Donnée : ∀ ∈ x \ ∗ + , ∀ ∈ y \ ∗ + , ln ( ) xy = ln ( ) x + ln ( ) y . Montrer que :

Mathématiques TS5 2015-2016 ln et exp IE4 Lundi 01 février

Interrogation N°4 La calculatrice est autorisée.

Exercice N°1 (3 points) – Question de cours

Donnée : ∀ ∈ ^x \ ^∗ + ^, ∀ ∈ ^y \ ^∗ + ^{, ln} ( ) ^xy = ^ln ( ) ^x + ^ln ( ) ^y . Montrer que :

• ^{x , ln 1 ln} ( ) ^x

x

∗

+ ⎛ ⎞

∀ ∈ \ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = −

• ^{x , y , ln x ln} ( ) ^{x ln} ( ) ^y

y

∗ ∗

+ +

∀ ∈ ∀ ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −

\ \ ⎝ ⎠

Exercice N°2 (2+4 points)

Résoudre les inéquations :

(

)

ln x − > 1 0 et ^{ln 4} ( ^x

^{− ≥ 9} ) ( ^{ln x}

^{− 4 x + 3} )

Exercice N°3 (1+2+2 points)

Donner les fonctions dérivées des fonctions suivantes sur les intervalles précisés :

( ) ^ln ( )

f x = x sur \ ^∗ ₋

( ) ^{ln ln} ( ( ) )

g x = x sur ] ^{1 ; + ∞} [ ( ) ^ln

¹

h x = e + sur \

Exercice N°4 (6 points)

Soit la fonction f définie par : ( )

^ln

¹

f x = x x − x + 2 . 1. Déterminer le domaine de définition D

^{de f.}

2. Déterminer les limites de f aux bornes de D

3. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

4. Montrer que l’équation ^{f x} ( ) ^{= 0} admet deux solutions dans D

: la première, α , dans 0 ; e

⎤ ⎤

⎦ ⎦ et la seconde, β , dans ⎡ ⎣ e e ; ⎤ ⎦ .

5. A l’aide de votre calculatrice (on précisera succinctement la démarche), donner des

valeurs approchées à 10 ⁻

près de α et β .