3 2 ⇔2x= π3 + 2kπ ou 2x= 2π3 + 2kπ avec k∈Z

TS6 Interrogation 6A : Correction 16 novembre 2018 Exercice 1 :

R´esoudre les ´equations dans Rpuis dans [0; 2π].

1. cos(x) = ¹₂ 2. sin(2x) =

√3 2

Solution:

1. cos(x) =¹₂ ⇔x= ^π₃ + 2kπ ou x=−^π₃ + 2kπ avec k∈Z. Les solutions dans [0;^π₂[ sont ^π₃ et ^5π₃

2. sin(2x) =

√ 3

2 ⇔2x= ^π₃ + 2kπ ou 2x= ^2π₃ + 2kπ avec k∈Z. Les solutions dansRsont ^π₆ +kπ et ^π₃ +kπ pour toutk∈Z. Les solutions dans [0;^π₂[ sont ^π₆, ^π₃, ^7π₆ et ^4π₃ .

Exercice 2 :

Soit f d´efinie surR parf(x) = cos(−4x+π).

1. D´eriver, sans ´etudier la d´erivabilit´e,f. 2. Montrer quef est p´eriodique de p´eriode ^π₂. 3. ´Etudier la parit´e de f.

4. Sur quel intervalle peut-on restreindre l’´etude de f?

Solution:

1. f⁰(x) =−(−4) sin(−4x+π) = 4 sin(−4x+π)

2. f(x+^π₂) = cos(4(x+^π₂) +π) = cos(4x+ 2π+π) = cos(4x+π) =f(x) donc f est ^π₂-p´eriodique 3. f(−x) = cos(4x+π) = cos(−4x−π) = cos(−4x−π+ 2π) =f(x) donc f est paire

4. Par p´eriodicit´e, on restreint l’intervalle `a [−<sup>π</sup><sub>4</sub>;<sup>π</sup><sub>4</sub>], puis par parit´e `a [0;^π₄]