existe et est égale à un nombre réel

(1)

1

Chapitre III : COMPLÉMENTS SUR LA DÉRIVATION

I- Rappels

1) Nombre dérivé et tangente

Définition 1 : Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel appartenant à . On dit que la fonction est dérivable en si la limite lorsque ℎ tend vers 0 du rapport existe et est égale à un nombre réel ℓ.

Ce nombre réel ℓ est appelé nombre dérivé de en et noté .

Remarque : Si la limite du rapport

n’existe pas ou est égale à −∞ ou +∞, on dit que la fonction n’est pas dérivable en .

Exemple : La fonction racine carrée et la fonction valeur absolue ne sont pas dérivables en 0.

Définition 2 : Soit une fonction définie sur un intervalle et un réel appartenant à .

SoitCCCC la courbe représentative de dans un repère O, , du plan et A le point deCCCC d’abscisse . Si est dérivable en , alors la tangente à la courbeCCCC au point A est la droite passant par A et de coefficient directeur .

Cette tangente a pour équation : = − + .

2) Fonction dérivée Définition 3 :

1) Soit une fonction définie sur un intervalle .

On dit que la fonction est dérivable sur lorsqu’elle est dérivable en tout nombre réel appartenant à . 2) Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .

La fonction définie sur qui à tout nombre réel ∈ associe le nombre dérivé est appelée fonction dérivée de et notée ′.

3) Formulaires

Fonction Ensemble de

définition de Ensemble de

dérivabilité de Fonction ′

↦ (où est une constante) ↦

↦ ↦

↦ ² ↦

↦ ( entier, > 1) ↦

↦1

↦

↦ √ ↦

(2)

2

Propriété 1 : Soit # et & deux fonctions dérivables sur un intervalle . 1) # + &=

2) #= (avec une constante réelle) 3) #&=

4)

'

₎⁽

*

=

(avec # qui ne s’annule pas sur )

5)

'

⁾₊

*

=

(avec & qui ne s’annule pas sur )

4) Étude des variations d’une fonction Théorème 1 :

Soit une fonction dérivable sur un intervalle .

1) Si ≤ 0 pour tout réel de I, alors la fonction est décroissante sur . 2) Si ≥ 0 pour tout réel de I, alors la fonction est croissante sur . 3) Si = 0 pour tout réel de I, alors la fonction est constante sur .

Remarques :

1) On parle de stricte croissance (respectivement stricte décroissance) lorsque > 0 (resp. < 0) 2) On dit qu’une fonction est monotone sur 0 lorsqu’elle est croissante sur 0 ou décroissante sur 0.

II- Nouvelles formules

1) Dérivée de la fonction √#

Propriété 2 :

Soit # une fonction définie, positive et dérivable sur un intervalle . Soit la fonction définie sur par = 1#.

La fonction est dérivable en tout nombre réel de tel que # ≠ 0 et on a : = #

21#

Exemple : Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité des fonctions suivantes et calculer leur dérivée :

1) : ↦ √3 − 2

2) : ↦ 1−2² + 3 − 1

(3)

3 2) Dérivée de la fonction # où est un entier Propriété 3 :

Soit # une fonction définie et dérivable sur un intervalle et un entier naturel non nul.

Soit la fonction définie sur par = #.

La fonction est dérivable en tout nombre réel de et on a : = × # × #⁽ On retiendra plus facilement : #= #′#⁽

1) : ↦ 3 − 1⁷ 2) : ↦ 5² − 2 + 1⁹ Propriété 4 :

Soit # une fonction définie et dérivable sur un intervalle et un entier relatif négatif non nul.

Soit la fonction définie sur par = #.

On suppose que la fonction # ne s’annule en aucun nombre réel de . La fonction est dérivable en tout nombre réel de et on a :

= × # × #⁽ On retiendra là aussi plus facilement : #= #′#⁽

1 : ↦ 1 2 − 5⁹ 2 : ↦ 1

−2² + + 1⁷

3) Dérivée de la fonction ↦ + : Propriété 5 :

Soit une fonction définie sur ℝ et et : deux nombres réels.

La fonction ↦ + : est dérivable en tout nombre réel et sa fonction dérivée est ↦ ′ + : Exemple : Reprendre le 1) des trois exemples précédents.

4) Généralisation : les fonctions composées

Rappel : & est une fonction définie sur un intervalle < et # une fonction définie sur un intervalle tel que, pour tout ∈ , # ∈ <.

La fonction composée # suivie de & est la fonction définie sur par = &=#>. On peut aussi écrire = & ∘ # et on lit « & rond # ».

Propriété 6 : (admise)

Soit & une fonction définie et dérivable sur un intervalle < et # une fonction définie et dérivable sur un intervalle tel que, pour tout ∈ , # ∈ <.

La fonction composée & ∘ # ∶ ↦ &=#> est dérivable sur et & ∘ #′ ∶ ↦ # × &′=#>