Seconde Sinus et Cosinus. Fonctions 2010-2011
+
0 π 6 π 4 π 3 π
2
5π 6
3π 4
2π 3
π
7π 6
5π
4 4π
3 3π
2
11π 6 7π 5π 4
3
De l’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique, on en déduit les positions sur le cercle de valeurs particulières comprises entre 0 et 2π(voir ci-contre).
Exemple 1 :
1. Déterminer le pointM du cercle associé au réel 17π 4 . 2. Même question avec le réel−14π
3
M
x
cosx sinx
C
−
→j
−
→i
x x
O A
Soitx∈]−π, π].
Au point A de la droite des réels d’abscisse x correspond un pointM du cercle trigonométrique et un angle au centre OCM\ tels que :
OA=|x| (en u.l) ;
⌢
OM =|x|(en u.l) ; OCM\ =x(en rad)
Définition 1 :
Le cosinus du nombre réelxest l’abscisse du pointM : il est noté cosx.
Le sinus du nombre réelxest l’ordonnée du pointM : il est noté sinx.
Remarque 1 : Soitk∈Z.
Sixn’est pas dans ]−π, π], il existektel quex+k×2π∈ ]−π, π] (enroulement) et les deux points correspondants du cercle sont confondus donc :
cos(x+k×2π) = cosx et sin(x+k×2π) = sinx
Propriété 1 : Pour tout nombre réelx.
• sin2x+ cos2x= 1
• −16sinx61 et−16cosx61
• sin(−x) =−sinxet cos(−x) = cosx
x
−x sinx
−sinx
x
−x cosx
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Remarque 2 : Avec la remarque 1 et le 3ème item de la propriété 1, la connaissance des valeurs de sinus et de cosinus entre 0 etπest suffisante pour connaître sinxet cosx ,∀x∈R.
Des valeurs particulières à connaître :
x 0 π6
π 4
π 3
π 2
2π 3
3π 4
5π
6 π
cosx sinx
0 π 6 π 4 π 3 π
2
5π 6
3π 4
2π 3
−π
7π 6
5π 4
4π
3 3π
2
11π 6
7π 4 5π
3
1 2b
√2 2b
√3 2b
−12 0
b−√22b
−√b23
1
b 2
√2
b 2
√3
b 2
−12
b
−√22
b
−√23
b
Équations trigonométriques :
Soitαun réel donné.
sinx= sinα⇔
x=α+k×2π x=π−α+k×2π
α
α+k×2π π−α+k×2π
sinx
cosx= cosα⇔
x=α+k×2π x=−α+k×2π
α
α+k×2π
−α+k×2π cosx
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Exemple 2 : Résoudre cosx= 1
2 dans l’intervalle ]−2π; 2π].
Résoudre√
2 sinx+ 1 = 0 dans l’intervalle ]−π; 3π].
Fonctions Sinus et Cosinus
Définition 2 : Pour toutxréel, en associant àxla valeursinx, on définit la fonctionsin.
sin :x7−→sinx
1
−1
−2
0 π
2
π
Définition 3 : Pour toutxréel, en associant àxla valeurcosx, on définit la fonctioncos.
cos :x7−→cosx
1
−1
−2
0 π
2
π
Courbes complètes des deux fonctions
1
−1
π 2
π
−π
−π 2
−2π
−2π
2π
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