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Chapitre II : LES SUITES GÉOMÉTRIQUES I – Définition
Définition 1 : Dire qu’une suite (𝑣 ) est géométrique signifie qu’il existe un nombre réel 𝑞 tel que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣 = 𝑣 × 𝑞.
Ce nombre réel 𝑞 est appelé la raison de la suite (𝑣 ).
Autrement dit : On obtient un terme en multipliant le précédent par une constante 𝑞.
𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 …
𝑣 = 𝑣 × 𝑞 𝑣 = 𝑣 × 𝑞 𝑣 = 𝑣 × 𝑞 𝑣 = 𝑣 × 𝑞 … 𝑣 = 𝑣 × 𝑞
Exemples :
1) La suite de premier terme 𝑢 = 4 et de raison 0,5 : 𝑢 = 4 , 𝑢 = 2 , 𝑢 = 1 , 𝑢 = 0,5 , 𝑢 = 0,25
2) La suite de premier terme 𝑢 = −1 et de raison 3 : 𝑢 = −1 , 𝑢 = −3 , 𝑢 = −9 , 𝑢 = −27 , 𝑢 = −81 Comment déterminer la raison d’une suite géométrique ?
Méthode : Si deux termes consécutifs sont connus, on divise le terme dont le rang est le plus grand par celui dont le rang est le plus petit.
Exemple : Si les termes 𝑢 = 25 et 𝑢 = 30 appartiennent à une suite géométrique alors la raison est :
𝑢 𝑢 =30
25= 1,2
II – Calcul du terme de rang 𝒏
Pour calculer un terme d’une suite géométrique, la définition par récurrence impose de connaître le terme précédent. La formule qui va suivre permet de calculer un terme juste à l’aide de son rang :
Propriété 1 : Si (𝑣 ) est une suite géométrique de premier terme 𝑣 et de raison 𝑞, alors, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, 𝑣 = 𝑣 × 𝑞 .
Exemple : Si (𝑣 ) est une suite géométrique de premier terme 𝑣 = 3 et de raison 𝑞 = 4, alors, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1, 𝑣 = 3 × 4
On a donc directement : 𝑣 = 3 × 4 = 3 072
× 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞
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III – Somme des termes d’une suite géométrique :
Propriété 2 : Si (𝑣 ) est une suite géométrique de premier terme 𝑣 et de raison 𝑞, alors, pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 1,
𝑣 + 𝑣 + ⋯ + 𝑣 = 𝑣 ×𝑞 − 1 𝑞 − 1
Exemple :
Si (𝑣 ) est une suite géométrique de premier terme 𝑣 = 3 et de raison 𝑞 = 2, alors :
𝑣 + 𝑣 + ⋯ + 𝑣 = 3 ×2 − 1
2 − 1 = 3 × 4 095 = 12 285
IV – Sens de variation et représentation graphique d’une suite géométrique
Propriété 3 : Le sens de variation d’une suite géométrique (𝑣 ) dépend de sa raison 𝑞.
Dans le cas où le premier terme de la suite est positif : Si 𝑞 > 1, la suite est croissante.
Si 0 < 𝑞 < 1, la suite est décroissante.
