹ et ^lim

^{ln X =ln 1=0} donc par limite de fonction composée, lim

x→+ ∞

ln ( x

+ 3 x−4 x

− 1 )= 0 .

2) A = ln ( ^{1 2} ) ^{+ ln} ( ^{2 3} ) ^{+ ln} ( ^{3 4} ) ^{= ln} ( ^{1 2 × 2 3 × 3 4} ) ^{= ln} ( ^{1 4} ) ^{=− ln 4 =− 2 ln 2}

B= ln ( ^{1 2} ) ^{+ ln} ( ^{2 3} ) ^{+ …+ ln} ( ^{98 99} ) ^{+ ln} ( ^{100 99} ) ^=ln ( ^{1 2 × 2 3 ×…× 100 99} ) ^=ln ( ^{100 1} ) =−ln 100=−2 ln 10 Exercice 3

1) a) * ^lim

^{ln ( x )=−∞} puis ^lim

^{−2 ln ( x )=+ ∞} et ^lim

^{1− x=1} , on en déduit par limite de somme, lim

x→0

f ( x)=+ ∞ .

*

^lim

^{ln ( x)=+ ∞} puis

^lim

^{−2 ln ( x)=−∞} et

^lim

^{1− x=−∞} , on en déduit par limite de somme, lim

x→+ ∞

f (x )=−∞ .

b) f est dérivable sur ]0;+∞[. Pour ^x ∈ ]0;+∞[ : f ' ( x)=−1− 2

x =− x−2

x .

x> 0 donc f ' ( x ) est du signe de − x−2 . − x−2> 0 ssi x< −2 .

x 0 +∞

f ' ( x) –

f ( x ) +∞

–∞

c) f (1)=1−1−2 ln (1)=0 .

x 0 1 +∞

f ( x ) + 0 –

2) a) * D'une part, ^lim

^{ln (x )=−∞} et ^lim

^x=0 donc par limite de somme, ^lim

^{x+ ln x=−∞} , D'autre part, ^lim

^x

^{= 0}

.

D'où , par limite de quotient, ^lim

^{g ( x )=−∞} . * FI « ∞/∞ »

Pour tout réel x strictement positif, ^{g ( x)= x} x

+ ln x

x

= 1 x + ln x

x

. ^lim

x→+ ∞

1

x = 0 et lim

x→+ ∞

ln x

x

= 0 donc par limite de somme,

^{lim g ( x)=0} . b) g est dérivable sur ]0;+ ∞ [. Pour x ∈ ]0;+ ∞ [ :

g ' ( x )= ( ^{1 + 1 x} ) ^{× x}

^{−( x + ln x )× 2 x}

x

.

g ' ( x )= x

+ x − 2 x

− 2 x ln x

x

=− x

+ x − 2 x ln x

x

=− x + 1 − 2 ln x

x

= f ( x)

x

.

c) Pour tout réel x> 0 , _x

_{> 0} donc g ' ( x ) est du signe de f ( x ) .

x 0 1 +∞

g ' ( x ) + 0 –

g

–∞

1

0