Orsay 2009-2010 IFIPS S2 Math´ematiques (M170).
Devoir num´ero 2. A rendre en TD la semaine du 15 Mars.
Exercice 1
On consid`ere l’ensembleV ⊂R3 suivant :
V ={v∈R3 de la formev= (2x+y+z+t , x−y−2z , x+ 2y+ 3z+t), avec x, y, z, t r´eels}.
(1) Montrer queV est un sous-espace vectoriel deR3 et en donner une partie g´en´eratrice.
(2) D´eterminer une base de V et montrer que V est un plan de R3.
(3) Compl´eter une base deV en une base deR3 et d´eterminer un suppl´ementaire deV dansR3. (4) Montrer qu’un vecteur (a, b, c) de R3 appartient `a V si et seulement si (a, b, c) v´erifie une
´equation lin´eaire (ena, b, c) qu’on pr´ecisera.
Exercice 2
SoitV ⊂R4 l’ensemble des solutions du syst`eme
x+ 3y−2z−3t= 0 2x−z= 0
3x+y−2z−t= 0
(1) Montrer queV est un plan vectoriel et en donner une base.
(2) SoitW = Vect (0,1,3,1),(−1,−1,1,0),(1,2,2,1) .
(2-a) Donner une base deV ∩W. Quelle est la dimension deV +W ? (2-b) D´eterminer un suppl´ementaire deV +W dansR4.
Exercice 3
Etant donn´e un param`etre a∈R on consid`ere les vecteurs
v1= (a,1,−a,1), v2= (a,3,3a−2,3), v3 = (a,4,5a−3,4), v4 = (a,1,2a−1,1) et on noteV le sous-espace vectoriel engendr´e par v1, v2, v3, v4.
Selon les valeurs du param`etre a:
(1) d´eterminer le rang de la suite (v1, v2, v3, v4) et donner une base deV ; (2) d´eterminer un suppl´ementaireW de V et donner une base de W ; (3) d´eterminer un syst`eme d’´equations cart´esiennes de V.
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