PanaMaths Octobre 2006
Montrer que la fonction Φ définie sur \
+par :
( ) x x x
31 x
Φ = +
est une primitive sur \
+de la fonction ϕ définie par :
( ) ( )
( )
2
2
5 7
1
2 1
x x x
x
x
ϕ = +
+
Analyse
L’exercice ne pose pas difficulté particulière mais requiert de la précision dans les calculs.
Résolution
Dire que la fonction Φ est une primitive de la fonction ϕ sur \+ équivaut à :
( ) ( )
, '
x + x ϕ x
∀ ∈\ Φ =
Il convient donc de dériver la fonction Φ.
Pour tout réel x positif, on a :
( ) ( ) ( )
x u x
Φ = v x avec u x
( )
=x3 x et v x( )
= +x 1.On aura, classiquement :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
' '
, ' u x v x u x v x
x x
v x
+ −
∀ ∈\ Φ = .
Le calcul de v x'
( )
ne pose pas de difficulté. Celui de u x'( )
est un plus délicat.On a, pour tout réel x positif :
( )
2 3 1 2 2' 3 3
2
x x x
u x x x x x x
= + x = +
2 x
2 1 2 7 2
3x x 2x x 2x x
= + =
PanaMaths Octobre 2006
Il vient alors, en tenant compte de v x'
( )
=1 :( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 3
2
2
2
2
2
2
2
7 1 1
' 2
1
7 1 2
1
2 1
1 5 7
2 1
5 7
1
2 1
x x x x x
x
x
x x
x x x x x x
x
x x x
x
× + − ×
Φ =
+
= + −
+
= +
+
= +
+ On retrouve l’expression de ϕ
( )
x .Résultat final
( ) ( )
, '
x + x ϕ x
∀ ∈\ Φ =
La fonction Φ est une primitive de la fonction ϕ sur \+.
