 0)(²²0 dtdutuLRdtudRC fkzzmm +2z g  E R L C u u iL ic 

(1)

Oscillateurs électriques et mécaniques amortis. (Corrigés).

1. Régime transitoire d'un circuit R-L-C : E = R(i

C

+ i

L

)+ u (1) avec i

C

= Cdu/dt et u = Ldi

L

/dt En dérivant (1) par rapport au temps :

0 )

² (

0  ²   

dt t du L u R dt

u RC d

0 ) 1 ( 1

²

²   u t 

LC dt du RC dt

u

d .

Les cond. init. donnent u(0) = 0 et i

L

(0) = 0 : ainsi i

R

(0) = u(0) = 0 donc i

C

(0) = E/R donc  

RC E dt

du 0 

La résolution complète de l’équation a ensuite été traitée en cours, sur l’exemple du circuit RLC série.

La nature des solutions va dépendre du signe du discriminant Δ de l’équation caractéristique : r² + (1/RC) r + 1/LC = 0 ; discriminant Δ = (1/RC)² - 4/LC.

Pour Δ > 0, régime apériodique ; pour Δ = 0 régime critique ; pour Δ < 0 régime pseudopériodique.

Pour R = R

c

on aura donc ici ∆ = 0,soit le régime critique.

Alors u(t) est de forme (At +B).exp(-ω

o

t) avec ω

o

=1/√𝐿𝐶 Les CI imposent u(0) = B = 0 et du/dt(0) = A = E/RC, d’où finalement u(t) = (1/RC).E.t.exp(-ω

o

t).

2. Oscillateur amorti :

1°) à t = 0 : z = 0, v = dz/dt = 0 ; à t→  : z



= mg/2k, v



= 0. z



= mg/2k correspond à la valeur de z à l’équilibre.

2°) R.F.D. : La force appliquée à M par chacun des ressorts est orientée dans le même sens (l’un est comprimé et l’autre allongé pour une valeur donnée de z).

m

^

z  mg – 2.kz f.  z

^

qui donne sous forme canonique : + f 2 k z g

z z

m m

 

 

La résolution donne : z(t) = mg/2k + A.exp(-t) cos(t+). (f étant faible, on a des oscillations pseudo périodiques par hypothèse) .

A et  sont déterminées par les CI : z(0) = 0 et dz/dt (0) =0 ; on tire : tan = -/ ; A = -(mg/2k)/cos .

E R

L C

u

u iL i_c

(2)

3°) Chercher t tel que exp(-t) < 0,01, soit t = (1/λ).ln100 (la démarche est approximative, mais relativement correcte.

Un calcul exact n’est pas envisageable, sauf à l’aide d’une simulation numérique.

4°) E

c

= 0, car la vitesse du mobile est initialement nulle, et le redeviendra à la fin des oscillations.

donc W

frott

= ΔE = E

p

. avec E

p

= - mgz +2.(1/2) kz². W

frott

= -m²g²/4k.

3. Etincelle de rupture :

a) La loi de maille donne E = R.i + Ldi/dt + u avec i = Cdu/dt d’où : E

u Q u

u 

^o



_o

² 

_o

²





^



en posant : 

0

² = 1/LC

et Q = L

0

/R = 1/RC

0

.

b) La solution particulière est : u = E .

La solution générale est de type pseudo périodique, car l’équation caractéristique :

r² + (

o

/Q) r +

o

² = 0 a un discriminant Δ < 0 vues les valeurs numériques de 

o

et Q, calculées à partir des valeurs données pour R, L et C : 

o

= 5,0.10

⁶

rad/s.

On en déduit la solution complète : t  A t B t  E

t Q

u    

 



 

   

sin cos

2 . exp )

(

⁰

avec :

² 4 1 1

0

 Q

 



Compte tenu des conditions de continuité imposant u(0) = 0 et i = Cdu/dt(0) = E/R, la solution u(t) est totalement déterminée.

c) La valeur  = 2Q/

0

est le temps de relaxation (constante de temps dans le facteur exponentiel représentant l’amortissement des oscillations).  = 2,0.10

^-4

s .  est très supérieur à la pseudo pédiode des oscillations T = 2/ = 1,3.10

^-6

s. Sur une durée pas trop important, c'est-à-dire sur quelques pseudo-périodes, l’amortissement sera négligable : la valeur du facteur 



 



  t Q exp 2 

⁰

peut être considérée comme constante (égale à 1).

d) La condition : u(0) = 0 amène A = -E.

