z 3 + 2z 2 − 16 = 0.

T S 5 novembre 2018

Devoir surveillé

durée :2h00

Devoir surveillé à rendre sur opie. Les résultats devront être enadrés. La présentation et la rédation

de la opieseront prise en omptedans l'évaluation de la opie(1 point).

Exerie 1 ROC 2 points

Démontrer que siA et B sont des évenements indépédants alors ilen est de mêmepour

A

^et

B

Exerie 2 5 points

Première partie

On onsidère dans l'ensemble des nombres omplexes, l'équation suivante:

(E)

z ³ + 2z ² − 16 = 0.

1. Montrer que2est solutionde (E), puisque(E)peuts'ériresous laforme:

(z − 2) az ² + bz + c

= 0

^,

où

a, b

^et

c

^{sonttrois réels que l'on} déterminera.

2. En déduireles solutionsde l'équation (E)sous forme algébrique.

Deuxième partie

Leplan omplexe est muni d'un repère orthonormal

O

, − → ı , − →



.

1. Plaer les pointsA, B et D d'axes respetives

z

A

= − 2 − 2

ⁱ

, z

B

= 2

^et

z

D

= − 2 + 2

ⁱ

.

2. Caluler l'axe

z

C

du point Ctelque ABCD soitun parallélogramme. Plaer C.

Exerie 3 6 points

On dénit,pourtout entier naturel

n > 0

^,lasuite

(u ⁿ )

^{denombres réelsstritementpositifspar}

u n = n ² 2 ⁿ

^.

1. Pour tout entier naturel

n > 0

^{,on pose}

v n = u n+1

u n

a. Montrer que

lim

n→+∞ v n = 1 2

^.

b. Montrer quepour tout entier naturel

n > 0, v ⁿ > 1 2

^.

. Trouverle plus petit entier

N

^{telque si}

n > N, v n < 3 4

^.

d. En déduireque si

n > N

^{, alors}

u n+1 < 3 4 u n

^.

On pose pour tout entier naturel

n > 5, S ⁿ = u 5 + u 6 + · · · + u n

^.

2. a. Montrer par réurrene que pour tout entier naturel

n > 5, u n 6

3 4

ⁿ⁻⁵ u 5 .

b. Montrer quepour tout entier naturel

n > 5

^,

S n 6

"

1 + 3 4 +

3 4

²

+ · · · + 3

4 ⁿ⁻⁵ #

u 5 .

. Endéduire quepour tout entier naturel

n > 5, S ⁿ 6 4u 5

^.

Avant ledébut des travaux de onstrution d'une autoroute, une équipe d'arhéologie préventive pro-

ède à des sondages suessifsen des pointsrégulièrement espaés sur leterrain.

Lorsque le

n

^{-ième sondage donnelieuà la déouverte de vestiges, il est dit positif.}

L'évènement : le

n

^{-ième sondage est positif est noté}

V n

^{, on note}

p n

^la probabilité de l'évènement

V n

^.

L'expériene aquise auours de e type d'investigationpermetde prévoirque :

•

siun sondage est positif,le suivant a une probabilité égale à

0, 6

^{d'être aussi positif;}

•

siun sondage est négatif, le suivanta une probabilité égale à

0 , 9

^{d'êtreaussi négatif.}

On suppose que le premiersondage est positif,'est-à-dire :

p 1 = 1

^.

a. Calulerlesprobabilités des évènements suivants :

i.

A

^{: les2e et3esondages sont positifs;}

ii.

B

^{: les 2e et3e sondages sont négatifs.}

b. Calulerlaprobabilité

p 3

^{pour que le3}

e

sondage soitpositif.

.

n

^{désigneun entier naturelsupérieur ou égal à2.}

Reopier etompléter l'arbre i-dessous en fontiondes données de l'énoné :

V n

p n

V n+1

V n +1

V n

1 − p n

V n+1

V n +1

d. Pour tout entier naturel

n

^{non nul,établir que:}

p n +1 = 0, 5p ⁿ + 0, 1

^.

e. On note

u

^{lasuite dénie, pour tout entier naturel}

n

^{non nulpar :}

u n = p n − 0, 2

^.

i. Démontrer que

u

^{est une suite} géométrique, en préiser lepremier termeet laraison.

ii. Exprimer

p n

^{en fontion de}

n

^.

iii. Calulerla limite,quand

n

^{tend vers}

+ ∞

,de laprobabilité

p n

^.