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Chap.12 :
VALEUR ABSOLUE D’UN NOMBRE Réel
Partie 1 : définition et premières propriétés
Définition : valeur absolue d’un nombre réel.
Sur une droite graduée munie d’une origine 𝑂 et d’une graduation, on considère un point 𝐴 d’abscisse 𝑎.
La valeur absolue de 𝑎, notée |𝑎|, est le nombre égal à la distance 𝑂𝐴.
Propriété : expression de la valeur absolue
La valeur absolue d’un nombre réel 𝑎 est le nombre |𝑎| tel que : |𝑎| = &𝑎 𝑠𝑖 𝑎≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
Exemples : |12| = 12 car 12 > 0 |−7,5| = −(−7,5) = 7,5 car −7,5 < 0
Partie 2 : distance entre deux réels
Définition : distance entre deux réels
Soient 𝐴 et 𝐵 deux points d’abscisses respectives 𝑎 et 𝑏 sur une droite munie d’une origine et d’une graduation.
On appelle distance entre les réels 𝑎 et 𝑏 la distance 𝐴𝐵.
Propriété : si 𝑎 ≥ 𝑏, alors 𝐴𝐵 = 𝑎 − 𝑏 Si 𝑎 ≤ 𝑏, alors 𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎.
Exemples : la distance entre 7 et 2,5 (ou entre 2,5 et 7) vaut : 7,5 − 2,5 = 4,5 La distance entre 1 et −3 vaut : 1 − (−3) = 1 + 3 = 4
Propriété : conséquence
Pour tout 𝑎 et pour tout 𝑏, 𝐴𝐵 = |𝑎 − 𝑏|.
Démonstration :
Si 𝑎 ≥ 𝑏, alors 𝐴𝐵 = De plus, 𝑎 − 𝑏 ≥ 0 donc |𝑎 − 𝑏| = d’où Si 𝑎 < 𝑏, alors 𝐴𝐵 = De plus, 𝑎 − 𝑏 < 0 donc |𝑎 − 𝑏| = d’où
Propriété : appartenance à un intervalle
Si un intervalle peut s’écrire sous la forme [𝑎 − 𝑟; 𝑎 + 𝑟] où 𝑎 est un réel est 𝑟 un réel strictement positif, alors on a :
𝑥 ∈ [𝑎 − 𝑟; 𝑎 + 𝑟] si et seulement si |𝑥 − 𝑎| ≤ 𝑟
Dans ce cas, le nombre 𝑎 est appelé centre de l’intervalle et le nombre 𝑟 rayon de l’intervalle.
