Exemple 2 avec la définition 2 est la distance de 2 à zéro

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Seconde 1 Chapitre 10 : feuilles annexes. page n ° 1 2007 2008

1 Valeur absolue et distance entre deux nombres réels.

Exemple 1

O I F G

0 1 2 5 Soient F et G deux points de la droite graduée d'abscisses respectives 2 et 5.

La distance entre les nombres 2 et 5 est notée d ( 2 ; 5 ) = 2−5⁼5−2 = 5 − 2 = 3.

Exemple 2 avec la définition

2 est la distance de 2 à zéro. Donc 2 = 2.

Exemple 3 avec la propriété

−3 = - ( - 3 ) = 3.

Exemple 4 avec la remarque

-5,7 est un nombre. Alors son opposé 5,7 est un nombre positif. Donc −5,7^{= 5,7.}

2 Propriétés.

x = 0 cela signifie que la distance de x à zéro est nulle. Donc x = 0.

N O I M

- x 0 1 x Appelons M le point d'abscisse x.

Appelons N le point d'abscisse - x.

Alors M et N sont symétriques par rapport à zéro.

Donc OM = ON.

D'où x = −x^.

Résolvons l'équation x−3^{= 5.}

Première méthode : par le calcul à l'aide de la propriété x = y ⇔ x = y ou x = - y.

x−3 = 5 ⇔ x − 3 = 5 ou x − 3 = - 5 ⇔ x = 5 + 3 ou x = - 5 + 3 ⇔ x = 8 ou x = - 2.

L'ensemble des solutions est { - 2 ; 8 }.

Deuxième méthode : à l'aide de la droite graduée.

C O I A B

- 2 0 1 3 8 Sur la droite graduée, on place le point A d'abscisse 3.

Alors le cercle de centre A et de rayon 5 coupe la droite en deux points d'abscisses - 2 et 8.

Or x−3 = 5 cela signifie que je recherche les réels x dont la distance à 3 est égale à 5.

Donc l'ensemble des solutions est { - 2 ; 8 }.

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3 Intervalles et valeurs absolues.

L'intervalle [ 5 ; 9 ] a pour extrémités les nombres 5 et 9.

2 5+9₌¹⁴

2 = 7. Le centre de l'intervalle [ 5 ; 9 ] est le nombre 7.

2 9−5₌⁴

2 = 2. Le rayon de l'intervalle [ 5 ; 9 ] est égal à 2.

9 − 5 = 4. L'amplitude de l'intervalle [ 5 ; 9 ] est égale à 4.

Schéma : rayon

5 7 9

extrémité centre extrémité

r

a − r a a + r

4 Inéquations.

Exemple 1 Résolvons dans l'inéquation x−7 ≤ 2.

Première méthode : avec l'équivalence x−a ≤ r ⇔ x ∈ [ a – r ; a + r ] ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r

Ainsi x−7 ≤ 2 ⇔ x ∈ [ 7 − 2 ; 7 + 2 ] ⇔ x ∈ [ 5 ; 9 ]. L'ensemble des solutions est l'intervalle [ 5 ; 9 ].

Deuxième méthode : interprétation graphique avec la droite graduée.

O I B A C

0 1 5 7 9 7

x− ≤ 2 cela signifie rechercher les nombres x dont la distance au réel 7 est inférieure ou égale à 2.

Plaçons le point A sur une droite graduée d'abscisse 7.

Nommons M le point d'abscisse x.

Traçons le cercle de centre A et de rayon 2. Alors il coupe la droite graduée en deux points B et C d'abscisses respectives 5 et 9. AM ≤ 2 ⇔ M ∈ [ BC ] ⇔ x ∈ [ 5 ; 9 ]. Voir dessin.

L'ensemble des solutions est l'intervalle [ 5 ; 9 ].

Exemple 2 : résolvons dans l'inéquation x−7^{> 2.}

Les solutions x de cette inéquation sont les réels x dont la distance à 7 est strictement supérieure à 2.

Or x−7 ≤ 2 ⇔ x ∈ [ 7 − 2 ; 7 + 2 ] ⇔ x ∈ [ 5 ; 9 ].

Donc les solutions de l'inéquation seront les nombres réels n'appartenant pas à l'intervalle [ 5 ; 9 ].

Ainsi l'ensemble des solutions est ] - ∞ ; 5 [ U ] 9 ; + ∞ [.

(3)

5 Etude de la fonction valeur absolue de x.

Pour tracer la représentation graphique de f, je remplis un tableau de valeurs.

x − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 5

x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5