Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle ; 1 2

PanaMaths Décembre 2011

Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle ; 1 2

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎦

−∞ −

^{par :}

( )

^{1 4}

F 2 1

x

x x

= − +

est une primitive sur l’intervalle ; 1 2

⎤ ⎡

⎥ ⎢

⎥ ⎢

⎦

−∞ −

de la fonction f définie par :

( ) ¹ ₂

f x =

Analyse

Un exercice classique où l’on peut s’assurer de la dérivabilité de F sur l’intervalle considéré puis dériver F pour obtenir f. On peut également commencer par factoriser le numérateur, la différence des deux carrés n’étant pas particulièrement difficile à détecter …

Résolution

1

approche

Les fonctions F est une fonction rationnelle définie sur 1 2

⎧ ⎫

− −⎨ ⎬

⎩ ⎭

\ . Elle est donc dérivable sur tout intervalle de cet ensemble, en particulier sur 1

2;

⎤− − ∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣.

Pour tout x réel de l’intervalle 1 2;

⎤− − ∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣, on a :

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2

1 1 1

2 2 1 2 2 2 4 4 1

4 2 2

F '

2 1 2 1 2 1

2 1

1 1

2 2 1 2

x x x x x x x

x

x x x

x f x

x

⎛ ⎞

+ −⎜⎝ − ⎟⎠× + + + +

= = =

+ + +

= + = =

+

PanaMaths Décembre 2011 2

approche

On a : ² 1 1 1

4 2 2

x − =⎛⎜⎝x− ⎞⎛⎟⎜⎠⎝x+ ⎞⎟⎠. D’où, pour tout réel x de l’intervalle 1 2;

⎤− − ∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ :

( )

2 1 1 1 1 1

1 1

2 2 2 2

F 4

2 1 2 1 1 2 2

2 2

x x x x

x

x x

x x

x

⎛ − ⎞⎛ + ⎞ ⎛ − ⎞⎛ + ⎞

− ⎜⎝ ⎟⎜⎠⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝ ⎟⎜⎠⎝ ⎟⎠ ⎛ ⎞

= + = + = ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ = ⎜⎝ − ⎟⎠

La fonction F est donc affine sur l’intervalle 1 2;

⎤− − ∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣. Elle y est donc dérivable et on a : On a alors immédiatement : ^{F '}

( )

( )

x = =2 f x .

Résultat final

La fonction F définie par

( )

2 1

F 4

2 1

x

x x

= −

+ est une primitive sur l’intervalle 1 2;

⎤− − ∞⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣

de la fonction f définie par :

( )

f x =2.