PanaMaths Février 2002
Déterminer :
(
2)
lim ln
x→+∞
x − x
Analyse
Il convient ici de faire apparaître une expression dont la limite en +∞ est classique. Pour cela, on peut noter que lnx et ln
( )
x2 diffèrent « peu » …Résolution
Comme suggéré, nous cherchons à faire apparaître une limite connue.
On utilise : ∀ >x 0, ln
( )
x2 =2 lnx.Il vient alors :
( ) ( )
22 2 2 2
2
1 1ln
ln ln 1
2 2
x
x x x x x
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− = − = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
On connaît la limite classique : ln
lim 0
t
t
→+∞ t
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ . Ici, en posant x2=t, on a :
( )
22
ln ln
lim lim 0
x t
x t
x t
→+∞ →+∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟=
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
On en déduit donc :
( )
22
1 ln
lim 1 1 0 1
2
x
x
→+∞ x
⎛ ⎞
⎜ − ⎟= − =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Comme : lim 2
x x
→+∞ = +∞, il vient finalement :
(
2)
2( )
22
1ln
lim ln lim 1
2
x x
x
x x x
→+∞ →+∞ x
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎟
− = − = +∞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
PanaMaths Février 2002
Résultat final
(
2)
lim ln
x x x
→+∞ − = +∞
