Cours 03 –Valeur absolue d’un nombre

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Cours 03 : Valeur absolue 1/2

O I M

0 1

O I M

0 1

O I

M

0 1

O I

M

0 1

O I

0 1

O I

0 1

Seconde – Lycée Desfontaines - Melle

Cours 03 – Valeur absolue d’un nombre

Dans tout le chapitre x et y désignent des réels.

I. Valeur absolue d’un nombre

Définition : La distance à zéro d’un réel x est la distance OM où O est l’origine d’une droite graduée et M le point de cette droite d’abscisse x.

Si x>0, la distance à zéro de x est : OM=x

Si x<0, la distance à zéro de x est : OM=-x

Si x=0, la distance à zéro de x est : OO=0

Définition : On appelle valeur absolue d’un réel x et on note

| |

^x la distance de x à zéro.

Donc

| |

x =



x si x est positif -x si x est négatif Remarques :

• La valeur absolue d’un réel, étant une distance, est donc toujours un nombre positif.

• Deux nombres opposés ont la même valeur absolue Interprétation graphique

Sur une droite graduée, soient M un point d’abscisse x et M′ le point d’abscisse -x.

On a alors : OM = OM′ Donc :

| |

^x=

|

^-x

|

Exemples :

| |

5 = ……

|

- 2,5 = ……

| |

- 2 = ……

| | |

-7 = ……

| |

7 = …………

Soient a et b deux réels, alors

|

a−b

|

=



a−b si a−bÃ0

b−a si a−bÂ0 donc

|

a−b

|

=



a−b si aÃb b−a si aÂb

II. Distance entre deux nombres

Défintion : Soit une droite graduée et soient A et B les points de cette droite d’abscisses respectives a et b.

On appelle distance entre a et b la distance AB.

1^er cas : a Ãb alors la distance AB est a−b 2^ème cas : aÂb alors la distance AB est b−a

Pour résumer :

• Si aÃb alors AB=a−b

• Si aÂb alors AB=b−a

Conclusion : D’après la conséquence 3 : AB=

|

a−b

|

Conséquence :

|

a−b

|

représente la distance entre a et b.

O I

0 1

M

M' O I

0 1

M M'

x

x

-x x

B A

b a

B A

b a

a - b

A B

a b

A B

a b

b - a

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Cours 03 : Valeur absolue 2/2 Exemples :

•

|

3 - 4 est la distance entre ……… c’est à dire ………… donc

| |

3 - 4 = ………

|

Or, remarquons que 3 – 4 = - 1. donc

|

3 – 4 =

| |

….. = ……

|

•

|

3,5 - 1 = ………..

|

•

|

1 + 4 = ………..

|

Remarque :

|

a−b

|

représente la distance entre a et b.

|

b−a

|

représente la distance entre b et a.

Or, la distance entre a et b d’une part et la distance entre b et a d’autre part sont égales Donc

|

a−b

|

=

|

b−a

|

III. Résolutions d’équations et d’inéquations

1. Résoudre

|

x−2

|

=3

Résoudre

|

x−2

|

=3 revient à trouver tous les nombres dont la distance à ….. est égale à …...

2. Résoudre

|

x+4

|

Â4

3. Résoudre

|

x−1

|

Ã4

4. Applications : Résoudre dans IR :

a)

|

x+5

|

=2

| |

^x=-1

|

x+8

|

=0

b)

|

x−3

|

<7

|

x+1

|

Â1

|

x+4

|

<-3 c)

|

x+1

|

>2

|

x−2

|

Ã3

|

x−5

|

>-2