PanaMaths Décembre 2001
Déterminer :
( )
0 2
ln cos lim
xx
→
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Analyse
Comme nous avons :
( )
0
lim cos cos 0 1
x x
→ = = , il vient
( )
0
lim ln cos 0
x x
→ = . Nous sommes
confrontés à une forme indéterminée du type « 0 0 ».
Nous proposons ici deux approches : la première vise à transformer le cosinus en utilisant une égalité classique de trigonométrie ; la seconde fait appel aux équivalents de fonctions.
Résolution
1
èreapproche : transformer le cosinus
On a : cos 1 2 sin2 2
x= − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠x . On a donc :
( )
22 2
ln 1 2sin
ln cos 2
x x
x x
⎛ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
= .
Lorsque x tend vers 0, la quantité 2 sin2 2
⎛ ⎞x
− ⎜ ⎟⎝ ⎠ tend également vers 0.
Or, nous disposons du résultat classique :
( )
0
lim ln 1 1
h
h
→ h
⎛ + ⎞
⎜ ⎟=
⎝ ⎠ .
On va donc faire apparaître une expression de ce type :
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
ln 1 2 sin ln 1 2 sin 2 sin
2 2 2
2 sin 2
ln 1 2 sin sin ln 1 2 sin
2 2
1 2 1
2 2
2 sin 2 sin
2 2 2
x x x
x x x
x x x
x x x
⎛ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞ ⎛ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞ ⎛− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞
⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠
⎛ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞
⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − = −
⎛− ⎛ ⎞⎜ ⎟⎞ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
sin 2
2 x x
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
PanaMaths Décembre 2001
Comme on a : 2
( )
0 0
2
ln 1 2 sin 2 ln 1
lim lim 1
2 sin 2
x h
x
h h
→ x →
⎛ ⎛ − ⎛ ⎞⎞⎞
⎜ ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠⎟ ⎛ + ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟=
⎜ ⎛− ⎛ ⎞⎞ ⎟ ⎝ ⎠
⎜ ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠ ⎟
⎝ ⎠
et
0
sin 2
lim 1
2
x
x x
→
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎝ ⎠⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, il vient
finalement :
( )
22 2
0 0
ln 1 2 sin
ln cos 2 1
lim lim
2
x x
x x
x x
→ →
⎛ ⎛ − ⎛ ⎞⎞⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟⎟
⎛ ⎞= ⎜ ⎝ ⎝ ⎠⎠⎟= −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
èmeapproche : utiliser les équivalents de fonctions
On a classiquement au voisinage de 0 :
2
cos 1
2 x∼ − x .
On en déduit : ln cos
( )
ln 1 2 22 2
x x
x ⎛ ⎞
− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∼ ∼ et
( )
2
2 2
ln cos 2 1
2 x x
x ∼− x = − .
D’où :
( )
0 2
ln cos 1
limx 2
x
→ x
⎛ ⎞
⎜ ⎟= −
⎝ ⎠ .
On a retrouvé le résultat obtenu précédemment.
Résultat final
( )
0 2
ln cos 1
limx 2
x
→ x
⎛ ⎞
⎜ ⎟= −
⎝ ⎠
