ln ln ln ln

PanaMaths Avril 2015

Montrer que l’on a :

( ) ( ) ( )

ln ln ln ln

x e

t dt

x x

∫ ^∼

Analyse

On peut facilement transformer l’intégrale grâce à une intégration par parties…

Résolution

Dans ce qui suit, on travaille sur l’intervalle

[

]

On pose ^{u t}

( )

( ( )

)

( ) ( ) ( )

1 ' 1

ln ln

u t t

t t t

= = .

Par ailleurs, la fonction constante qui prend la valeur 1 admet comme primitive sur l’intervalle considéré la fonction identité (par exemple). Il vient donc, en intégrant par parties :

( ( ) ) ( ^{( )} ) _{( )}

( ( ) ) ( ( ) ) _{( )}

( ( ) ) ^{( )}

ln ln ln ln 1

ln ln ln ln ln 1

ln

ln ln ln 1

x x

x e

e e

x

e

t dt t t t dt

t t

x x e e dt

t

x x e

⎡ ⎤

= ×⎣ ⎦ − ×

= − −

= −

∫ ∫

∫

( )

( ( ) ) _{( )}

1 ln ln ln 1

ln

x

e x

e

t dt

x x dt

t

−

= −

∫

∫

Pour x>e, on a alors :

( ( ) )

( ( ) ) ( ^{( ) ( )} )

ln ln 1

1 ln

ln ln ln ln

x x

e e

dt t dt

t

x x = − x

∫

∫

.

Pour tout réel x dans

[

]

( )

( )

( )

On en déduit alors :

1

( )

0 1

ln

x x

e e

dt dt x e

≤

∫

∫

PanaMaths Avril 2015

D’où :

( )

( ( ) ) ( ^{( )} )

1 0 ln

ln ln ln ln

x

e

t dt x e

x x x x

≤

∫

.

Comme ^{lim ln}

( )

x x

→+∞ = +∞, il vient (composition) : _x^{lim ln ln}_→+∞

( ( )

)

On a par ailleurs (limite d’une fonction rationnelle) : lim lim 1

x x

x e x

x x

→+∞ →+∞

− = = .

Ainsi (produit) :

( ( ) ) (

^{( )} )

lim lim 1 0 0

ln ln ln ln

x x

x e x e

x

x x x

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

− = ⎜⎜⎝ − × ⎟⎟⎠= × = .

Le théorème d’encadrement nous permet finalement de conclure :

( )

( ( ) )

1

lim ln 0

ln ln

x

e x

t dt

x x

→+∞

∫

.

Il vient alors :

( ( ) )

( ( ) ) ( ^{( ) ( )} )

ln ln 1

lim lim 1 ln 1 0 1

ln ln ln ln

x x

e e

x x

dt t dt

t

x x x x

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ − ⎟= − =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫

∫

, c’est-à-dire :

( ( ) ) ( ( ) )

ln ln ln ln

x

e

t dt x x

∫

Résultat final

( ( ) ) ( ^{( )} )

ln ln ln ln

x

e

t dt x x

∫