2x e−x2

9.13

A B

D C

Posons f(x) =e^−x2.

La fonctionf est paire, carf(−x) =e^−(−x)2 =e^−x2 =f(x).

Puisque l’axe des ordonnées est un axe de symétrie du graphe de la fonctionf, les coordonnées des sommets du rectangle s’écrivent :

A(−x; 0), B(x; 0),C(x;e^−x2) etD(−x;e^−x2).

L’aire du rectangle ABCD s’exprime au moyen de cette fonction : A(x) = 2x e^−x2 oùx∈[0 ; +∞[

Étudions la croissance de la fonction A, afin d’en déterminer le maximum.

A^′(x) = 2x e^−x2′

= (2x)^′e^−x2+ 2x(e^−x2)^′

= 2e^−x2 + 2x e^−x2(−x²)^′

= 2e^−x2 + 2x e^−x2(−2x)

= 2e^−x2 −4x²e^−x2

= 2e^−x2(1−2x²)

= 2e^−x2(1 +√

2x) (1−√ 2x)

−^√₂^{2 √}₂²

2e^−x2 + + + 1 +√

2x − + +

1−√

2x + + −

A^′ − + −

A ց ր ց

0 0

0 0

min max

L’aire du rectangle ABCD est ainsi maximale si x= ^√₂² . On calcule f(^√₂²) =e⁻⁽

√2

2 )² =e⁻¹² = ^√1e = ^√e^e

D’où A(−^√₂²; 0) B(^√₂²; 0) C(^√₂² ;^√e^e) D(−^√₂²;^√e^e)

Analyse : fonctions exponentielles et logarithmiques Corrigé 9.13