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Montrer que la fonction Φ définie sur \

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Octobre 2006

Montrer que la fonction Φ définie sur \

+

par :

( ) x x x

3

1 x

Φ = +

est une primitive sur \

+

de la fonction ϕ définie par :

( ) ( )

( )

2

2

5 7

1

2 1

x x x

x

x

ϕ = +

+

Analyse

L’exercice ne pose pas difficulté particulière mais requiert de la précision dans les calculs.

Résolution

Dire que la fonction Φ est une primitive de la fonction ϕ sur \+ équivaut à :

( ) ( )

, '

x + x ϕ x

∀ ∈\ Φ =

Il convient donc de dériver la fonction Φ.

Pour tout réel x positif, on a :

( ) ( ) ( )

x u x

Φ = v x avec u x

( )

=x3 x et v x

( )

= +x 1.

On aura, classiquement :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

' '

, ' u x v x u x v x

x x

v x

+

∀ ∈\ Φ = .

Le calcul de v x'

( )

ne pose pas de difficulté. Celui de u x'

( )

est un plus délicat.

On a, pour tout réel x positif :

( )

2 3 1 2 2

' 3 3

2

x x x

u x x x x x x

= + x = +

2 x

2 1 2 7 2

3x x 2x x 2x x

= + =

(2)

PanaMaths Octobre 2006

Il vient alors, en tenant compte de v x'

( )

=1 :

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2 3

2

2

2

2

2

2

2

7 1 1

' 2

1

7 1 2

1

2 1

1 5 7

2 1

5 7

1

2 1

x x x x x

x

x

x x

x x x x x x

x

x x x

x

× + − ×

Φ =

+

= + −

+

= +

+

= +

+ On retrouve l’expression de ϕ

( )

x .

Résultat final

( ) ( )

, '

x + x ϕ x

∀ ∈\ Φ =

La fonction Φ est une primitive de la fonction ϕ sur \+.

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