lim ln 1 ln

PanaMaths Janvier 2015

Déterminer :

( )

^ln

lim ln 1 ln

x x x

x

→+∞

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+

Analyse

Dans un premier temps, on peut procéder à une analyse de la situation. Cette analyse conduit à une forme indéterminée que l’on lève en considérant le logarithme népérien de l’expression dont on cherche la limite.

Résolution

On a, pour tout x réel strictement positif :

( )

^{ln 1 1 ln ln 1 1 ln 1 1}

ln 1 1

ln ln ln ln

x x

x x x x

x x x x

⎡ ⎛⎜ + ⎞⎟⎤ + ⎛⎜ + ⎞⎟ ⎛⎜ + ⎞⎟

⎢ ⎥

+ = ⎣ ⎝ ⎠⎦ = ⎝ ⎠ = + ⎝ ⎠

Comme 1

lim ln 1 ln1 0

x^→+∞ x

⎛ + ⎞= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ (composition et continuité du logarithme népérien en 1) et

lim ln

x x

→+∞ = +∞, il vient (rapport) :

ln 1 1

lim 0

ln

x

x

→+∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ = et donc :

( )

^{ln 1 1}

lim ln 1 lim 1 1

ln ln

x x

x x

x x

→+∞ →+∞

⎡ ⎛⎜ + ⎞⎟⎤

⎢ ⎥

+ = ⎢ + ⎝ ⎠⎥=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Par ailleurs, on a immédiatement, chaque facteur tendant vers +∞ quand x tend vers +∞ :

( )

lim ln

x x x

→+∞ = +∞.

Nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type : « 1^∞ ».

PanaMaths Janvier 2015

Pour tout x réel strictement positif, on pose :

( )

^{ln 1}

( )

^ln

ln

x x

x x

ϕ _{= ⎜}^{⎛ +}x ^⎞_⎟

⎝ ⎠ et :

( ) ( )

^{ln 1}

( )

^{ln ln 1}

( )

^{ln 1 1}

ln ln ln ln ln ln 1

ln ln ln

x x

x x x

x x x x x x

x x x

ϕ

⎡ ⎛⎜ + ⎞⎟⎤

⎡⎛ + ⎞ ⎤ ⎛ + ⎞ ⎢ ⎝ ⎠⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Φ = ⎡⎣ ⎤⎦= ⎢⎣⎜⎝ ⎟⎠ ⎥⎦= × ⎜⎝ ⎟⎠= × ⎢⎢⎣ + ⎥⎥⎦

Comme

ln 1 1

lim 0

ln

x

x

→+∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ = , on a :

1 1

ln 1 ln 1

ln 1 ln ln

x x

x ^+∞ x

⎡ ⎛⎜ + ⎞⎟⎤ ⎛⎜ + ⎞⎟

⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎝ ⎠

⎢ + ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∼ et donc :

( )

1 1

ln 1 ln 1

ln ln 1 ln ln 1 1

ln ln

x x

x x x x x x

x ^+∞ x x

⎡ ⎛⎜ + ⎞⎟⎤ ⎛⎜ + ⎞⎟

⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎢ ⎥

Φ = × ⎢ + ⎥ × = × ⎜⎝ + ⎟⎠

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∼

Or, on a classiquement : 1 1 ln 1 x ^+∞x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠∼ et donc : 1 1

ln 1 1

x x

x ^+∞ x

⎛ ⎞

× ⎜⎝ + ⎟⎠∼ × = , c'est-à-dire :

( )

¹

lim lim ln 1 1

x x x x

→+∞ →+∞ x

⎡ ⎛ ⎞⎤

Φ = ⎢⎣ × ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦= .

Comme ^ϕ

( )

^{x =eΦ( )x} , on a finalement (composition et continuité de l’exponentielle en 1) :

( )

^{lim ( ) 1}

lim ^{x x}

x ϕ x e^→+∞Φ e e

→+∞ = = = .

( )

^ln

lim ln 1 ln

x x

x

x e

→+∞ x

+

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

Résultat final

( )

^ln

lim ln 1 ln

x x

x

x e

→+∞ x

+

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