En raisonnant sur la fonction approchée û ( ^t ) ^  Â cos  ^t ^ ^B sin  ^t  ^ Ê

on aura du/dt = B

o

.cos(

o

t) et du/dt(0) = E/RC amène alors B = E/RC

o

= QE.

Finalement : u(t) ≈ (-E.cos

o

t + Q.Esin

o

t) + E

donc au voisinage de 0 : u(t) ≈ Q.Esin

o

t au premier ordre.

E

R

u(t) C L

(3)

e) D’après ce qui précède, l’évolution de u(t) en début de phénomène correspond à une évolution sinusoïdale. La valeur maximale de la fonction Q.E sin

o

t correspondrait à U = Q.E = 500 x 40V = 20 kV.

Cette valeur serait atteinte pour 

o

t ≈ /2 soit t

max

≈ /(2

o

) = 3,1.10

^-7

s.

Compte tenu de ces valeurs numériques, u(t) croît rapidement. Le potentiel explosif (de l’ordre de 1000V) est donc très rapidement atteint.

f) L’intensité circulant dans le circuit est i(t) = C.du/dt. En utilisant l’expression approchée de u(t) : u(t) ≈ Q.E sin

o

t on aura donc : i(t) ≈ Q.C.E.

o

.cos

o

t = (E/R)cos 

o

t.

En faisant un D.L.2 en 0 de la fonction cosinus, on obtient alors : i(t) ≈ (E/R).(1 – (

o

t)²/2)

que l’on identifie effectivement à : i(t) = I

o

(1 – at²) avec I

o

= E/R = 1,0 A b = 

o

²/2 = 1,3.10

¹³

usi g) Le moment où le potentiel explosif est atteint, c'est-à-dire où u(t) = U

exp

≈ 1,0 kV, correspond à un instant t

i

<< t

max

. L’expression approchée de u(t) : u(t) ≈ Q.E sin

o

t est donc alors tout à fait

convenable, et peut même être remplacée par son Développement Limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 : u(t) ≈ Q.E.

o

.t de forme b.t avec b = 1,0.10

¹¹

V.s

^-1

(Remarque : le terme d’ordre 2 pour la fonction sinus est nul, c’est une fonction impaire).

h) L’instant t

i

répond donc à : Q.E.

o

.t

i

= U

exp

d’où : t

i

= U

exp

/ (Q.E.

o

) = 1,0.10

^-8

s = 10 ns.

3. Exploitation d’un relevé expérimental.

La pseudo-période T = 2π/ω peut être mesurée. En listant sur 7 pseudo-périodes, on a 7T = 0,63 ms soit t = 9,0.10

^-5

s = 90 µs.

ω ≃ ω

o

≃1/√𝐿𝐶

donne T ≃ 2𝜋√𝐿𝐶 dont on tire : L = T²/(4π² C) A.N. : L = 2,1 mH.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0 0,2 0,4 0,6 0,8

u(t)

(4)

Les valeurs maximales successives de u(t) correspondent à des instants séparés de la durée T, pour lesquels le facteur cos(ωt + φ) aura même valeur. La valeur de u(t) en ces instants évolue donc selon une loi exponentielle de forme : A.exp(-R.t/2L).

En relevant quelques valeurs successives u

i

aux instants t

i

et en faisant une régression linéaire sur la série ln(u

i

) = f(t

i

) on obtient une pente de valeur –R/2L ≈ 3,6.10

³

dont on tire R = 15 Ω.

Remarque : on peut utiliser la notion de décrément logarithmique, défini par la quantité : δ = (1/n).Ln (u(t)/u(t + nT))

où T est la pseudo-période et n un nombre entier.

N.B. : Cette quantité n’est pas au programme, mais il peut être attendu de savoir l’employer si sa définition est fournie.

L’expression théorique de u(t) permet de montrer que δ= R/2L, soit encore en introduisant le facteur de qualité Q = Lω

o

/R, δ = π/Q.

On relève le décrément logarithmique sur 6 oscillations.

δ = (1/6).ln(3,5/0,5)

soit δ = 0,32 donc : Q = 9,7

Dans ces conditions, on aura un très faible amortissement, la pseudopériode et la période propre pourront être confondues.

On mesure sur 5 pseudo périodes : T = (1/5)( 0,56- 0,10) = 92 µs.

ω

o