Universitè Paris VI LM260 - Sèries et intègrales
Annèe 2012-2013 23 oct. 2012
Correction du devoir d'entraînement 3 Intégrales généralisées
Exercice 4
1) On pose f : x 7→ arctan(x)
x32 . f est positive, f(x) ∼x→0 √1
x et f(x) ∼x→+∞ π
2x32. Donc l'intégrale généralisée converge d'après le critère de Riemann.
2) x2+√dx
2x+1 ∼x→0 1et x2+√dx
2x+1 ∼x→+∞ x12, donc l'intégrale généralisée converge.
Pour calculer cette intégrale, on écrit Z +∞
0
dx x2+√
2x+ 1dx= Z +∞
0
dx
x+ √12 2
+√12 dx
=√ 2 lim
x→+∞arctan √
2
x+ 1
√ 2
−√
2arctan √
2 1
√ 2
=
√ 2π
2 −√ 2π
4
= π 2√
2. 3) La décomposition en éléments simples est
1
1 +x4 = 1 2
1 +x/√ 2 x2+√
2x+ 1+ 1−x/√ 2 x2−√
2x+ 1
!
Alors pour tout A >0, Z A
0
dx
1 +x4 = 1 4√
2ln A2+√ 2A+ 1 A2−√
2A+ 1
! +1
4 Z A
0
dx x2+√
2x+ 1+ 1 4
Z A
0
dx x2−√
2x+ 1.
Ce qui donne le résultat en prenant la limite quand Atend vers +∞. 4) Par intégration par parties,
I = 2 Z +∞
0
√ dx
x(1 +x2). Le changement de variables u=√
x donne alors I = 4
Z +∞
0
dx
1 +x4 =π√ 2.
1
