Universit´e de Cergy-Pontoise Janvier 2019 Math´ematiques L2
Alg`ebre Bilin´eaire et Int´egration
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Exercice 1: SoitAla matrice r´eelle A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
(1) Cette matrice est-elle diagonalisable ? Pourquoi ? Calculer det(A). Qu’en d´eduit-on en termes de valeurs propres deA?
(2)Calculer le polynˆome caract´eristique deAet trouver les valeurs propres deA.
(3)Trouver une matrice orthogonaleP pour laquelle tP AP est diagonale (ou en- core, ce qui revient au mˆeme, trouver une base orthonorm´ee de vecteurs propres de A).
Exercice 2: SoitQla forme quadratique surR4d´efinie pour toutX = (x, y, z, t)∈ R4par
Q(X) = 4x2+ 9y2+ 52z2+ 145t2+ 36yz−44zt−54yt (1)Montrer que
Q(X) = 4x2+ 9 (y+ 2z−3t)2+ 16 (z+ 2t)2 pour toutX= (x, y, z, t).
(2)Soit Φ :R4→R4 l’endomorphisme de R4 donn´e par Φ(x, y, z, t) = (2x,3(y+ 2z−3t),4(z+ 2t), t) Montrer que Φ est un isomorphisme deR4.
(3)Soit ˜Qla forme quadratique surR4 d´efinie par Q(X) =˜ x2+y2+z2
Montrer queQ(X) = ˜Q(Φ(X)) pour tout X. En d´eduire la signature deQ.
(4)Trouver les vecteurs isotropes deQ.
Exercice 3: Etudier la convergence des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes:
(1pt)I1= Z +∞
0
3x2+ 2
x7+ 1 dx , (1pt)I2= Z +∞
0
3x+ 5 2x2+ 7dx , (1pt)I3=
Z π/2 0
sin(x)
x2 dx , (1pt)I4= Z +∞
0
3x+ 5
√x(2x3+ 7)dx .
Justifier vos r´eponses. On pr´ecisera notamment en quelles bornes ces int´egrales sont g´en´eralis´ees.
Exercice 4: On consid`ere, pour toutxr´eel, l’int´egrale F(x) =
Z π/2 0
sinπ
4 +g(x) cos(t) dt , o`u g:R→Rest donn´ee parg(x) =x2+√
2x.
(1)Montrer que la fonctionF est continue surR.
(2)Montrer queF est d´erivable sur Ret calculer F0(0) la d´eriv´ee deF en 0.
1
2
Exercice 5: Calculer les int´egrales multiples I=
Z Z
D1
1 +x3y4
dxdy etJ = Z Z
D2
1 +x3y4 dxdy o`u D1 et D2 sont donn´es par D1 = n
(x, y)∈ R2 / 0 ≤x≤ 1 et 0 ≤y ≤1o et D2=n
(x, y)∈R2/ 0≤x≤y≤1o .
Exercice 6: Les deux questions de cet exercice sont ind´ependantes.
(1)SoitEunR-espace vectoriel muni d’un produit scalaireh·,·i. Soitu∈End(E) un endomorphisme deE. On suppose queuest sym´etrique et que
hu(x), xi= 0
pour toutx∈E. Montrer queuest l’endomorphisme nul.
(2)Soienta, b, c∈Rdes r´eels. On poseS=a+b+c etP =ab+ac+bc. SoitA la matrice r´eelle
A=
a b c c a b b c a
.
Montrer que A est une matrice orthogonale si et seulement si S = ±1 et P = 0 simultan´ement.
Exercice 7 (question bonus): SoitE unR-espace vectoriel muni d’un produit scalaire h·,·i. Soit a∈ E un vecteur de norme 1 et k ∈R un r´eel. On d´efinit la forme bilin´eaire sym´etrique Φ :E×E→Rpar
Φ(x, y) =hx, yi+khx, aihy, ai.
D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante surkpour que Φ soit un produit scalaire.
