Licence L3
Analyse Numérique Avril 2011, 3 heures
Université de Cergy-Pontoise Examen Mathématiques Le barême est indicatif.
Toute utilisation d’appareil numérique (tlph portable, calculette, etc.) est formellement interdite !
1. (6 pts) On considère la fonctionf(x) = ln(x)sur l’intervalle[1,2].
(a) Montrer quef est concave.
(b) Déterminer la meilleure approximationP d’ordre 1 pour la norme uniformek · k∞. (c) Que vaut la distancekf −Pk∞?
(d) Faire une esquisse illustrative des graphes def et deP qui fait apparaître la distancekf −Pk∞.
2. (6 pts) On considère la fonctionf(x) = 1−x4 sur l’intervalleI = [−1,1]. On définit le produit scalaire habituellehf1, f2i=R1
−1f1(t)f2(t)dtainsi que la norme quadratique :kfk2=p hf, fi.
(a) Déterminer un polynôme d’interpolationL∈R2[X]de Lagrange d’ordre 2 def aux points−1,0,1. Que peut-on dire sur l’unicité deL?
(b) Déterminer c ∈ Rpour que les trois polynômes P0(X) = 1, P1(X) = X, P2(X) = X2 −c, soient orthogonaux entre eux. Déterminer aussihP0, P0i,hP1, P1iethP2, P2i.
(c) Montrer qu’il y a un unique polynômeP ∈R2[X]qui minimisekf −Pk2. On exprimeP sous la forme P(X) =c0P0(X) +c1P1(X) +c2P2(X)et détermine les constantes,c0, c1etc2.
(d) Montrer sans effectuer de calculs que les deux polynômesLetP vérifient : kf−Lk2=kf−Pk2+kP−Lk2.
3. (8 pts) SoitK >0. On considère l’équation différentielle suivante
(∗)
y0(t) = −Ky+ cos(y) , t≥0
y(0) = 0
On admettra que la solution est définie pour toutet≥0. On va étudier deux schemas pour approcher la solution de(∗)sur l’intervalle du tempst∈[0, T]. On utiliseN pas de tailleh=T /N >0.
(a) Décrire un schema (A) pour la méthode d’Euler explicite pour(∗).
(b) Décrire une boucle en languagescilabqui implemente ce schema A (3 lignes suffisent).
Schema (B) [Euler semi-explicite] :z0 = 0etzn+1−zn
h +Kzn+1= cos(zn),n≥0.
(c) Donner la fonctionΦ(y, h)pour que le schema (B) soit sous la forme :zn+1=zn+hΦ(zn, h).
(d) Montrer que|zn| ≤ K1 pour tout0≤n≤N.
(e) Montrer que le schema B est consistant avec l’équation différentielle et qu’il est stable.
(f) Conclure que la solutiony(t)de(∗)vérifie|y(T)| ≤1/Kpour toutT >0.
